2 (1106065), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Задача. С какой максимальной силой прилипает к телу человека медицинская банка, если диаметр её отверстия D. В момент прикладывания к телу воздух в ней прогрет до температуры Т, а температура окружающего воздуха Т0. Атмосферное давление Р0. Изменением объёма воздуха в банке (из-за втягивания кожи) пренебречь.
| | В задаче имеется система, состоящая из банки и воздуха, находящегося в ней, который будем считать идеальным газом. В начальный момент воздух в банке находится при атмосферном давлении Р0 и нагрет до температуры Т. |
После приложения банки к коже, масса воздуха не изменяется, но он остывает до температуры Т0, а его давление становится равным Р1. Именно, когда воздух в банке охладится до температуры Т0 сила будет максимальна. Для каждого из этих состояний можно записать уравнение состояния
, 
,
откуда
.
Теперь составим уравнение для сил, действующих на банку: со стороны внешнего воздуха действует сила давления F1 = p0S' и направленная вниз, где S - площадь отверстия банки. Со стороны газа, находящегося внутри банки, на банку действует сила давления F2, направленная вверх и равная P1S' . Также на банку действует сила тяжести mg и сила реакции опоры N1. При этом, так как банка неподвижна,
.
Пренебрежём силой тяжести банки. Тогда уравнение для сил будет иметь вид
или 
где 
или 
.
N - это сила со стороны тела человека на банку, но по III закону Ньютона со стороны банки на тело действует сила F, равная по величине N и противоположно направленная.
Итак, 
.
Ещё один пример. В простейшей модели Марса предполагалось, что планету окружает равно плотная атмосфера, высота которой Н = 25 км. Температура атмосферы на поверхности планеты Т = 300 К. Какова молярная масса атмосферного газа Марса? Радиус Марса r = 3400 км, его масса
М = 6 1023 кг, гравитационная постоянная G = 6,67 10-11 н м2/кг2.
Давление на поверхности Марса найдём из уравнения газового состояния:
.
Так как атмосфера равно плотная по условию, а высота её гораздо меньше радиуса планеты, то это давление в рамке механических переменных можно записать
,
где 
- ускорение свободного падения на поверхности Марса.
В результате имеем
= 29 г/моль.
7. Калорическое уравнение
Как уже указывалось, калорическое уравнение необходимо для полного определения состояния системы, и потому существует класс задач, в которых занимаются поисками таких уравнений, а также существует класс задач по поиску конкретных теплоёмкостей в конкретных условиях. Для идеального одноатомного газа, как известно,
;
для газа из многоатомных молекул
,
где i - число степеней свободы.
Правила нахождения степеней свободы даны ранее.
1) Нахождение теплоёмкости для смеси газов
Задача. Дана смесь газов из неона, масса которого m1 и водорода, масса которого m2. Определить удельную теплоёмкость смеси газов при постоянном объёме.
По определению, теплоёмкость смеси газов при постоянном объёме
.
При этом 
,
где 
и 
, соответственно, удельные теплоёмкости и массы водорода и неона. Подставив, получим
.
2) Нахождение теплоёмкости идеального газа, находящегося в поле внешних сил.
Задача. В вертикальном цилиндрическом сосуде высотой H находится один моль идеального газа. Найти теплоёмкость С этого газа, учитывая наличие поля сил тяжести и предполагая, что mgH << RT, где m - молекулярный вес газа. Расширением сосуда при нагревании пренебречь.
Поскольку газ идеальный, а нагревание происходит при постоянном объёме, то
,
где dU -изменение полной внутренней энергии газа, которая складывается из кинетической энергии молекул и потенциальной энергии молекул в поле сил тяжести, т.е.
.
Распределение молекул по координатам описывается распределением Больцмана
,
которое, при условии mgx << RT, переходит в
.
На перераспределение молекул по высоте будет затрачиваться дополнительное тепло и, следовательно, хотя процесс идёт при постоянном объёме, теплоёмкость его, в случае учёта влияния поля сил тяжести, отличается от 
для идеального газа, свободного от действия силовых полей и складывается из части 
(за счёт кинетической энергии) [эта часть равна 
] и части 
(за счёт потенциальной энергии взаимодействия молекул идеального газа с полем сил тяжести).
Для решения задачи надо вычислить зависимость потенциальной энергии от температуры.
| | Выделим слой молекул толщины dx на высоте х от дна цилиндра. Масса этого слоя dM = mn(x)Sdx, где m - масса одной молекулы, S - площадь сечения цилиндра, n(x) -- концентрация молекул на высоте х. Потенциальная энергия слоя
|
Полная потенциальная энергия всех молекул
,
где 
- концентрация молекул на дне сосуда (при х = 0).
Вычислим из условий нормировки.
Используя распределение Больцмана по координатам, найдём полное число молекул в сосуде и приравняем его числу Авогадро, так как по условию количество газа равно 1 молю.
Число молекул в слое dN(x) = n(x)Sdx. Полное число молекул в цилиндре
,
откуда
и тогда
.
Из этой формулы видно, что первый член соответствует равномерному распределению молекул, второй - зависит от температуры:
.
Выражение теплоёмкостей для конкретных процессов
Задача. Изменение состояния идеального газа происходит по политропе 
. Задана удельная теплоёмкость .
1. Найти выражение для удельной теплоёмкости в политропическом процессе через показатель политропы n и показатель адиабаты g.
2. Разобрать частные случаи
а) n = 0; б) n = ±¥; в) n = ± 1; г) n = g.
1) Для политропического процесса и связь показателя политропы с теплоёмкостью С определяется формулой
,
показатель адиабаты равен
,
где 
- теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении, - при постоянном объёме.
Из этих двух формул находим
.
2) Частные случаи
а) n = 0, C = CP, т.е. имеем изобарический процесс (p = const);
б) n = ±¥, C = CV, имеем изохорический процесс (P = const);
в) n = ±1; С = ±¥, процесс изотермический (Т = const);
с) n = g, С = 0, процесс адиабатический.
3.3.1.1.2. Термодинамические процессы
При решении задач, связанных с термодинамическими процессами широко используют методы, связанные с графическим изображением процессов.
Существует класс задач, в котором часть вста для решения информации находится из графиков. По графику можно определить тип процесса, этапы процесса, значения параметров процесса, подсчитать теплоту, работу, к.п.д. и т.п.
| | Каждый график задаётся в определённых координатах, например, P-V (см. рис. 12). По виду кривой можно установить функциональную связь изображённых на графике параметров P = f(V); значения параметров в любых точках, в том числе начальных (P1V1) и конечных (P2V2) точках процесса. |
Полученные данные используются при решении задачи. Часто требуется процесс, заданный по условию графиком в одних координатах, представить в других координатах, например, процесс задан в координатах (P,V), а надо его представить в координатах (V,T) или (P,T).
В этом случае можно использовать общее правило. Поскольку в любой момент времени система подчиняется уравнению состояния идеального газа, то составляют систему уравнений для каждого этапа процесса, включающую:
1. уравнение состояния идеального газа;
2. функциональную связь, определённую из графика в заданных координатах;
3. начальные и конечные значения заданных на рисунке параметров.
Используя первые два уравнения, получают формулу нужной функциональной связи. Затем, подставляя в неё начальные и конечные значения из заданного графика системы, получают начальные и конечные значения параметров в требуемых координатах.
Пример. Дан график адиабатического процесса 1 моля идеального газа в координатах p = f(V). Нарисовать графики в системах координат 1)-РТ и 2)-UT, где U - внутренняя энергия идеального газа.
| | 1).Согласно общему правилу, функциональная связь в заданных координатах
Уравнение состояния PV = RT. Решаем эту систему для нахождения зависимости P = f(T) |
Для этого надо из системы исключить V. Из уравнения состояния
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
