part2 (1106111), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. ( 7-11 )
Уравнение ( 7-11 ) является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно осей координат (см. рис.29а). При sinj = 0 и sinj = p эллипс вырождается в прямую ( рис.29 в и д )
. ( 7-12 )
При разности фаз между колебаниями p/2 оси эллипса совпадают с осями
|
| координат ( рис.29 в ). Если частоты складываемых колебаний отличаются друг от друга, то форма кривой, которую описывает радиус-вектор суммарного колебания становится очень сложной и зависит от соотношения складываемых частот. Для некоторых соотношений частот складываемых колебаний получающиеся фигуры, называемые фигурами Лиссажу, показаны на рис.30 . |
Рис.30. Фигуры Лиссажу.§ 7-4. Понятие о разложении колебаний в ряд Фурье.
В математике существует так называемая теорема Фурье, согласно которой любой периодический процесс x (t) с периодом Т может быть представлен в виде бесконечной суммы гармонических колебаний с частотами, кратными величине
w =2p/Т :
x(t) = A0 + A1sin(wt +j1) + A2sin (2wt + j2 ) +A3 sin 3wt + j3 ) +......., ( 7-13 )
к
оторую принято называть рядом Фурье. Каждая из слагаемых суммы ( 7-13 ) представляет собой отдельную гармонику, амплитуда и начальная фаза которой зависит от вида функции х(t). Совокупность амплитуд и частот, на которые разлагается любое негармоническое колебания, образуют спектр этого колебания. Гра-
| A1 A3 A2 A5 w1 w2 w3 w4 w5 w Рис.31. Графическое представле - | фическое изображение спектра приведено на рис.31. Как видно из рисунка, каждая со- тральное разложение имеет только математи- |
A4 ческий смысл. В реальных физических процессах, зависящих от времени, всегда удается выделить гармонические колебания, частота и амплитуда которых полностью соответствуют гармоникам разложения в ряд Фурье11. Примером спектрального представления может служить разложение импульса длительности t , когда
величина спектральной частоты определяется соотношением
wспектр=
. ( 7-14 )
Лекция 8. Дифференциальное уравнение колебаний.
§ 8-1. Свободные колебания.
Рассмотрим колебания груза массы m, висящего на пружине, жесткость которой k. Направим ось координат Х вертикально вниз, причем за начало отсчета
| X k kx x m О Рис.32. Колебания груза на пружине. | примем точку О ( рис. 32),лежащую на одном уровне с центром масс m, когда груз неподвижен. При этом пружина растянута на величину x по сравнению с недеформированном состоянием. Величина упругой силы, действующей на массу m, равна kx. В положении равновесия mg - kx = 0. ( 8-1 ) Если теперь сместить груз из положения равновесия, то он начнет совершать колебательное движение. Колебания, кото-рые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и затем предоставленной самой себе, называются свободными или собственными колебаниями, а частота, с которой происходят эти колебания называется собственной |
частотой. Пусть в некоторый момент времени смещение груза равно х. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось Х может быть записан в следующем виде: max = mg - k (x +x) или с учетом ( 8-1)
max = - kx . ( 8-2 )
В свою очередь, уравнение ( 8-2 ) можно записать иначе, если представить ускорение тела через вторую производную смещения по времени ax = d2x/dt 2 и обозначить величину k/m = 
:
= - x . ( 8-3 )
Уравнение ( 8-3 ) является дифференциальным уравнением второго порядка, однако его решение можно просто угадать простым перебором всех элементарных функций, из которых только функции синуса и косинуса удовлетворяют решению этого уравнения. Действительно, если
смещение x = A sin(w0t + j), ( 8-4 )
то скорость тела 
, ( 8-5 )
и ускорение тела 
. ( 8-6 )
Сравнение ( 8-4 ) и ( 8-6 ) показывает, что действительно ( 8-4 ) является решением уравнения ( 8-3 ). Величины А и j остаются произвольными, для их определения необходимо использовать начальные условия, т.е. значения смещения и скорости тела в начальный момент времени. Например, если при t = 0 x (0)= 0, а v(0) = v0, то из ( 8-4 ) следует, что sinj = 0 и j = 0, a из ( 8-5 ) величина А = v0/w0 .
При этих условиях решением уравнения ( 8-3) служит функция х(t) = 
.
Задание тех или иных начальных условий обычно определяется конкретными условиями поставленной задачи.
§ 8-2. Затухающие колебания.
В реальной жизни любой колебательный процесс постепенно затухает из-за наличия сил трения. Для колебаний груза на пружине существенную роль играет так называемое вязкое трение, сила которого при малых смещениях оказывается пропорциональной величине скорости тела:
Fтрен = - bv = - b
. ( 8-7 )
В этом случае второй закон Ньютона ( уравнение движения ) для груза, колеблющегося на пружине, приобретает такой вид:
+ mg - k (x +x). ( 8-8 )
Вводя обозначения 
, это уравнение можно преобразовать так:
, ( 8-9 )
где по-прежнему 
. Решение этого дифференциального уравнения может быть получено обычным способом, но можно показать, что уравнение ( 8-9 ) можно свести к уравнению типа ( 8-3 ). Для этого достаточно ввести замену переменных x(t) = z (t)e - bt. Проводя операцию дифференцирования, имеем:
; 2b
;
, 
.
С учетом этого уравнение ( 8-9 ) может быть записано в таком виде:
+
+
= 0
После сокращения на величину 
и приведения подобных членов получаем:
. ( 8-10)
Сравнивая полученное уравнение с выражением (8-3), нетрудно заметить их почти полную идентичность; различие состоит лишь в том, что частота колебаний в
(8-10) определяется из формулы 
. Таким образом решение уравнения
( 8-9 ) имеет вид:
, ( 8-11)
где как и ранее величины А и j определяются из начальных условий. В большинстве случаев b<<w0 и w3 » w0 . Решение ( 8-11) представляет уже негармоническое колебание, т.к. его амплитуда А уменьшается с течением времени. Относительное изменение амплитуды за период колебания характеризуется декрементом затухания D, величина которого находится из выражения:
, ( 8-12 )
т.е. декремент затухания равен относительному уменьшению амплитуды за время, равное периоду колебания. Натуральный логарифм D называют логарифмическим декрементом затухания d, т.е. d = ln D =bТ .
§ 8-3. Энергетические соотношения в колебательных процессах.
Для груза, совершающего гармонические колебания, значение кинетической энергии mv2/2 находится прямой подстановкой в величину кинетической энергии выражения для скорости колебательного движения, определяемой выражением
( 8-5):
Екин = 
. ( 8-13 )
Максимальное значение этой энергии, очевидно, равно
( 8-14 ) и достигается в момент, когда тело проходит положение равновесия. Пройдя это положение тело продолжает двигаться по инерции и вызывает деформацию пружины. При этом кинетическая энергия движущегося тела переходит в потенциальную энергию деформированной пружины Епот ( см. (6-10))12 :
Епот = 
. ( 8-15 )
Максимальное значение этого вида механической энергии равно:
. ( 8-16 )
При незатухающих колебаниях , поэтому имеет место сохранение механической энергии: 
. В этом случае суммарная энергия сохраняет свою величину в любой момент времени ( выражения ( 8-13 ) и ( 8-15 )):
, ( 8-17)
где учтено, что sin2 a + cos2 a = 1 и 
.
Если колебания являются затухающими, за каждый период колебаний суммарная энергия колеблющегося тела уменьшается на величину работы против сил
трения. В этом случае колеблющееся тело или любая система, в которой происходят колебания, характеризуется так называемым качеством или добротностью системы Q, которая определяется как способность системы к превращениям одного вида механической энергии в другой (т.е. кинетической в потенциальную или наоборот). Количественно добротность определяется ( с точностью до коэффициента 2p) как отношение максимальной энергии упругой деформации (или максимальной кинетической энергии колеблющейся системы) к средней величине
потерь энергии в системе за период. Известно, что среднее значение любой переменной величины < у > за период определяется соотношением :
< у > = 
.
Мгновенное значение силы вязкого трения Fтрен= b
bw0A cos(w0t +j), тогда среднее значение работы < Атрен > за единицу времени против этой силы равно:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
