Электронные лекции (1106005), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Äàíà ãðóïïà G è N C G. Ôàêòîðãðóïïà G=N áóäåò àáåëåâîé , [a; b℄ 2 N 8 a; b 2 G. G=N àáåëåâà , [aN; bN ℄ = eN = N , (aN )(bN )(a 1 N )(b 1 N ) = aba 1 b 1 N = N , [a; b℄ 2 N . Ñâîéñòâà êîììóòàòîðà: [a; b℄ 1 = [b; a℄. Êðîìå òîãî, ñîïðÿæåííûé ê êîììóòàòîðó åñòü êîììóòàòîð ñîïðÿæåííûõ:g[a; b℄g 1 = gaba 1b 1 g 1 = gag 1gbg 1ga 1g 1 gb 1g 1 = [gag 1; gbg 1℄.Îïðåäåëåíèå. Ïîäãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ âñåìè êîììóòàòîðàìè â ãðóïïå G, íàçûâàåòñÿ êîììóòàíòîì G è îáîçíà÷àåòñÿ G0 . Êîììóòàíò èíîãäà íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé ïîäãðóïïîé.Î÷åâèäíî, ÷òî êîììóòàíò åñòü íàèìåíüøàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G, àêòîðãðóïïà ïî êîòîðîé àáåëåâà.
Ïðèâåä¼ì íåêîòîðûå äðóãèå ñâîéñòâà êîììóòàíòà.Óòâåðæäåíèå.f : G ! K èìååì f (G0 ) K 0. Åñëè ãîìîìîðèçì ñþðúåêòèâíûé, òî f (G0 ) = K 0. Ïðè ãîìîìîðèçìå1 f [a; b℄ = f (a)f (b)f (a) f (b) 1 = [f (a); f (b)℄. Òåïåðü ïóñòü f (a) = x; f (b) = y. Ïî äîêàçàííîìó [x; y℄ 2 K 0 .Åñëè ãîìîìîðèçì ñþðúåêòèâíûé, òî ëþáîé ýëåìåíò â K 0 åñòü îáðàç íåêîòîðîãî êîììóòàòîðà. Çíà÷èò, f (G0 ) = K 0 . 0Ïî èíäóêöèè îïðåäåëÿþòñÿ êîììóòàíòû âûñøèõ ïîðÿäêîâ: G(i+1) := G(i) .
Ïî èíäóêöèè î÷åâèäíûì îáðàçîìäîêàçûâàåòñÿ ïðåäûäóùåå óòâåðæäåíèå äëÿ êîììóòàíòîâ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà.Îïðåäåëåíèå.àçðåøèìîñòü ãðóïïÏîñòðîèì ðÿä èç êîììóòàíòîâ ãðóïïû: G B G(1) B G(2) B : : :Òåîðåìà. ðóïïà G ðàçðåøèìà , 9 l : G(l) = feg, ò.å.
ñóùåñòâóåò íîðìàëüíûé ðÿä èç êîììóòàíòîâ ãðóïïû. Ïóñòü åñòü íåêîòîðûé ðÿä ñ àáåëåâûìè àêòîðàìè G B H1 B H2 B : : : Äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî G(i) Hi 8 i.Áàçà: G0 H1 , òàê êàê G=H1 àáåëåâà. Øàã èíäóêöèè: ïóñòü G(i 1) Hi 1 . Òàê êàê Hi 1 =Hi àáåëåâà, òî Hi0 1 Hi .Òîãäà èìååì G(i) Hi0 1 Hi , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñëåäñòâèå. Âñÿêàÿ ïîäãðóïïà ðàçðåøèìîé ãðóïïû ðàçðåøèìà. Â ñàìîì äåëå, åñëè G(l) = feg è H G, òî H (l) G(l) ) H (l) = feg. Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü N C G, ãðóïïû N è G=N ðàçðåøèìû. Òîãäà G ðàçðåøèìà. Â ñèëó ðàçðåøèìîñòè â ãðóïïàõ N è G=N ñóùåñòâóþò íîðìàëüíûå ðÿäû ñ àáåëåâûìè àêòîðàìè.
Ïóñòü êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ G ! G=N . Ïóñòü â àêòîðãðóïïå åñòü íîðìàëüíûé ðÿä G=N = L0 B L1 B L2 B : : : B Ln = feg.Òîãäà ðàññìîòðèì ïðîîáðàçû ïîäãðóïï Li ïðè îòîáðàæåíèè . Òîãäà ïî òåîðåìå î ñîîòâåòñòâèè èìååìG B 1 (L1 ) B 1 (L2 ) B : : : B 1 (e) = N:Îáîçíà÷èì ïðîîáðàçû ïîäãðóïï ÷åðåç Ni . Òåïåðü óáåäèìñÿ, ÷òî àêòîðû ïîëó÷åííîãî ðÿäà àáåëåâû.
 ñàìîì=Näåëå, ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû î ñîîòâåòñòâèè N1 =N2 , à ïðî àêòîðû ðÿäà â àêòîðãðóïïå ìû çíàåì, ÷òî= NN21 =Nîíè àáåëåâû. Èòàê, ïîëó÷àåì, ÷òî â G åñòü ðàçðåøèìûé ðÿä G B N1 B : : : B N B H1 B : : : Hk = feg, ãäå Hi ÷ëåíûðàçðåøèìîãî ðÿäà â ïîäãðóïïå N . Ïðèìåðû ðàçðåøèìûõ ãðóïï9Ëþáàÿ àáåëåâà ãðóïïà, î÷åâèäíî, ðàçðåøèìà. ðóïïà äèýäðà Dn ðàçðåøèìà, òàê êàê â íåé åñòü íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà âðàùåíèé (îáîçíà÷èì å¼ R), à Dn =R = Z2 àáåëåâà. ðóïïû S3 ; A3 ðàçðåøèìû (A3 àáåëåâà, à S3 = D3 .)àññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé ïðèìåð: íåâûðîæäåííûå âåðõíåòðåóãîëüíûå ìàòðèöû Tn (K ) íàä ïîëåì K .Óòâåðæäåíèå. ðóïïà Tn (K ) ðàçðåøèìà.
Çàäàäèì ãîìîìîðèçì f : Tn (K ) ! (K )n , ãäå K ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ K , ñëåäóþùèì îáðàçîì:0a1B0..1.an7 ! (a1 ; : : : ; an ):C fAÎ÷åâèäíî, ÷òî Ker f = UTn (K ) ãðóïïà âåðõíèõ óíèòðåóãîëüíûõ ìàòðèö. Im f åñòü àáåëåâà ãðóïïà (ìíîæåñòâîâåêòîðîâ-ñòðîê). Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü ðàçðåøèìîñòü Ker f . Ïðîâåä¼ì èíäóêöèþ ïî ðàçìåðíîñòè n.
Áàçà èíäóêöèè î÷åâèäíà. Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ n 1. Òîãäà ïîñòðîèì ãîìîìîðèçì g : UTn (K ) ! UTn 1 (K ), ïðè êîòîðîìóãëîâîé ìèíîð ðàçìåðíîñòè n 1 îòîáðàæàåòñÿ òîæäåñòâåííî (ãðóáî ãîâîðÿ, îòðåçàåì îò ìàòðèöû ïîñëåäíþþ ñòðîêóè ïîñëåäíèé ñòîëáåö). Ñþðúåêòèâíîñòü g î÷åâèäíà, à Ker g ñîñòîèò èç ìàòðèö âèäà01BBB01010 0b11.. C. CCbn 1 A1Òîãäà Ker g = K n 1 , ò.ê. Ker g ! f(b1 ; : : : ; bn 1 )g. Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö ïðè ýòîì ïåðåõîäèò â ñóììó ñòðîê, à îáðàçåñòü àáåëåâà ãðóïïà ïî ñëîæåíèþ, è øàã èíäóêöèè äîêàçàí.
Ïî ïðåäûäóùåìó óòâåðæäåíèþ Tn (K ) ðàçðåøèìà. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè â íîðìàëüíîì ðÿäó åñòü õîòÿ áû îäèí íåðàçðåøèìûé àêòîð, òî è âñÿ ãðóïïà íåðàçðåøèìà.Ïðîñòûå ãðóïïûÀáåëåâà ãðóïïà ïðîñòà , îíà öèêëè÷åñêàÿ ïðîñòîãî ïîðÿäêà.Äëÿ ñëåäóþùåé òåîðåìû íàì ïîòðåáóåòñÿ äâå ëåììû.Ëåììà 1. ðóïïà An ïîðîæäàåòñÿ òðîéíûìè öèêëàìè. Âñå ïåðåñòàíîâêè ïîðîæäàþòñÿ âñåâîçìîæíûìè öèêëàìè, à ëþáîé öèêë â An íå÷¼òíîé äëèíû ìîæíî ðàçëîæèòü íà òðîéíûå öèêëû, ñãðóïïèðîâàâ ýëåìåíòû öèêëà â òðîéêè ñ çàöåïëåíèåì: (abde) = (ab)(de).
Àíàëîãè÷íîðàçëàãàþòñÿ ïàðû öèêëîâ ÷¼òíîé äëèíû. Ïàðà òðàíñïîçèöèé ðàçëàãàåòñÿ òàê: (a)(bd) = (ab)(abd), à ëþáàÿ ïàðàöèêëîâ ÷¼òíîé äëèíû ñâîäèòñÿ ê ïàðå òðàíñïîçèöèé ïóò¼ì îòùåïëåíèÿ òðîéíûõ öèêëîâ. Ëåììà 2. Åñëè íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà N C An ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí òðîéíîé öèêë, òî N = An . Ïðè n > 5 âñå òðîéíûå öèêëû ñîïðÿæåíû, à íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà åñòü îáúåäèíåíèå êëàññîâ ñîïðÿæåííîñòè,çíà÷èò, îíà ñîäåðæèò âñå òðîéíûå öèêëû è òåì ñàìûì ïî ëåììå 1 ïîðîæäàåò An .
Òåîðåìà. ðóïïà An ïðè n > 5 ïðîñòàÿ. Ïóñòü N C An è N 6= feg. Äîêàæåì, ÷òî â N åñòü òðîéíîé öèêë. Òîãäà óòâåðæäåíèå òåîðåìû áóäåò ñëåäîâàòü èçëåìì. Ïóñòü = 1 2 3 : : : s 2 N è ðàññìîòðèì öèêëè÷åñêóþ ãðóïïó h i. Îíà ñîäåðæèò öèêëè÷åñêóþ ãðóïïó ïðîñòîãîïîðÿäêà, çíà÷èò, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èìååò ïðîñòîé ïîðÿäîê p, è ÷èñëî p ìèíèìàëüíîå. Òîãäà áåç îãðàíè÷åíèÿîáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðâûé öèêë â èìååò äëèíó p, ò.å. 1 = (1; : : : ; p). Ïîñêîëüêó âñå ñîïðÿæåííûå ñ ýëåìåíòû ëåæàò â N , òî ó íàñ åñòü ïåðåñòàíîâêà = 1 2 1 3 1 : : : s 1 .
Òîãäà = 12 , ò.å. òîæå öèêë äëèíû p. Äëÿ påñòü òðè âîçìîæíîñòè: p = 2; p = 3; p > 5. Åñëè p = 3, òî òðîéíîé öèêë è âñ¼ äîêàçàíî.àññìîòðèì ñëó÷àé p > 5. Ìû óæå çíàåì, ÷òî â N åñòü âñå öèêëû äëèíû p, òîãäà âîçüì¼ì ïåðåñòàíîâêè 1 :=(1; 2; 3; 4; 5; : : : ; p) è 2 := (1; 3; 4; 2; 5; : : : ; p). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïåðåñòàíîâêà 1 1 2 îñòàâëÿåò íà ìåñòå ÷èñëî p, àçíà÷èò, â íåé åñòü öèêë äëèíû ìåíüøå p.
Ïðîòèâîðå÷èå.Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé p = 2. Òîãäà èìååò âèä (12)(34), ãäå ïðîèçâåäåíèå íåêîòîðûõ äðóãèõ òðàíñïîçèöèé.àññìîòðèì ñîïðÿæ¼ííóþ ïåðåñòàíîâêó := (13)(24). Ïîñêîëüêó 2 = e, òî èìååì = (14)(23) 2 N . Çíà÷èò, â Nèìåþòñÿ ïàðû âñå òðàíñïîçèöèé. Òîãäà ðàññìîòðèì ïåðåñòàíîâêó 1 := (12)(34) è 2 := (12)(45). Èìååì 1 2 = (345),ò.å.
òðîéíîé öèêë. Çíà÷èò, N = An . Òåîðåìà. ðóïïà SO3 (R) ïðîñòàÿ. Èç êóðñà àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî ëþáàÿ ìàòðèöà A 2 SO3 (R) ïîäîáíà ìàòðèöå01os sin 0A = sin os 0A001Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ìàòðèöû â SO3 (R) ñîïðÿæåíû. Ïóñòü â SO3 (R) åñòü íåòðèâèàëüíàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïàN . Òîãäà â íåé åñòü ìàòðèöà óêàçàííîãî âèäà ñ íåêîòîðûì èêñèðîâàííûì óãëîì ïîâîðîòà . àññìîòðèì ìàòðèöó011 00sin 'AB (') = 0 os '0 sin ' os '10C (') := AB (')A 1 B 1 (') 2 N êîììóòàòîð ìàòðèö A è B . Äîêàæåì, ÷òî â N åñòü ìàòðèöû X ñî ñëåäîìtr X 2 [ 1; 3℄. àññìîòðèì óíêöèþ f (') = tr C ('). Èìååì f (0) = 3, è f (') < 3 ïðè ' 6= 0. Î÷åâèäíî, ÷òî fíåïåðåðûâíà.
Òîãäà â N åñòü ìàòðèöû ñî ñêîëü óãîäíî ìàëûì óãëîì ïîâîðîòà , òàê êàê os = tr C2 1 . Íî òîãäàåñòü è ìàòðèöà ñ óãëîì ïîâîðîòà. Çíà÷èò, äëÿ ëþáîé ìàòðèöû D ñ óãëîì ïîâîðîòà ' ìîæíî íàéòè òàêóþ ìàòðèöóD 2 N è ïîäõîäÿùóþ ñòåïåíü k, ÷òî D = Dk . Òåì ñàìûì N = SO3 (R). ÏîëîæèìÄåéñòâèÿ ãðóïï íà ìíîæåñòâàõÏîíÿòèå äåéñòâèÿÎïðåäåëåíèå. Äåéñòâèåì ãðóïïû G íà ìíîæåñòâå M íàçûâåòñÿ ãîìîìîðèçì : G ! SM , ãäå SM ãðóïïàáèåêòèâíûõ îòîáðàæåíèé M íà ñåáÿ. Îáîçíà÷åíèå: G : M . ßäðî ãîìîìîðèçìà íàçûâàåòñÿ ÿäðîì äåéñòâèÿ.Äåéñòâèå íàçûâàåòñÿ òî÷íûì, åñëè Ker = feg.Èíà÷å ãîâîðÿ, êàæäîìó ýëåìåíòó g 2 G ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå (g ) ìíîæåñòâà M .Ïðè ýòîì ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóåò êîìïîçèöèÿ ïðåîáðàçîâàíèé, ò.å. (gh) = (g ) Æ (h).
Èç îïðåäåëåíèÿñëåäóåò, ÷òî:1Æ 8 g; h 2 G; 8 x 2 M èìååì (gh)x = g (hx), òàê êàê (gh)x = (gh)(x) = (g ) Æ (h) (x) = (g )(hx) = g (hx);2Æ ex 7! x, ïîñêîëüêó ex = (e)(x) = idM (x) = x.Îðáèòû è ñòàáèëèçàòîðûÑòàáèëèçàòîðîì ýëåìåíòà m 2 M íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïà St(m) := fg 2 G : gm = mg.Ïîêàæåì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî ïîäãðóïïà. Ïðîâåðèì ñâîéñòâà. Î÷åâèäíî, e 2 St(m) 8 m.
Ïðîèçâåäåíèå: åñëèg1 ; g2 2 St(m), òî (g1 g2 )m = g1 (g2 m) = g1 m = m ) g1 g2 2 St(m). Îáðàòíûé ýëåìåíò: g 2 St(m) ) gm = m. Óìíîæèìðàâåíñòâî ñëåâà íà g 1 . Òîãäà m = g 1 m, ò.å. g 1 2 St(m).Çàìå÷àíèå. Ñòàáèëèçàòîð èíîãäà íàçûâàþò ñòàöèîíàðíîé ïîäãðóïïîé.Î÷åâèäíî, ÷òî ÿäðî äåéñòâèÿ åñòü ïåðåñå÷åíèå âñåõ ñòàáèëèçàòîðîâ.Îïðåäåëåíèå. Îðáèòîé ýëåìåíòà m 2 M íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Orb(m) = Gm := gm g 2 G .
Òî÷êà m íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé äåéñòâèÿ, åñëè Orb(m) = fmg. ×èñëî ýëåìåíòîâ îðáèòû íàçûâàòñÿ å¼ äëèíîé.Óòâåðæäåíèå 1. Ýëåìåíòû îðáèòû íàõîäÿòñÿ â áèåêòèâíîì ñîîòâåòñòâèè ñ ëåâûìè ñìåæíûìè êëàññàìè ïîñòàáèëèçàòîðó èêñèðîâàííîãî ýëåìåíòà m Èìååì gm = hm , (h 1 g)m = m , h 1 g 2 St(m) , g 2 h St(m). Óòâåðæäåíèå 2. Ëþáûå äâå îðáèòû ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò. Îðáèòà îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì ñâîèì ýëåìåíòîì: gm 2 Orb(m) ) Orb(gm) = G(gm) = (Gg)m = Gm = Orb(m).
Ñëåäñòâèå 1. Èìååòñÿ ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà M íà îðáèòû.Ââåä¼ì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè: m1 m2 , m1 ; m2 ëåæàò íà îäíîé îðáèòå , 9 g : gm1 = m2 .Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü H G; g èêñèðîâàííûé ýëåìåíò èç G. Ïîäãðóïïà gHg 1 íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæ¼ííîé ñ H .Ôèêñèðóåì íåêîòîðûé ýëåìåíò m 2 M , è ðàññìîòðèì ñòàáèëèçàòîð ýëåìåíòà gm 2 M äëÿ íåêîòîðîãî g 2 G:Îïðåäåëåíèå.St(gm) = fh 2 G : h(gm) = gmg = h 2 G : (g 1 hg)m = m , g 1 hg 2 St(m) , h 2 g St(m)g 1 :Òàêèì îáðàçîì,St(gm) = g St(m)g1.Ñëåäñòâèå 2. Åñëè òî÷êè m; m0 ëåæàò íà îäíîé îðáèòå, ò.å. m0 = gm, òî òîãäà èõ ñòàáèëèçàòîðû ñîïðÿæåíû:St(m0 ) = g St(m)g 1 :Äåéñòâèå íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì,åñëè îðáèòà åäèíñòâåííà, ò.å. 8 m1 ; m2 2 M 9 g : gm1 = m2 .SÈòàê, ìû èìååì ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà M = Orb(mi ).
Èç óòâåðæäåíèÿ 1 è òåîðåìû Ëàãðàíæà ñëåäóåò, ÷òîÎïðåäåëåíèå.jM j =Xj Orb(mi )j =X(G : St(mi ));òàê êàê äëèíà îðáèòû ýëåìåíòà mi ðàâíî ÷èñëó ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ïîðóïïà Sn äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå f1; : : : ; ng.Ïðèìåð 2. ðóïïà GLn (K ) äåéñòâóåò íà K n .Ïðèìåð 1.Äåéñòâèÿ ãðóïïû íà ñåáå. Öåíòðàëèçàòîðû è íîðìàëèçàòîðû(1)St(mi ), òî åñòü èíäåêñó St(mi ).Ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü äåéñòâèå ãðóïïû íà ñàìîé ñåáå (íàïðèìåð, ëåâûìè ñäâèãàìè): g x = gx.Âñå äåéñòâèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå âûøå, áûëè ëåâûìè äåéñòâèÿìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
