Электронные лекции (1106005), страница 7
Текст из файла (страница 7)
òî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëÿ ñìåæíîãî êëàññà. Ïóñòü a + I = a0 + I; b + I = b0 + I . Äîêàæåì, ÷òî ab + I = a0 b0 + I .Ïóñòü a0 = a + x; x 2 I ; b0 = b + y; y 2 I . Òîãäà a0 b0 = ab + ay + xb + xy , ÷òî è òðåáîâàëîñü.Îïðåäåëåíèå.|{z}2IÒàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ñìåæíûõ êëàññîâ ïî èäåàëó I ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì. Îíî íàçûâàåòñÿ àêòîðêîëüöîì èîáîçíà÷àåòñÿ R=I .Îñíîâíûå òåîðåìû î êîëüöàõÒåîðåìà î ãîìîìîðèçìå êîëåö. Ïóñòü ' : A ! B ãîìîìîðèçì êîëåö, : A ! A=Kerf êàíîíè÷åñêèéãîìîìîðèçì. Òîãäà ñóùåñòâóåò èçîìîðèçì : A=Kerf ! B , òàêîé, ÷òî ' = .
Ìû óæå çíàåì, ÷òî ñóùåñòâóåò èñêîìûé èçîìîðèçì äëÿ àääèòèâíûõ ãðóïï. Îñòà¼òñÿ ïðîâåðèòü ñîõðàíåíèåîïåðàöèè óìíîæåíèÿ. Ïóñòü '(x) = u è '(y ) = v . Òîãäà '(xy ) = uv è (uv ) = (xy ) = (x) (y ) = (x) (y ).  òåîðèè êîëåö èìååò ìåñòî àíàëîã òåîðåìû î ñîîòâåòñòâèè: ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ìåæäó ïîäêîëüöàìè â êîëüöå,ñîäåðæàùèìè èäåàë, è âñåìè ïîäêîëüöàìè â àêòîðêîëüöå. Âåðíî òàêæå è ñëåäñòâèå èç ýòîé òåîðåìû: åñëè I J C R,òî R=J = R=IJ=I .Óòâåðæäåíèå. Ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ìåæäó èäåàëàìè â R=I è èäåàëàìè â R, ñîäåðæàùèìè I .
Ïóñòü : R ! R=I êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì. Ïóñòü I J CR, è J CR=I . Èìååì J = J=I = (J ); J = 1 (J ) ïîëíûé ïðîîáðàç J . Òåîðåìà îá èçîìîðèçìå 2. Ïóñòü R êîëüöî, K åãî ïîäêîëüöî è I C R. Òîãäà (K + I )=I = K=(K \ I ). àññìîòðèì åñòåñòâåííûé ýïèìîðèçì : R ! R=I è åãî îãðàíè÷åíèå 0 := jK . Åãî îáðàç ñîñòîèò èçñìåæíûõ êëàññîâ x + I; x 2 K , ò.å. Im 0 = (K + I )=I . ßäðî Ker 0 ñîñòîèò èç âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ èç K , äëÿ êîòîðûõx + I = I . Çíà÷èò, Ker 0 = K \ I . Ïî òåîðåìå î ãîìîìîðèçìå êîëåö ïîëó÷àåì, ÷òî (K + I )=I = K=(K \ I ). Çàìå÷àíèå. Èäåàë â êîëüöàõ áåç åäèíèöû ÿâëÿåòñÿ ïîäêîëüöîì.  êîëüöàõ ñ 1 î÷åâèäíî, ÷òî åñëè åäèíèöà ëåæèòâ èäåàëå, òî îí ñîâïàäàåò ñî âñåì êîëüöîì.Îïðåäåëåíèå.
Êîëüöî íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, åñëè â í¼ì íåò íåòðèâèàëüíûõ èäåàëîâ.Ïðèìåð. Ïðèìåðû ïðîñòûõ êîëåö ïîëÿ è òåëà. Çàìåòèì, ÷òî âñëåäñòâèå ïðîñòîòû ãîìîìîðèçìû ïîëåé è òåëáóäóò âëîæåíèÿìè.Èäåàëû â êîëüöå êâàäðàòíûõ ìàòðèöÒåîðåìà. Ïóñòü R êîëüöî ñ 1. Äëÿ âñÿêîãî èäåàëà I C R èìååì Mn (I ) C Mn (R). Âåðíî è îáðàòíîå: ëþáîé èäåàëâ êîëüöå êâàäðàòíûõ ìàòðèö Mn (R) åñòü êîëüöî ìàòðèö íàä íåêîòîðûì èäåàëîì êîëüöà R. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíî è ñëåäóåò èç ïðàâèëà óìíîæåíèÿ ìàòðèö. Äîêàæåì âòîðîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü M èäåàë â Mn (R). Ïîêàæåì, ÷òî M = Mn (I ), ãäå I íåêîòîðûé èäåàë â R.
 ñàìîì äåëå, èäåàë Mâûäåðæèâàåò ëåâîå è ïðàâîå óìíîæåíèå, â ÷àñòíîñòè, íà ìàòðè÷íûå åäèíèöû Eij . àññìîòðèì ìàòðèöó A = (aij ) 2 M .Óìíîæèì å¼ ñëåâà è ñïðàâà íà Eki è Ejl . Ïîëó÷èì Eki AEjl = aij Ekl . Ïî îïðåäåëåíèþ èäåàëà ðåçóëüòàò ëåæèò â M ,çíà÷èò, âìåñòå ñ ìàòðèöåé A èäåàë M ñîäåðæèò âñå ìàòðèöû, ñîñòàâëåííûå èç å¼ ýëåìåíòîâ, ïîñòàâëåííûõ â ïðîèçâîëüíóþ ñòðîêó è ñòîëáåö.
àññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë èç R, êîòîðûå ìîãóò ñîñòàâëÿòü ìàòðèöû èç M , èîáîçíà÷èì åãî ÷åðåç I . Ïîêàæåì, ÷òî ýòî èäåàë â R, ò.å. ïîêàæåì, ÷òî äëÿ 8 a 2 I âåðíî xa 2 I; 8 x 2 R. àññìîòðèììàòðèöó aEij 2 M , ïðè÷¼ì i; j ìîæíî áðàòü ëþáûìè. Òàê êàê M èäåàë, òî äëÿ 8 x 2 R èìååì (xa)Eij 2 M . Çíà÷èò,ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà I , ÷èñëî xa òàêæå ëåæèò â I .
Àíàëîãè÷íî ax 2 I , çíà÷èò, I èäåàë. Ñëåäñòâèå.  ÷àñòíîñòè, êîëüöî êâàäðàòíûõ ìàòðèö íàä ïðîñòûì êîëüöîì ïðîñòîå.Áóäåì òåïåðü ðàññìàòðèâàòü êîììóòàòèâíûå êîëüöà.Óòâåðæäåíèå. Ïðîñòîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ 1 ÿâëÿåòñÿ ïîëåì. Äîêàæåì, ÷òî êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò â òàêîì êîëüöå îáðàòèì. Ïóñòü x 2 R; x 6= 0. Òîãäà xR = R, òàê êàêêîëüöî ïðîñòîå. Ñëåäîâàòåëüíî, 9 y : xy = 1. Ýëåìåíò y è áóäåò îáðàòíûì ê x. Îïðåäåëåíèå.
Èäåàë, ïîðîæä¼ííûé îäíèì ýëåìåíòîì, íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì. Êîëüöî, â êîòîðîì âñå èäåàëû ãëàâíûå, íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ.Óòâåðæäåíèå. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé íàä ïîëåì K ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ. Ïóñòü I C K [x℄ è f 2 I ìíîãî÷ëåí íàèìåíüøåé ñòåïåíè. Äîêàæåì, ÷òî I = f K [x℄. Î÷åâèäíî, f K [x℄ I .Äîêàæåì, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò g 2 I äåëèòñÿ íà f .
Ïîäåëèì g ñ îñòàòêîì: g = fq + r. Ìíîãî÷ëåí fq 2 I ) r 2 I . Íîdeg r < deg f ) r = 0. Àáñîëþòíî òàêæå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáàÿ åâêëèäîâà îáëàñòü åñòü êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ.ÀëãåáðûÎñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðû14Îïðåäåëåíèå. Àëãåáðîé íàä ïîëåì K íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî (R; +; R ; K ) ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿè óìíîæåíèÿ íà ýëåìåíòû ïîëÿ K , îáëàäàþùèìè ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1Æ Ïî ñëîæåíèþ è óìíîæåíèþ íà ýëåìåíòû ïîëÿ K ìíîæåñòâî R åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî;2Æ Ïî ñëîæåíèþ è óìíîæåíèþ R åñòü êîëüöî;3Æ 8 2 K ; a; b 2 R (ab) = (a)b = a(b).Ïðèìåð 1.
Mn (K ); K [x℄.Îïðåäåëåíèå. Öåíòðîì êîëüöà R íàçûâåòñÿ åãî ïîäìíîæåñòâî Z (R) := fr 2 R : rx = xr 8 x 2 Rg.Ïóñòü R àëãåáðà íàä K , è R îáëàäàåò åäèíèöåé. Òîãäà ïîëå K âêëàäûâàåòñÿ â R î÷åâèäíûì îáðàçîì: 7! 1.Îïðåäåëåíèå. îìîìîðèçìîì àëãåáð R è S íàä ïîëåì K íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå f : R ! S ñî ñâîéñòâàìè:1Æ f (x + y ) = f (x) + f (y );2Æ f (xy ) = f (x)f (y );3Æ f (x) = f (x) 8 x 2 R; 2 K .Ìíîæåñòâî R ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé ñ 1 íàä K , R êîëüöî ñ 1 è K Z (R).
 îäíó ñòîðîíó î÷åâèäíî, â äðóãóþ ïðîâåðèòü àêñèîìû àëãåáðû. Åñëè àëãåáðà ñ 1, òî f ( 1) = f (1) = 2 S . Ïîëó÷àåì ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Åñëè àëãåáðà îáëàäàåò åäèíèöåé, òî ïðè ãîìîìîðèçìå àëãåáð ýëåìåíòû ïîëÿ îòîáðàæàþòñÿ òîæäåñòâåííî. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè f ãîìîìîðèçì êîëåö ñ 1 è îí òîæäåñòâåííî äåéñòâóåò íà ýëåìåíòû ïîëÿ,òî f ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì àëãåáð.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî f ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì íàä K .Ïîñêîëüêó àëãåáðà R åñòü âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì K , ìîæíî âûáðàòü áàçèñ: R = he1 ; : : : ; en i. Çàäàäèìóìíîæåíèå íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ:ei ej =nXk=1kij ek :×èñëà ij íàçûâàþòñÿ ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè.Çàäàíèå ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò íå ãàðàíòèðóåò àññîöèàòèâíîñòè!Ïðèìåð.  ìàòðè÷íîé àëãåáðå áèçèñ ñîñòàâëÿþò ìàòðè÷íûå åäèíèöû.Çàìå÷àíèå.ðóïïîâàÿ àëãåáðà êîíå÷íîé ãðóïïûÏóñòü äàíà êîíå÷íàÿ ãðóïïà G.
Çàíóìåðóåì (îðìàëüíî) áàçèñíûå âåêòîðû ýëåìåíòàìè ãðóïïû:ðóïïîâîé àëãåáðîé ãðóïïû G íàä ïîëåì K íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî(K G := a =Xg2Gag eg ag2Keg g 2 G.)ñ ïðàâèëîì óìíîæåíèÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ eg eh= egh :Îáû÷íî áàçèñíûå ýëåìåíòû îòîæäåñòâëÿþò ñ ýëåìåíòàìè ãðóïïû, ïîýòîìó ëþáîé ýëåìåíò àëãåáðû çàïèñûâàåòñÿPâ âèäå a =ag g. Èç àññîöèàòèâíîñòè óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ ãðóïïû ñëåäóò àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ â àëãåáðå.g2GÑòðóêòóðíûå êîíñòàíòû àëãåáðû çàâèñÿò îò áàçèñà è ÿâëÿþòñÿ òåíçîðàìè òèïà (2; 1). Óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ àëãåáðû R áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå m : R R ! R, m(x; y ) = xy . Ñîïîñòàâèì ýòîìó îòîáðàæåíèþ òðèëèíåéíîåîòîáðàæåíèå T : R R R ! K , T (x; y; f ) = f (m(x; y )).Ôàêòîðàëãåáðà àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâK [x℄.
Âîçüì¼ì èäåàë, ïîðîæä¼ííûé íåíóëåâûì ìíîãî÷ëåíîì f ñòåïåíè n. Ïîñòðîèì àêòîðàëãåáðóK [x℄ f K [x℄ = fg + f K [x℄g . Êàæäûé ñìåæíûé êëàññ, î÷åâèäíî, ñîäåðæèò åäèíñòâåííûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè ìåíüøå n.àññìîòðèìÆÏîýòîìó àêòîðàëãåáðó ìîæíî îòîæäåñòâèòü (êàê ìíîæåñòâî) ñ ìíîæåñòâîì ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ìåíüøå n. Îáîçíà÷èì g := g + f K [x℄ îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà f . Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå îñòàòêîâ òàêæå åñòüîñòàòîê, à çíà÷èò,äàííîåìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ àêòîðàëãåáðîé. Áàçèñ å¼ ñîñòàâëÿþò ìíîãî÷ëåíû 1; x; x2 ; : : : ; xn 1 .Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü R êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðà ñ 1 íàä K , òî âñÿêèé íåäåëèòåëü íóëÿ îáðàòèì.
Ïóñòü a 2 R è a íåäåëèòåëü íóëÿ. àññìîòðèì îòîáðàæåíèå R ! R; x 7! ax. Îíî íåâûðîæäåíî, à çàí÷èò,ñþðúåêòèâíî è 9 y : y 7! 1 ) ay = 1. Àíàëîãè÷íî íàõîäèòñÿ ëåâûé îáðàòíûé ýëåìåíò. Ñëåäñòâèå. Êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðà áåç äåëèòåëåé íóëÿ ÿâëÿåòñÿ òåëîì. Äîêàæåì, ÷òî åñëè â êîíå÷íîìåðíîé àëãåáðå åñòü õîòû áû îäèí íåäåëèòåëü íóëÿ, òî â íåé åñòü åäèíèöà. Ïóñòü íåäåëèòåëü íóëÿ.
Âîçüìåì äëÿ íåãî àííóëèðóþùèé ìíîãî÷ëåí ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè (ñóùåñòâîâàíèå åãî î÷åâèäíîâñëåäñòâèå êîíå÷íîìåðíîñòè), è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åãî êîýèöèåíò ïðè ìëàäøåé ñòåïåíè åäèíèöà:1 + 2 2 + 3 3 + : : : + m m = 0:Òîãäà óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ýëåìåíò e := (2 1 + 3 2 + : : : + m m 1 ) áóäåò èñêîìîé åäèíèöåé, ò.å. ÷òî xe = x 8 x.Ïóñòü xe x = y . Ïîñêîëüêó íåäåëèòåëü íóëÿ, òî ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî óìíîæèòü íà . Ïîëó÷èì xe x =x(e ) = y. Çàìåòèì, ÷òî e = 0. Çíà÷èò, ïîëó÷àåì 0 = y, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî y = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, xe = x.Îñòà¼òñÿ ïðèìåíèòü äîêàçàííîå âûøå óòâåðæäåíèå. Îïðåäåëåíèå. Àëãåáðà, ÿâëÿþùàÿñÿ òåëîì, íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé ñ äåëåíèåì.Êîììóòàòèâíàÿ êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðà áåç äåëèòåëåé íóëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.15Âåðí¼ìñÿ ê àëãåáðå ìíîãî÷ëåíîâ. Åñëè ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò f èäåàëà f K [x℄ ïðèâîäèì, ò.å. f = gh, òî â àêòîðàëãåáðå åñòü äåëèòåëè íóëÿ: (g + f K [x℄)(h + f K [x℄) = f + f K [x℄ = f K [x℄ = 0: Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè f íåïðèâîäèì,òî äåëèòåëåé íóëÿ íåò, òàê êàê åñëè áû (g + f K [x℄)(h + f K [x℄) = 0, òî gh 2 f K [x℄ ) f jgh, ò.å. f jg èëè f jh.Ïîëÿ è èõ ðàñøèðåíèÿàñøèðåíèÿ.
Àëãåáðàè÷åñêèå è òðàíñöåíäåíòíûå ýëåìåíòûîâîðÿò, ÷òî ïîëå L åñòü ðàñøèðåíèå ïîëÿ K , åñëè K L.L ðàñøèðåíèå K , òî L ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé íàä K .Îïðåäåëåíèå. àçìåðíîñòü ðàñøèðåíèÿ L êàê àëãåáðû íàä K íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ðàñøèðåíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿdimK L èëè (L : K ).Æ ÷àñòíîñòè, K K [x℄ fK [x℄.Òåîðåìà 1. Äàíî ïîëå K è ìíîãî÷ëåí f (x) 2 K [x℄; f (x) 6= onst. Òîãäà 9 L K , â êîòîðîì f èìååò êîðåíü.Æ Ïóñòü p(x) íåïðèâîäèìûé ìíîæèòåëü f (x). àññìîòðèì àêòîðêîëüöî L := K [x℄ p(x)K [x℄.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
