part2 (1106111), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для подсчета работы переменной силы на конечном перемещении необходимо просуммировать все элементарные работы:
. ( 6-3 )
Если сила - непрерывная функция координат, то суммирование заменяется интегрированием, и
. ( 6-4 )
В качестве примера рассмотрим вычисление работы центральной силы,т.е.
силы, которая действует по прямой, соединяющей взаимодействующие тела (ма-
териальные точки), и величина этой силы зависит только от расстояния. Пусть материальная точка А действует на другую точку В центральной силой F. Точка В
| F 1 a B r1 dl r dr 2 r2 A Рис.21. Работа цент- | перемещается из положения 1с радиусом-вектором r1 в точку 2 , радиус-вектор которой - r2 ( см. рис.21 ). Вы- бирая на этом участке траектории малое перемещение dl , запишем выражение для элементарной работы: dA = F dl F , Из рис. 21 видно, что dl cos a = dr представляет собой изменение радиуса на малом перемещении dl. Поэтому |
ко от расстояния. Полная работа силы на участке траектории 1-2 находится суммированием всех элементарных работ, т.е.
, ( 6-5 )
где U( r ) - первоообразная для функции F ( r ).
Для силы тяготения, которая также является центральной силой, работа при уве-
личении расстояния от земной поверхности от r1 до r2 согласно выражению ( 6-5 ) равна:
. ( 6-6 )
Знак минус перед выражением интеграла соответствует тому, что при увеличении расстояния от Земли приходится затрачивать работу, т.е. совершать отрицательную работу. Очевидно, что полная работа против силы тяжести при изменении расстояния от RЗ ( где RЗ - радиус Земли ) до бесконечности ( тело удаляется на бесконечно большое расстояние от Земли, т.е.
) равна:
А = - 
. ( 6-7 )
| 1 С· 2 Рис.22. Работа цен- замкнутому пути. | Если работа силы не зависит от формы пути, а определяется начальным и конечным положением материальной точки, то ее величина на отрезке ВС ( см. рис.22 ) по пути 1 равна работе этой же силы на пути 2, но работа А1 противоположна по знаку работе А2 : |
В 
Тогда сумма работ по замкнутому пути равна А1+А2 = 0. В математике такая сумма называется циркуляцией:
. ( 6-9 )
Cилы, работа которых не зависит от формы пути и для которых выполняется условие ( 6-9 ), получили название потенциальных. К потенциальным силам относятся упругие силы F = - k x , т.к. работа этих сил, определяемая как
( 6-10 )
не зависит от формы пути, и для них также справедливо соотношение ( 6-9 ).
Примером непотенциальных сил являются силы трения, работа которых явно зависит от формы траектории движения тела.
§ 6-2. Потенциальная энергия.
Пусть имеются две материальные точки С и D (см. рис.23.), взаимодействие
| C C * D* D · · · · FDC FCD Рис.23. Изменение кон- фигурации рас по- ложения точек. | которых можно охарактеризовать центральными силами, и пусть их взаимное положение (конфигурация) изменилось за счет того, что точка С переместилась в новое положение С*, а точка D осталась на месте. Тогда центральная сила FDC совершит некоторую работу на отрезке СС*, величину которой можно обозначить А СС*. Очевидно, что это не единственный способ изменения |
к
онфигурации расположения точек: та же самая конфигурация может быть достигнута, если точка С вообще остается на месте, а точка D перемещается в новое
положение D* при условии, что DD* = CC*. В этом случае работу A DD* совершает сила FCD. По третьему закону Ньютона FCD = FDC , и А СС*= A DD* , т.к. работа
центральных сил, как было показано, зависит лишь от начального и конечного расположения взаимодействующих точек.
Наконец, та же самая конфигурация может быть получена при обоюдном перемещении точек С и D. В этом случае работу совершают обе силы FCD и FDC , но их общая работа останется той же самой, если сумма перемещений точек по-прежнему равна DD* или CC*. Полученный вывод можно распространить и на систему материальных точек: суммарная работа всех потенциальных сил взаимодействия зависит лишь от начальной и конечной конфигурации системы. Знак работы при этом может, вообще говоря, любым - работа может как положительной так и отрицательной. Когда работа отрицательна, т.е. угол между силой и перемещением равен 1800, то ее можно совершить лишь за счет внешнего воздействия, и, наоборот, работа положительная ( направление перемещения совпадает с направлением силы ) может совершаться системой без какого-либо внешнего воздействия. Например, для сжатия пружины нужно приложить некоторое усилие, а сжатая пружина, распрямляясь, сама способна совершить работу. В этом случае говорят, что положительная работа совершается за счет «запаса» этой работы в самой системе. Если в системе материальных точек действует несколько различных по своей природе потенциальных сил, которые в этом случае называются внутренними, то общий «запас» положительной работы складывается из « запасов» каждого из видов взаимодействия. Поскольку выбор начальной конфигурации весьма условен, то можно утверждать, что практически любой конфигурации
соответствует определенный «запас» положительной работы. Величину «запаса»
этой работы при данной конфигурации системы материальных точек принято называть потенциальной энергией U. При совершении системой положительной работы величина потенциальной энергии уменьшается. Наоборот, если над системой внешние силы совершают работу, которая считается отрицательной, то потенциальная энергия системы увеличивается. Из этого следует, что
DU = U2 - U1 = - A12 , ( 6-11 )
т.е. изменение потенциальной энергии при некотором изменении конфигурации определяется суммарной работой всех внутренних потенциальных сил , взятой с обратным знаком. Точка начала отсчета потенциальной энергии может быть выбрана произвольно, т.к. для решения практических задач важным оказывается не сама величина потенциальной энергии, а лишь ее изменения. Например, можно считать, что камень, лежащий на поверхности Земли, имеет нулевую потенциальную энергию, хотя если ему предоставить возможность падать к центру Земли, то
окажется, что ее потенциальная энергия совсем не равна нулю. Важно отметить, что любая система стремится по возможности уменьшить свою потенциальную энергию. Поэтому устойчивое состояние системы соответствует минимуму потенциальной энергии.
§ 6-3. Кинетическая энергия.
Если на тело массы m действует некоторая сила F, сообщая ему ускорение а,
то эта сила совершает определенную работу, которая связана с изменением скорости тела. Величина элементарной работы определяется так же, как и ранее:
dA = F cosadl = ma cosa d l,
где направление силы совпадает с направлением ускорения. Тогда acosa = 
яв-
ляется проекцией ускорения на направление перемещения, т.е. тангенциальной составляющей полного ускорения, которая характеризует изменение скорости по абсолютной величине:
. С учетом этого выражение для dA равно:
l =
l. ( 6-12 )
Пусть dt - промежуток времени, за который тело проходит отрезок dl . Тогда
, ( 6-13 )
т.к. 
- скорость тела за промежуток времени dt. Принимая во внимание, что в механике Ньютона масса не зависит от скорости, выражение ( 6-13 ) можно
преобразовать к виду
dA = m d (
) = d ( 
) = d T, ( 6-14 )
где величина Т = называется кинетической энергией тела. На конечном участке траектории величина работы равна
= Т2 - Т1 = D Т, ( 6-15 )
т.е. изменение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно суммарной работе, совершенной всеми силами, действующими на тело в этот же промежуток времени.
§ 6-4. Закон изменения и сохранения механической энергии.
Полная механическая энергия системы материальных точек Е складывается из его кинетической энергии Т и потенциальной энергии U, т.е.
Е = Т + U. ( 6-16 )
При движении точек внутри системы изменяются как скорости точек, так и их взаимное расположение. Пусть скорость произвольной точки ( i - точки ) изменяется под действием сил со стороны других точек. Полное изменение кинетической энергии i - точки в соответствии с выражением ( 6-15 ) определяется работой
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
