Главная » Просмотр файлов » Электронные лекции

Электронные лекции (1106005), страница 5

Файл №1106005 Электронные лекции (Электронные лекции) 5 страницаЭлектронные лекции (1106005) страница 52019-05-05СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Äàíà ãðóïïà G è N C G. Ôàêòîðãðóïïà G=N áóäåò àáåëåâîé , [a; b℄ 2 N 8 a; b 2 G. G=N àáåëåâà , [aN; bN ℄ = eN = N , (aN )(bN )(a 1 N )(b 1 N ) = aba 1 b 1 N = N , [a; b℄ 2 N . Ñâîéñòâà êîììóòàòîðà: [a; b℄ 1 = [b; a℄. Êðîìå òîãî, ñîïðÿæåííûé ê êîììóòàòîðó åñòü êîììóòàòîð ñîïðÿæåííûõ:g[a; b℄g 1 = gaba 1b 1 g 1 = gag 1gbg 1ga 1g 1 gb 1g 1 = [gag 1; gbg 1℄.Îïðåäåëåíèå. Ïîäãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ âñåìè êîììóòàòîðàìè â ãðóïïå G, íàçûâàåòñÿ êîììóòàíòîì G è îáîçíà÷àåòñÿ G0 . Êîììóòàíò èíîãäà íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé ïîäãðóïïîé.Î÷åâèäíî, ÷òî êîììóòàíò åñòü íàèìåíüøàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G, àêòîðãðóïïà ïî êîòîðîé àáåëåâà.

Ïðèâåä¼ì íåêîòîðûå äðóãèå ñâîéñòâà êîììóòàíòà.Óòâåðæäåíèå.f : G ! K èìååì f (G0 ) K 0. Åñëè ãîìîìîðèçì ñþðúåêòèâíûé, òî f (G0 ) = K 0. Ïðè ãîìîìîðèçìå1 f [a; b℄ = f (a)f (b)f (a) f (b) 1 = [f (a); f (b)℄. Òåïåðü ïóñòü f (a) = x; f (b) = y. Ïî äîêàçàííîìó [x; y℄ 2 K 0 .Åñëè ãîìîìîðèçì ñþðúåêòèâíûé, òî ëþáîé ýëåìåíò â K 0 åñòü îáðàç íåêîòîðîãî êîììóòàòîðà. Çíà÷èò, f (G0 ) = K 0 . 0Ïî èíäóêöèè îïðåäåëÿþòñÿ êîììóòàíòû âûñøèõ ïîðÿäêîâ: G(i+1) := G(i) .

Ïî èíäóêöèè î÷åâèäíûì îáðàçîìäîêàçûâàåòñÿ ïðåäûäóùåå óòâåðæäåíèå äëÿ êîììóòàíòîâ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà.Îïðåäåëåíèå.àçðåøèìîñòü ãðóïïÏîñòðîèì ðÿä èç êîììóòàíòîâ ãðóïïû: G B G(1) B G(2) B : : :Òåîðåìà. ðóïïà G ðàçðåøèìà , 9 l : G(l) = feg, ò.å.

ñóùåñòâóåò íîðìàëüíûé ðÿä èç êîììóòàíòîâ ãðóïïû. Ïóñòü åñòü íåêîòîðûé ðÿä ñ àáåëåâûìè àêòîðàìè G B H1 B H2 B : : : Äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî G(i) Hi 8 i.Áàçà: G0 H1 , òàê êàê G=H1 àáåëåâà. Øàã èíäóêöèè: ïóñòü G(i 1) Hi 1 . Òàê êàê Hi 1 =Hi àáåëåâà, òî Hi0 1 Hi .Òîãäà èìååì G(i) Hi0 1 Hi , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Ñëåäñòâèå. Âñÿêàÿ ïîäãðóïïà ðàçðåøèìîé ãðóïïû ðàçðåøèìà. Â ñàìîì äåëå, åñëè G(l) = feg è H G, òî H (l) G(l) ) H (l) = feg. Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü N C G, ãðóïïû N è G=N ðàçðåøèìû. Òîãäà G ðàçðåøèìà. Â ñèëó ðàçðåøèìîñòè â ãðóïïàõ N è G=N ñóùåñòâóþò íîðìàëüíûå ðÿäû ñ àáåëåâûìè àêòîðàìè.

Ïóñòü êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ G ! G=N . Ïóñòü â àêòîðãðóïïå åñòü íîðìàëüíûé ðÿä G=N = L0 B L1 B L2 B : : : B Ln = feg.Òîãäà ðàññìîòðèì ïðîîáðàçû ïîäãðóïï Li ïðè îòîáðàæåíèè . Òîãäà ïî òåîðåìå î ñîîòâåòñòâèè èìååìG B 1 (L1 ) B 1 (L2 ) B : : : B 1 (e) = N:Îáîçíà÷èì ïðîîáðàçû ïîäãðóïï ÷åðåç Ni . Òåïåðü óáåäèìñÿ, ÷òî àêòîðû ïîëó÷åííîãî ðÿäà àáåëåâû.

 ñàìîì=Näåëå, ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû î ñîîòâåòñòâèè N1 =N2 , à ïðî àêòîðû ðÿäà â àêòîðãðóïïå ìû çíàåì, ÷òî= NN21 =Nîíè àáåëåâû. Èòàê, ïîëó÷àåì, ÷òî â G åñòü ðàçðåøèìûé ðÿä G B N1 B : : : B N B H1 B : : : Hk = feg, ãäå Hi ÷ëåíûðàçðåøèìîãî ðÿäà â ïîäãðóïïå N . Ïðèìåðû ðàçðåøèìûõ ãðóïï9Ëþáàÿ àáåëåâà ãðóïïà, î÷åâèäíî, ðàçðåøèìà. ðóïïà äèýäðà Dn ðàçðåøèìà, òàê êàê â íåé åñòü íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà âðàùåíèé (îáîçíà÷èì å¼ R), à Dn =R = Z2 àáåëåâà. ðóïïû S3 ; A3 ðàçðåøèìû (A3 àáåëåâà, à S3 = D3 .)àññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé ïðèìåð: íåâûðîæäåííûå âåðõíåòðåóãîëüíûå ìàòðèöû Tn (K ) íàä ïîëåì K .Óòâåðæäåíèå. ðóïïà Tn (K ) ðàçðåøèìà.

Çàäàäèì ãîìîìîðèçì f : Tn (K ) ! (K )n , ãäå K ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ K , ñëåäóþùèì îáðàçîì:0a1B0..1.an7 ! (a1 ; : : : ; an ):C fAÎ÷åâèäíî, ÷òî Ker f = UTn (K ) ãðóïïà âåðõíèõ óíèòðåóãîëüíûõ ìàòðèö. Im f åñòü àáåëåâà ãðóïïà (ìíîæåñòâîâåêòîðîâ-ñòðîê). Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü ðàçðåøèìîñòü Ker f . Ïðîâåä¼ì èíäóêöèþ ïî ðàçìåðíîñòè n.

Áàçà èíäóêöèè î÷åâèäíà. Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ n 1. Òîãäà ïîñòðîèì ãîìîìîðèçì g : UTn (K ) ! UTn 1 (K ), ïðè êîòîðîìóãëîâîé ìèíîð ðàçìåðíîñòè n 1 îòîáðàæàåòñÿ òîæäåñòâåííî (ãðóáî ãîâîðÿ, îòðåçàåì îò ìàòðèöû ïîñëåäíþþ ñòðîêóè ïîñëåäíèé ñòîëáåö). Ñþðúåêòèâíîñòü g î÷åâèäíà, à Ker g ñîñòîèò èç ìàòðèö âèäà01BBB01010 0b11.. C. CCbn 1 A1Òîãäà Ker g = K n 1 , ò.ê. Ker g ! f(b1 ; : : : ; bn 1 )g. Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö ïðè ýòîì ïåðåõîäèò â ñóììó ñòðîê, à îáðàçåñòü àáåëåâà ãðóïïà ïî ñëîæåíèþ, è øàã èíäóêöèè äîêàçàí.

Ïî ïðåäûäóùåìó óòâåðæäåíèþ Tn (K ) ðàçðåøèìà. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè â íîðìàëüíîì ðÿäó åñòü õîòÿ áû îäèí íåðàçðåøèìûé àêòîð, òî è âñÿ ãðóïïà íåðàçðåøèìà.Ïðîñòûå ãðóïïûÀáåëåâà ãðóïïà ïðîñòà , îíà öèêëè÷åñêàÿ ïðîñòîãî ïîðÿäêà.Äëÿ ñëåäóþùåé òåîðåìû íàì ïîòðåáóåòñÿ äâå ëåììû.Ëåììà 1. ðóïïà An ïîðîæäàåòñÿ òðîéíûìè öèêëàìè. Âñå ïåðåñòàíîâêè ïîðîæäàþòñÿ âñåâîçìîæíûìè öèêëàìè, à ëþáîé öèêë â An íå÷¼òíîé äëèíû ìîæíî ðàçëîæèòü íà òðîéíûå öèêëû, ñãðóïïèðîâàâ ýëåìåíòû öèêëà â òðîéêè ñ çàöåïëåíèåì: (abde) = (ab)(de).

Àíàëîãè÷íîðàçëàãàþòñÿ ïàðû öèêëîâ ÷¼òíîé äëèíû. Ïàðà òðàíñïîçèöèé ðàçëàãàåòñÿ òàê: (a)(bd) = (ab)(abd), à ëþáàÿ ïàðàöèêëîâ ÷¼òíîé äëèíû ñâîäèòñÿ ê ïàðå òðàíñïîçèöèé ïóò¼ì îòùåïëåíèÿ òðîéíûõ öèêëîâ. Ëåììà 2. Åñëè íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà N C An ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí òðîéíîé öèêë, òî N = An . Ïðè n > 5 âñå òðîéíûå öèêëû ñîïðÿæåíû, à íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà åñòü îáúåäèíåíèå êëàññîâ ñîïðÿæåííîñòè,çíà÷èò, îíà ñîäåðæèò âñå òðîéíûå öèêëû è òåì ñàìûì ïî ëåììå 1 ïîðîæäàåò An .

Òåîðåìà. ðóïïà An ïðè n > 5 ïðîñòàÿ. Ïóñòü N C An è N 6= feg. Äîêàæåì, ÷òî â N åñòü òðîéíîé öèêë. Òîãäà óòâåðæäåíèå òåîðåìû áóäåò ñëåäîâàòü èçëåìì. Ïóñòü = 1 2 3 : : : s 2 N è ðàññìîòðèì öèêëè÷åñêóþ ãðóïïó h i. Îíà ñîäåðæèò öèêëè÷åñêóþ ãðóïïó ïðîñòîãîïîðÿäêà, çíà÷èò, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èìååò ïðîñòîé ïîðÿäîê p, è ÷èñëî p ìèíèìàëüíîå. Òîãäà áåç îãðàíè÷åíèÿîáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðâûé öèêë â èìååò äëèíó p, ò.å. 1 = (1; : : : ; p). Ïîñêîëüêó âñå ñîïðÿæåííûå ñ ýëåìåíòû ëåæàò â N , òî ó íàñ åñòü ïåðåñòàíîâêà = 1 2 1 3 1 : : : s 1 .

Òîãäà = 12 , ò.å. òîæå öèêë äëèíû p. Äëÿ påñòü òðè âîçìîæíîñòè: p = 2; p = 3; p > 5. Åñëè p = 3, òî òðîéíîé öèêë è âñ¼ äîêàçàíî.àññìîòðèì ñëó÷àé p > 5. Ìû óæå çíàåì, ÷òî â N åñòü âñå öèêëû äëèíû p, òîãäà âîçüì¼ì ïåðåñòàíîâêè 1 :=(1; 2; 3; 4; 5; : : : ; p) è 2 := (1; 3; 4; 2; 5; : : : ; p). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïåðåñòàíîâêà 1 1 2 îñòàâëÿåò íà ìåñòå ÷èñëî p, àçíà÷èò, â íåé åñòü öèêë äëèíû ìåíüøå p.

Ïðîòèâîðå÷èå.Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé p = 2. Òîãäà èìååò âèä (12)(34), ãäå ïðîèçâåäåíèå íåêîòîðûõ äðóãèõ òðàíñïîçèöèé.àññìîòðèì ñîïðÿæ¼ííóþ ïåðåñòàíîâêó := (13)(24). Ïîñêîëüêó 2 = e, òî èìååì = (14)(23) 2 N . Çíà÷èò, â Nèìåþòñÿ ïàðû âñå òðàíñïîçèöèé. Òîãäà ðàññìîòðèì ïåðåñòàíîâêó 1 := (12)(34) è 2 := (12)(45). Èìååì 1 2 = (345),ò.å.

òðîéíîé öèêë. Çíà÷èò, N = An . Òåîðåìà. ðóïïà SO3 (R) ïðîñòàÿ. Èç êóðñà àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî ëþáàÿ ìàòðèöà A 2 SO3 (R) ïîäîáíà ìàòðèöå01os sin 0A = sin os 0A001Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ìàòðèöû â SO3 (R) ñîïðÿæåíû. Ïóñòü â SO3 (R) åñòü íåòðèâèàëüíàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïàN . Òîãäà â íåé åñòü ìàòðèöà óêàçàííîãî âèäà ñ íåêîòîðûì èêñèðîâàííûì óãëîì ïîâîðîòà . àññìîòðèì ìàòðèöó011 00sin 'AB (') = 0 os '0 sin ' os '10C (') := AB (')A 1 B 1 (') 2 N êîììóòàòîð ìàòðèö A è B . Äîêàæåì, ÷òî â N åñòü ìàòðèöû X ñî ñëåäîìtr X 2 [ 1; 3℄. àññìîòðèì óíêöèþ f (') = tr C ('). Èìååì f (0) = 3, è f (') < 3 ïðè ' 6= 0. Î÷åâèäíî, ÷òî fíåïåðåðûâíà.

Òîãäà â N åñòü ìàòðèöû ñî ñêîëü óãîäíî ìàëûì óãëîì ïîâîðîòà , òàê êàê os = tr C2 1 . Íî òîãäàåñòü è ìàòðèöà ñ óãëîì ïîâîðîòà. Çíà÷èò, äëÿ ëþáîé ìàòðèöû D ñ óãëîì ïîâîðîòà ' ìîæíî íàéòè òàêóþ ìàòðèöóD 2 N è ïîäõîäÿùóþ ñòåïåíü k, ÷òî D = Dk . Òåì ñàìûì N = SO3 (R). ÏîëîæèìÄåéñòâèÿ ãðóïï íà ìíîæåñòâàõÏîíÿòèå äåéñòâèÿÎïðåäåëåíèå. Äåéñòâèåì ãðóïïû G íà ìíîæåñòâå M íàçûâåòñÿ ãîìîìîðèçì : G ! SM , ãäå SM ãðóïïàáèåêòèâíûõ îòîáðàæåíèé M íà ñåáÿ. Îáîçíà÷åíèå: G : M . ßäðî ãîìîìîðèçìà íàçûâàåòñÿ ÿäðîì äåéñòâèÿ.Äåéñòâèå íàçûâàåòñÿ òî÷íûì, åñëè Ker = feg.Èíà÷å ãîâîðÿ, êàæäîìó ýëåìåíòó g 2 G ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå (g ) ìíîæåñòâà M .Ïðè ýòîì ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóåò êîìïîçèöèÿ ïðåîáðàçîâàíèé, ò.å. (gh) = (g ) Æ (h).

Èç îïðåäåëåíèÿñëåäóåò, ÷òî:1Æ 8 g; h 2 G; 8 x 2 M èìååì (gh)x = g (hx), òàê êàê (gh)x = (gh)(x) = (g ) Æ (h) (x) = (g )(hx) = g (hx);2Æ ex 7! x, ïîñêîëüêó ex = (e)(x) = idM (x) = x.Îðáèòû è ñòàáèëèçàòîðûÑòàáèëèçàòîðîì ýëåìåíòà m 2 M íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïà St(m) := fg 2 G : gm = mg.Ïîêàæåì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî ïîäãðóïïà. Ïðîâåðèì ñâîéñòâà. Î÷åâèäíî, e 2 St(m) 8 m.

Ïðîèçâåäåíèå: åñëèg1 ; g2 2 St(m), òî (g1 g2 )m = g1 (g2 m) = g1 m = m ) g1 g2 2 St(m). Îáðàòíûé ýëåìåíò: g 2 St(m) ) gm = m. Óìíîæèìðàâåíñòâî ñëåâà íà g 1 . Òîãäà m = g 1 m, ò.å. g 1 2 St(m).Çàìå÷àíèå. Ñòàáèëèçàòîð èíîãäà íàçûâàþò ñòàöèîíàðíîé ïîäãðóïïîé.Î÷åâèäíî, ÷òî ÿäðî äåéñòâèÿ åñòü ïåðåñå÷åíèå âñåõ ñòàáèëèçàòîðîâ.Îïðåäåëåíèå. Îðáèòîé ýëåìåíòà m 2 M íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Orb(m) = Gm := gm g 2 G .

Òî÷êà m íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé äåéñòâèÿ, åñëè Orb(m) = fmg. ×èñëî ýëåìåíòîâ îðáèòû íàçûâàòñÿ å¼ äëèíîé.Óòâåðæäåíèå 1. Ýëåìåíòû îðáèòû íàõîäÿòñÿ â áèåêòèâíîì ñîîòâåòñòâèè ñ ëåâûìè ñìåæíûìè êëàññàìè ïîñòàáèëèçàòîðó èêñèðîâàííîãî ýëåìåíòà m Èìååì gm = hm , (h 1 g)m = m , h 1 g 2 St(m) , g 2 h St(m). Óòâåðæäåíèå 2. Ëþáûå äâå îðáèòû ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò. Îðáèòà îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì ñâîèì ýëåìåíòîì: gm 2 Orb(m) ) Orb(gm) = G(gm) = (Gg)m = Gm = Orb(m).

Ñëåäñòâèå 1. Èìååòñÿ ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà M íà îðáèòû.Ââåä¼ì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè: m1 m2 , m1 ; m2 ëåæàò íà îäíîé îðáèòå , 9 g : gm1 = m2 .Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü H G; g èêñèðîâàííûé ýëåìåíò èç G. Ïîäãðóïïà gHg 1 íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæ¼ííîé ñ H .Ôèêñèðóåì íåêîòîðûé ýëåìåíò m 2 M , è ðàññìîòðèì ñòàáèëèçàòîð ýëåìåíòà gm 2 M äëÿ íåêîòîðîãî g 2 G:Îïðåäåëåíèå.St(gm) = fh 2 G : h(gm) = gmg = h 2 G : (g 1 hg)m = m , g 1 hg 2 St(m) , h 2 g St(m)g 1 :Òàêèì îáðàçîì,St(gm) = g St(m)g1.Ñëåäñòâèå 2. Åñëè òî÷êè m; m0 ëåæàò íà îäíîé îðáèòå, ò.å. m0 = gm, òî òîãäà èõ ñòàáèëèçàòîðû ñîïðÿæåíû:St(m0 ) = g St(m)g 1 :Äåéñòâèå íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì,åñëè îðáèòà åäèíñòâåííà, ò.å. 8 m1 ; m2 2 M 9 g : gm1 = m2 .SÈòàê, ìû èìååì ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà M = Orb(mi ).

Èç óòâåðæäåíèÿ 1 è òåîðåìû Ëàãðàíæà ñëåäóåò, ÷òîÎïðåäåëåíèå.jM j =Xj Orb(mi )j =X(G : St(mi ));òàê êàê äëèíà îðáèòû ýëåìåíòà mi ðàâíî ÷èñëó ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ïîðóïïà Sn äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå f1; : : : ; ng.Ïðèìåð 2. ðóïïà GLn (K ) äåéñòâóåò íà K n .Ïðèìåð 1.Äåéñòâèÿ ãðóïïû íà ñåáå. Öåíòðàëèçàòîðû è íîðìàëèçàòîðû(1)St(mi ), òî åñòü èíäåêñó St(mi ).Ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü äåéñòâèå ãðóïïû íà ñàìîé ñåáå (íàïðèìåð, ëåâûìè ñäâèãàìè): g x = gx.Âñå äåéñòâèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå âûøå, áûëè ëåâûìè äåéñòâèÿìè.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
305,18 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее