Электронные лекции (1106005), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Äëÿ êàæäîãîp ðàññìîòðèì ïîäãðóïïû p-êðó÷åíèÿTorp G := a 2 G : pk a = 0 äëÿ íåêîòîðîãî k 2 Z ;ò.å. ñóììû p-ïðèìàðíûõ ñëàãàåìûõ ïðè èêñèðîâàííîì p. Àíàëîãè÷íî ïåðâîìó ñëó÷àþ ÷èñëî òàêèõ ïîäãðóïï îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Îñòà¼òñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà G ïðèìàðíàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà pk . Ïóñòü åñòü ðàçëîæåíèåG = h1 ipk1 : : : hr ipkr , è k1 + : : : ks = k. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî k, ÷òî íàáîð ÷èñåë fk1 ; : : : ; kr g îò ðàçëîæåíèÿíå çàâèñèò.
Ïðè k = 1 âñ¼ î÷åâèäíî. Ïóñòü k > 1. Òîãäà ðàññìîòðèì ïîäãðóïïó pG := fpaja 2 Gg. Î÷åâèäíî, ÷òîpG = hp1 ipk1 1 : : : hpr ipkr 1 . Åñëè ki = 1, òî ýòî ñëàãàåìîå ïðè óìíîæåíèè íà p èñ÷åçíåò. Îïðåäåëåíèå pG îò ðàçëîæåíèÿ íå çàâèñèò, à ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè äëÿ ïîðÿäêà ìåíüøå pk íàáîð ÷èñåë fki g íå çàâèñèò îò ðàçëîæåíèÿ.Òåì ñàìûì òåîðåìà äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå. Ïîäãðóïïó êðó÷åíèÿ èíîãäà íàçûâàþò ïåðèîäè÷åñêîé ÷àñòüþ àáåëåâîé ãðóïïû.Êàê ïî ðàçëîæåíèþ îïðåäåëèòü, èçîìîðíû ëè ãðóïïû? Íóæíî ðàçëîæèòü èõ â ïðèìàðíûå öèêëè÷åñêèå.  ñèëóåäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ìîæíî ïî íåìó ñóäèòü îá èçîìîðíîñòè ãðóïï.Êîíå÷íûå àáåëåâû ãðóïïûÏîêàçàòåëåì ãðóïïû íàçûâàåòñÿ ÷èñëî d := min k > 0 : xk = e 8 x 2 G .Âûÿñíèì, êîãäà ïðÿìàÿ ñóììà öèêëè÷åñêèõ ãðóïï öèêëè÷åñêàÿ.
Ïóñòü G = ha1 in1 : : : has ins ; jGj = n = n1 : : : ns .ðóïïà G öèêëè÷åñêàÿ, êîãäà â íåé åñòü ýëåìåíò ïîðÿäêà n. 8 x = (x1 ; : : : ; xs ) èìååì O(xi )jni . Âîçüì¼ì ýëåìåíòa = (a1 ; : : : ; as ) îí, î÷åâèäíî, èìååò íàèáîëüøèé ïîðÿäîê. O(a) = ÍÎÊ fn1 ; : : : ; ns g. Çíà÷èò, G öèêëè÷åñêàÿ ,÷èñëà n1 ; : : : ; ns ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòû.Óòâåðæäåíèå. Êîíå÷íàÿ àáåëåâà ãðóïïà G öèêëè÷åñêàÿ , å¼ ïîêàçàòåëü d ðàâåí ïîðÿäêó ãðóïïû. Î÷åâèäíî, ÷òî d = ÍÎÊ fO(x)jx 2 Gg. àçëîæèì ãðóïïó â ïðÿìóþ ñóììó öèêëè÷åñêèõ ãðóïï. Åñëè èõ ïîðÿäêèíå âçàèìíî ïðîñòû, òî d < jGj è ãðóïïà íå öèêëè÷åñêàÿ.
Íàîáîðîò, åñëè ïîðÿäêè ñëàãàåìûõ âçàèìíî ïðîñòû, òî d = jGjè ãðóïïà öèêëè÷åñêàÿ. Åñòü áèåêöèÿ ìåæäó êîíå÷íûìè àáåëåâûìè ãðóïïàìè ïîðÿäêà n è ðàçëîæåíèÿìè ÷èñëà n â ïðîèçâåäåíèå ñòåïåíåéïðîñòûõ ÷èñåë.Ïðèìåð. jGj = 72 = 8 9 = 4 2 9 = 2 2 2 9 = 8 3 3 = 4 2 3 3 = 2 2 2 3 3.Îïðåäåëåíèå.G1 = Z8 Z9G2 = Z4 Z2 Z9:::G6 = Z2 Z2 Z2 Z3 Z37Ñâîéñòâà ïîäãðóïï â ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïå ïîëÿ ïîëå, K = K n f0g åãî ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà.Óòâåðæäåíèå.
Ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà â ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïå ïîëÿ öèêëè÷åñêàÿ. Ïóñòü G K ; jGj = n; d ïîêàçàòåëü G. Èìååì xd = 1 8 x 2 G. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå xdáîëåå ÷åì d êîðíåé, òî jGj 6 d ) jGj = d, ÷òî è îçíà÷àåò öèêëè÷íîñòü ãðóïïû. ÏóñòüKåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ àáåëåâûõ ãðóïï. Äèñêðåòíûå ïîäãðóïïû â1 = 0 èìååò íåRnÎïðåäåëåíèå.
Ïóñòü V = R åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. àññìîòðèì ïîäãðóïïó G (V; +). Îíà íàçûâàåòñÿðåø¼òêîé, åñëè:1Æ G äèñêðåòíà, ò.å. 9 " > 0 : fx 2 V : jxj < "g \ G = f0g;2Æ hGi = V , ò.å. ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà G ñ âåùåñòâåííûìè êîýèöèåíòàìè ñîâïàäàåò ñ V .Òåîðåìà. Ëþáàÿ ðåø¼òêà G â Rn ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé àáåëåâîé ãðóïïîé, ïîðîæä¼ííîé íåêîòîðûì áàçèñîì ïðîPñòðàíñòâà V , ò.å G =ki ei ki 2 Z : ÈçPâòîðîãî ïóíêòà îïðåäåëåíèÿ G ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V u1; : : : ; un 2 G. Ïóñòü x 2 G,òîãäà x = i ui .
Âîçìîæíû 3 ñëó÷àÿ äëÿ êîýèöèåíòîâ ðåø¼òêè:1Æ 8 x 2 G 8 i 2 Q , è âñå çíàìåíàòåëè ó i îãðàíè÷åíû ñâåðõó;2Æ i 2 Q, íî èìåþò ñêîëü óãîäíî áîëüøèå çíàìåíàòåëè;2Æ 9 x, ó êîòîðîãî õîòÿ áû îäíà èç êîîðäèíàò èððàöèîíàëüíà.nÏîêàæåì, ÷òî èç âñåõ ñëó÷àåâ âîçìîæåí òîëüêî ñëó÷àé 1Æ . Ïóñòü FnPki ui ki 2 Z ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïài=1ðàíãà n.
Âçÿâ ÍÎÊ âñåõ çíàìåíàòåëåé êîýèöèåíòîâ, ìîæíî íàéòè N : Nx 2 F 8 x 2 G. Î÷åâèäíî, ÷òî îòîáðàæåíèåx 7 '! Nx åñòü èíúåêòèâíûé ãîìîìîðèçì G ! F . Òîãäà G = Im ' F ) G ñâîáîäíàÿ ãðóïïà (êàê ïîäãðóïïàñâîáîäíîé ãðóïïû), è rk G 6 n. Íî òàê êàê hGi = V , òî rk G = n. Çíà÷èò, áàçèñ V åñòü áàçèñ G.Äîêàæåì, ÷òî ñëó÷àè 2Æ è 3Æ äëÿ äèñêðåòíîé ïîäãðóïïû íåâîçìîæíû. Âî âòîðîì ñëó÷àå, òàê êàê çíàìåíàòåëè êîýèöèåíòîâíåîãðàíè÷åíû,ìîæíî îòáðîñèòü öåëûå ÷àñòè êîîðäèíàò è ðàññìîòðåòü â G ïîäìíîæåñòâînPM := x 2 G x = i ui ; 0 6 i 6 1 . Îíî, î÷åâèäíî, îãðàíè÷åíî è áåñêîíå÷íî, à çíà÷èò, îáëàäàåò ïðåäåëüíîé òî÷i=1êîé, â ëþáîé îêðåñòíîñòè êîòîðîé åñòü òî÷êè èç G. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò äèñêðåòíîñòè. òðåòüåì ñëó÷àå ïóñòüx = 1 u1 + : : : + n un è äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè êîîðäèíàòà 1 2= Q .
àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ xm = mx m 2 Z (àíàëîãè÷íî îòáðîñèì öåëûå ÷àñòè êîîðäèíàò è îñòàâèì òîëüêî äðîáíûå).nPÄîêàæåì, ÷òî âñå ýëåìåíòû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçëè÷íû. Ïóñòü mx = lx, òîãäà mx lx =ki ui ; ki 2 Z, à çíài=1÷èò, m1 l1 = k1 , ò.å. 1 2 Q , à ïî óñëîâèþ ýòî íå òàê. Çíà÷èò, âñå xi ðàçëè÷íû. Íî îíè âñå íàõîäÿòñÿ â îãðàíè÷åííîéîáëàñòè, à çíà÷èò ñíîâà åñòü ïðåäåëüíàÿ òî÷êà è ïðîòèâîðå÷èå ñ äèñêðåòíîñòüþ G. =Íîðìàëüíûå ðÿäû ãðóïïû.
Òåîðåìà Æîðäàíà - ¼ëüäåðàÍîðìàëüíûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäãðóïï G = H0 B H1 B H2 B : : : B Hk = feg.íàçûâàåòñÿ äëèíîé íîðìàëüíîãî ðÿäà. Ôàêòîðãðóïïû Hk 1 =Hk íàçûâàþòñÿ àêòîðàìè íîðìàëüíîãî ðÿäà.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàí íîðìàëüíûé ðÿä G = H0 B H1 B H2 B : : : B Hk = feg. Äðóãîé íîðìàëüíûé ðÿä G =F0 B F1 B F2 B : : : B Fm = feg íàçûâàåòñÿ óïëîòíåíèåì ïåðâîãî, åñëè âñå ïîäãðóïïû ïåðâîãî ðÿäà âñòðå÷àþòñÿ âîâòîðîì. íîðìàëüíîì ðÿäå ëþáîé ÷ëåí ìîæåò ïîâòîðÿòüñÿ ñêîëü óãîäíî ìíîãî ðàç. Åñëè ýòîãî íåò, òî ãîâîðÿò î ðÿäå áåçïîâòîðåíèé.Îïðåäåëåíèå. Êîìïîçèöèîííûé ðÿä íîðìàëüíûé ðÿä, êîòîðûé íåëüçÿ óïëîòíèòü (áåç ïîâòîðåíèé).Îïðåäåëåíèå.
ðóïïà íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè â íåé íåò íåòðèâèàëüíûõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï.Î÷åâèäíî, ÷òî ðÿä êîìïîçèöèîííûé , âñå åãî àêòîðû ïðîñòûå.Òåîðåìà Æîðäàíà - ¼ëüäåðà. Ïóñòü G îáëàäàåò êîìïîçèöèîííûì ðÿäîì äëèíû k . Òîãäà âñå íîðìàëüíûå ðÿäû âG èìåþò äëèíó íå áîëüøå k, à âñå êîìïîçèöèîííûå ðÿäû èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó è èõ àêòîðû èçîìîðíû ïîñëåíåêîòîðîé ïåðåñòàíîâêè. Ïóñòü â G åñòü ñîîòâåòñòâåííî êîìïîçèöèîííûé è íîðìàëüíûé ðÿäûÎïðåäåëåíèå.×èñëîkG = H0 B H1 B H2 B : : : B Hk = feg ; G = K0 B K1 B K2 B : : : B Km = feg :Äîêàæåì, ÷òî m 6 k .
Ïðîâåä¼ì èíäóêöèþ ïî ÷èñëó k . Åñëè k = 1, òî ãðóïïà ïðîñòàÿ è âñ¼ î÷åâèäíî. Ïóñòüóòâåðæäåíèå òåîðåìû âåðíî äëÿ ðÿäîâ äëèíû < k , äîêàæåì äëÿ ðÿäîâ äëèíû k .1Æ Ïåðâûé ñëó÷àé: K1 H1 . Òîãäà H1 B K1 B K2 B : : : Km íîðìàëüíûé ðÿä â H1 . Íî ïî óñëîâèþ â H1 åñòüêîìïîçèöèîííûé ðÿä äëèíû k 1, à òîãäà ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè âñå ðÿäû â H1 èìåþò äëèíó 6 k 1. Çíà÷èò,m 1 6 k 1 ) m 6 k.2Æ Âòîðîé ñëó÷àé: K1 * H1 . Íî òîãäà è H1 * K1 , ïîñêîëüêó èíà÷å áû â G=H1 áûëà áû ïîäãðóïïà K1 =H1 , àýòîãî íå áûâàåò, òàê êàê âñå àêòîðû ïðîñòûå. Îáîçíà÷èì L := (H1 \ K1 ).
Èòàê, èìååì L C H1 ; L 6= H1 . àññìîòðèìH1 K1 . Èìååì H1 & H1 K1 C G ) H1 K1 = G. Ïî âòîðîé òåîðåìå îá èçîìîðèçìå G=H1 = H1 K1=H1 = K1=L èG=K1 = H1 K1 =K1 = H1 =L.  H1 åñòü êîìïîçèöèîííûé ðÿä äëèíû 6 k 1, à â L åñòü êîìïîçèöèîííûé ðÿä äëèíû86 k 2, òàê êàê L C H1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, L C K1; L 6= K1 , è L ïðîñòàÿ ãðóïïà. Çíà÷èò, è â K1 åñòü êîìïîçèöèîííûéðÿä äëèíû k 1. Çíà÷èò, ìîæíî ïðèìåíèòü èíäóêòèâíîå ïðåäïîëîæåíèå, è âî âòîðîì ñëó÷àå òàêæå ïîëó÷àåì m 6 k .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå êîìïîçèöèîííûå ðÿäû â G èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó.Òåïåðü äîêàæåì âòîðîå óòâåðæäåíèå îá èçîìîðíîñòè àêòîðîâ. Ïóñòü â G åñòü äâà êîìïîçèöèîííûõ ðÿäàG = H0 B H1 B H2 B : : : B Hk = feg ; G = K0 B K1 B K2 B : : : B Kk = feg :Ïðîâåä¼ì èíäóêöèþ ïî äëèíå ðÿäà.
àññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. Ïåðâûé ñëó÷àé: H1 = K1 . Òîãäà ïðèìåíèì ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè ê H1 è ñâåä¼ì óòâåðæäåíèå ê ìåíüøåìó ÷èñëó àêòîðîâ. Âòîðîé ñëó÷àé: H1 6= K1 . Òîãäà ðàññìîòðèìïîäãðóïïó L2 := (H1 \ K1 ). Èìååì L2 C H1 C G è L2 C K1 C G. Òîãäà èìååì ðÿäû(1) G B H1 B H2 B H3 B : : :(2) G B H1 B L2 B L3 B L4 B : : :(3) G B K1 B L2 B L3 B L4 B : : :(4) G B K1 B K2 B K3 B : : :Çäåñü L3 B L4 B : : : íåêîòîðûé êîìïîçèöèîííûé ðÿä â L2 . Ïîñìîòðèì íà ïåðâûå äâà ðÿäà.  H1 èìååì äâàH1 L21 H2êîìïîçèöèîííûõ ðÿäà äëèíû k 1, à çíà÷èò ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ èõ àêòîðû HH2 ; H3 ; : : : è L2 ; L3 ; : : :K1 L21 K2èçîìîðíû ïîñëå íåêîòîðîé ïåðåñòàíîâêè. Òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü ïðî äâà ïîñëåäíèõ ðÿäà: KK2 ; K3 ; : : : è L2 ; L3 ; : : :HKKHKHGG1 1 Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî G = H1 K1 , òîãäà H1 = H= L21 , è K1 = K1 1 1 = L21 , òî åñòü ïåðâûå è âòîðûå àêòîðû âî1âòîðîì è òðåòüåì ðÿäàõ èçîìîðíû ¾êðåñò-íàêðåñò¿.
Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïðèìåð. Êîìïîçèöèîííûå ðÿäû âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ åñòü öåïî÷êè âëîæåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ. Âñå ðÿäû îäèíàêîâîé äëèíû ) ÷èñëî ýëåìåíòîâ â áàçèñå îäèíàêîâî.Êîììóòàíò. àçðåøèìûå ãðóïïû. Ïðîñòûå ãðóïïûÊîììóòàíòðóïïà íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé, åñëè îíà îáëàäàåò íîðìàëüíûì ðÿäîì ñ àáåëåâûìè àêòîðàìè.Ïîïûòàåìñÿ ïîñòðîèòü òàêîé ðÿä. Íóæíî ïîñòðîèòü ïîäãðóïïó N C G, òàêóþ, ÷òî G=N àáåëåâà. Äëÿ ýòîãî âîçüì¼ìêîììóòàòîðû [a; b℄ âñåõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû.Óòâåðæäåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
