Электронные лекции (1106005), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ñóùåñòâóåò g = h1 : : : hs = h01 : : : h0s . Ïðåîáðàçóåìðàâåíñòâî ê âèäó h01 1 h1 = h02 : : : h0s hs 1 : : : h2 1 . Ñëåâà ñòîèò ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ èç H1 , ñïðàâà èç H2 : : : Hs . Ïåðåñå÷åíèå òðèâèàëüíî ) h01 1 h1 = e , h1 = h01 . Àíàëîãè÷íî hi = h0i 8 i, ÷òî è îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ. III:Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî II, ïîëüçóÿñü èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ïîäãðóïï. IV: Äîêàæåì íîðìàëüíîñòü ïîäãðóïï Hi . Ïóñòühj 2 Hj .
Òîãäà ghj g 1 = g1 : : : gs hj gs 1 : : : g1 1 . Ïî óñëîâèþ ýëåìåíòû êîììóòèðóþò, çíà÷èò, èõ ìîæíî ïåðåñòàâèòü ñ hj ,è îíè ñîêðàòÿòñÿ, à çíà÷èò, ghj g 1 = hj , ÷òî è äà¼ò íîðìàëüíîñòü. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé êîíå÷íîé ãðóïïû G. Òîãäà ìîæíî ïðèâåñòè åù¼ íåñêîëüêî ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèéïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Óòâåðæäåíèå. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû îïðåäåëåíèþ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ êîíå÷íûõ ãðóïï:V. 1Æ , 2Æ òå æå, ÷òî è â ïåðâûõ 4 ãðóïïàõ óñëîâèé; 3Æ jGj = jH1 j : : : jHs j;VI.
1Æ òî æå ñàìîå; 2Æ jGj = jH1 j : : : jHs j; 3Æ ëþáîå èç ïðåäûäóùèõ. VI: àññìîòðèì H = H1 : : : Hs ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå. Òîãäà jH j = jH1 j : : : jHs j, òàê êàê ãðóïïû êîíå÷íû.Ñëåäîâàòåëüíî, H = G. V: Âûâåäåì åäèíñòâåííîñòü. Èç 1Æ è 2Æ ñëåäóåò, ÷òî jGj 6 jH1 j : : : jHs j. àññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ g1 : : : gs . Åñëè áû êàêèå-òî èç íèõ ñîâïàäàëè, òî íåðàâåíñòâî áûëî áû ñòðîãèì, à òàêîãî ïî óñëîâèþíå áûâàåò. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.  àääèòèâíîé òåðìèíîëîãèè ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé: G = H1 : : : Hs .àçëîæåíèå öèêëè÷åñêèõ ãðóïï(Z; +) íå ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå, òàê êàê äëÿ 8m;n ïåðåñå÷åíèå íå ïóñòî: mZ\ nZ mnZ.G = hain , ãäå n êîíå÷íî.
Åñëè H ïîäãðóïïà â G, òî H = D ad ; jEH j = nd . Åñëè n = pk , ãäå p ïðîñòîå,EÏðèìåð 1.Ïðèìåð 2.òîDHi = ap ; i 6 k. Òîãäà ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ íåò: hai hap i : : : apÎïðåäåëåíèå. ðóïïà ïîðÿäêà pk íàçûâàåòñÿ p-ïðèìàðíîé ãðóïïîé.+*nÏóñòüikn = pk11 : : : pks s , è pi 6= pj ; i 6= j . àññìîòðèì ãðóïïû Hi = akpi iQ1 feg.è èõ ïðîèçâåäåíèåpki iG=QHi .Åñëè x 2 Hj , òî O(x) íåêîòîðàÿ ñòåïåíü ÷èñëà pj .
Ïóñòü x 2Hi . Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî O(x) = 1 è x = e.QQÊðîìå òîãî, èìååì jHi j = pki i = jGj. Òåì ñàìûì ëþáàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèåïðèìàðíûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï.Âíåøíåå ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèåe :::e Gs . ÎíàÏóñòü G1 ; : : : ; Gs ãðóïïû. Ñîñòàâèì èç íèõ ãðóïïó G := (g1 ; : : : ; gs ) gi 2 Gi = G1 ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ-ñòðîê èç gi è íàçûâàåòñÿ âíåøíèì ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï Gi .Ìîæíî îòîæäåñòâèòü âíåøíåå è âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü G = H1 : : : Hs (ïðîe = G1 e ïî ïðàâèe :::e Gs (âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå). Ïîñòðîèì èçîìîðèçì ' : G ! Gèçâåäåíèå ïîäãðóïï), à G'ëó g1 : : : gs 7 ! (g1 ; : : : ; gs ).
Îòîáðàæåíèå çàäàíî êîððåêòíî, òàê êàê ýëåìåíòû èç ðàçíûõ ïîäãðóïï êîììóòèðóþò, è(g1 : : : gs )(g10 : : : gs0 ) = (g1 g10 ) : : : (gs gs0 ) 7! (g1 g10 ; : : : gs gs0 ). Ïîäãðóïïû Hi ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ìíîæåñòâàìè âåêòîðîâf(e; : : : ; e; gi; e; : : : ; e)g, ò.å. ïîäãðóïïàìè âî âíåøíåì ïðîèçâåäåíèè, è òàêèì îáðàçîì, âíåøíåå è âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî íå ðàçëè÷àòü.Îïðåäåëåíèå.îìîìîðèçìû ïðîèçâåäåíèé ãðóïïÏóñòü åñòü ãîìîìîðèçì G ! H = H1 : : : Hs è íàáîðãîìîìîðèçìîâ 'i : G ! Hi .
Îïðåäåëèì ãîìîìîðèçì' : G ! H ñëåäóþùèì îáðàçîì: '(g) := '1 (g); : : : ; 's (g) . Íàîáîðîò,ïî îòîáðàæåíèþ' ìîæíî îïðåäåëèòü 'i . Èìååòñÿ áèåêöèÿ ìåæäó íàáîðîì ãîìîìîðèçìîâ èç G â H è ìíîæåñòâîì 'i 'i : G ! Hi .'Ïóñòü G = G1 : : : Gs 7 ! H . ×òîáû çàäàòü ', äîñòàòî÷íî çíàòü, êàê äåéñòâóþò îãðàíè÷åíèÿ 'i = 'jGi ; 'i :iGi 7 '!H . Îòîáðàæåíèå ' çàäàåòñÿ îãðàíè÷åíèÿìè îäíîçíà÷íî: '(g) = '(g1 : : : gs ) = ('1 (g1 ) : : : 's (gs )). Îòîáðàæåíèå' áóäåò ãîìîìîðèçìîì, êîãäà ýëåìåíòû îáðàçîâ ðàçëè÷íûõ 'i êîììóòèðóþò: yi 2 Im 'i ; yj 2 Im 'j ) yi yj = yj yi .
Âòîì ñëó÷àå, êîãäà ãðóïïà H àáåëåâà, òî âñåãäà åñòü áèåêòèâíîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâîì ãîìîìîðèçìîâ èçG â H è íàáîðàìè f'1 : : : 's g.Òåîðåìà. Ïóñòü G = G1 : : : Gs , è Hi C Gi . Òîãäà H C G è G=H = G1 =H1 : : : Gs =Hs . Ïîñòðîèì ýïèìîðèçì ' : G ! G1 =H1 : : : Gs =Hs . Ïîëîæèì '(g1 : : : gs ) = (g1 H1 ; : : : ; gs Hs ). Î÷åâèäíî,÷òî îòîáðàæåíèå çàäàíî êîððåêòíî. Íàéä¼ì åãî ÿäðî. Ker ' = fg1 : : : gs : gi Hi = Hi ) gi 2 Hi 8 i; g. Ñëåäîâàòåëüíî,Ker ' = H1 : : : Hs , à ïî òåîðåìå î ãîìîìîðèçìå G= Ker ' = Im '. Ñëåäñòâèå. ×àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû: G = H1 H2 ) G=H1 = H2 .Àáåëåâû ãðóïïûÎñíîâíûå ñâîéñòâà àáåëåâîé ãðóïïå âñÿêàÿ ïîäãðóïïà íîðìàëüíà.àññìîòðèì ãîìîìîðèçìû âèäà ' : G ! K , ãäå G ïðîèçâîëüíàÿ ãðóïïà, K àáåëåâà.
Ïîïðîáóåì ââåñòè íàìíîæåñòâå ãîìîìîðèçìîâ ñòðóêòóðó ãðóïïû. Îïðåäåëèì ïðîèçâåäåíèå ãîìîìîðèçìîâ òàê: ('1 '2 )(x) := '1 (x)'2 (x).Åñëè K àáåëåâà, òî ïðîèçâåäåíèå ãîìîìîðèçìîâ åñòü ãîìîìîðèçì (äëÿ íåàáåëåâûõ ãðóïï ýòî íåâåðíî!!!):5(' )(xy) = '(xy) (xy) = '(x) '| (y{z) (x}) (y) = '(x) (x) '(y) (y) = (' )(x)(' )(y):êîìì.1 (x)Îïðåäåëèì îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ':= '(x) 1 . Îíî áóäåò ãîìîðèçìîì òîëüêî òîãäà, K àáåëåâà ãðóïïà. êà÷åñòâå íåéòðàëüíîãî ýëåìåíòà âîçüì¼ì ãîìîìîðèçì, ïåðåâîäÿùèé âñ¼ â åäèíèöó.
Òàêèì îáðàçîì ìû ïîñòðîèëèãðóïïó Hom(G; K ). Çàìåòèì, ÷òî îíà áóäåò àáåëåâîé.Ñèñòåìû ïîðîæäàþùèõ â àáåëåâîé ãðóïïåÏîñêîëüêó â àáåëåâûõ ãðóïïàõ âñå ýëåìåíòû êîììóòèðóþò, ïðàâèëüíûìè ñëîâàìè áóäóò òå, â êîòîðûõ âñå ýëåìåíòûïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ïóñòü äàíà ãðóïïà (G; +). Òîãäà ëþáîé ýëåìåíò ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå öåëî÷èñëåííîéëèíåéíîéPêîìáèíàöèè ïîðîæäàþùèõ, â êîòîðîé òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî êîýèöèåíòîâ îòëè÷íû îò íóëÿ: g =ni ai ; ni 2 Z.i2IÎäíàêî çàïèñü ýëåìåíòà ïî-ïðåæíåìó íåîäíîçíà÷íà.Çàäà÷à. Äîêàçàòü, ÷òî êàêóþ áû ìû íå âçÿëè ñèñòåìó ïîðîæäàþùèõ â ãðóïïàõ (Q ; +) è (Q ; ), èç íå¼ ìîæíîâûêèíóòü êàêîé-òî ýëåìåíò.Áóäåì òåïåðü ðàññìàòðèâàòü àáåëåâû ãðóïïû ñ êîíå÷íîé ñèñòåìîé ïîðîæäàþùèõ.Îïðåäåëåíèå. Êîíå÷íîïîðîæäåííàÿ àáåëåâà ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé àáåëåâîé ãðóïïîé ñî ñâîáîäíîé ñèñòåìîé ïîðîæäàþùèõ fa1 ; : : : ; an g, åñëè çàïèñü ýëåìåíòà â âèäå öåëî÷èñëåííîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýòèõ ïîðîæäàþùèõ îäíîçíà÷íà.
Ñèñòåìà ïîðîæäàþùèõ íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå áàçèñîì, à ÷èñëî n ðàíãîì ãðóïïû.Àáåëåâà ãðóïïà ñâîáîäíà, åñëè îíà îáëàäàåò áàçèñîì. G = ha1 i1 : : : han i1 .Òåîðåìà 1. Êîíå÷íîïîðîæä¼ííàÿ àáåëåâà ãðóïïà èçîìîðíà íåêîòîðîé àêòîðãðóïïå ñâîáîäíîé ãðóïïû òîãî æåðàíãà, ò.å. åñëè F ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà ñ áàçèñîì fx1 ; : : : ; xn g,Pà G = ha1 ;P: : : ; an i, òî 9 H F : G = F=H . Îïðåäåëèì ýïèìîðèçì ' : F ! G òàê: '(xi ) := ai . Òîãäà '( ni xi ) = ni ai .
Î÷åâèäíî, åãî îáðàç åñòü âñÿãðóïïà G. Ïî òåîðåìå î ãîìîìîðèçìå F= Ker ' = G. ßäðî ' è áóäåò èñêîìîé ïîäãðóïïîé â F . àçëîæåíèå êîíå÷íîïîðîæä¼ííûõ àáåëåâûõ ãðóïïÏóñòü F ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà ñ áàçèñîì fx1 ; : : : ; xn g, èH,è y=nPi=1ai xi ; ai2 Z. ×èñëà aiîáðàçóþò ìàòðèöóH F , fy g 2 ñèñòåìà ïîðîæäàþùèõ ïîäãðóïïûA, â êîòîðîé n ñòðîê è, âîçìîæíî, áåñêîíå÷íîå ÷èñëîñòîëáöîâ.
Åñòü 3 òèïà öåëî÷èñëåííûõ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (ÝÏ) òàêîé ìàòðèöû:1Æ Ê îäíîé ñòðîêå ìîæíî ïðèáàâèòü äðóãóþ, óìíîæåííóþ íà öåëîå ÷èñëî;2Æ Ìîæíî ìåíÿòü ñòðîêè/ñòîëáöû ìåñòàìè;3Æ Ìîæíî óìíîæàòü ñòðîêó íà îáðàòèìûå ýëåìåíòû êîëüöà Z, òî åñòü íà 1.Òåîðåìà 2. Ïîñðåäñòâîì ÝÏ ìîæíî ïðèâåñòè ìàòðèöó êîýèöèåíòîâ ê ¾äèàãîíàëüíîìó¿ âèäó diag(d1 ; : : : ; dn ).Ïðè ýòîì d1 jd2 j : : : jdn è èòîãîâûé âèä ìàòðèöû îïðåäåë¼í îäíîçíà÷íî. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ñòðîê (èõ êîíå÷íîå ÷èñëî). Åñëè ìàòðèöà íóëåâàÿ, äîêàçûâàòü íå÷åãî. Áàçàèíäóêöèè: n = 1.
Âûáåðåì íàèìåíüøèé ïî ìîäóëþ íåíóëåâîé ýëåìåíò ai . Åñëè âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû äåëÿòñÿ íàíåãî, òî ìîæíî ïóò¼ì ÝÏ ïåðâîãî òèïà îáíóëèòü âñå ýòè ýëåìåíòû. Åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò aiÆ , íå äåëÿùèéñÿ íà ai ,òî ñ ïîìîùþ ñòîëáöà ïîäåëèì aiÆ ñ îñòàòêîì, è ïîëó÷èì ìåíüøèé ïî ìîäóëþ ýëåìåíò (îñòàòîê). Ïîñëå êîíå÷íîãî÷èñëà øàãîâ âñå ýëåìåíòû ñòðîêè áóäóò äåëèòüñÿ íà êàêîé-òî èç å¼ ýëåìåíòîâ. Áàçà èíäóêöèè åñòü.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñ¼ äîêàçàíî äëÿ n 1 ñòðîêè, òîãäà äîêàæåì äëÿ n ñòðîê. Âûáåðåì íàèìåíüøèé ïîìîäóëþ íåíóëåâîé ýëåìåíò, è ïðîâåä¼ì àíàëîãè÷íûå äåéñòâèÿ äëÿ òîé ñòðîêè è òîãî ñòîëáöà, â êîòîðîì ñòîèò ýòîòýëåìåíò.
(Åñëè âñ¼ íà íåãî äåëèòñÿ, òîãäà ìîæíî âñ¼ êðîìå íåãî îáíóëèòü, à åñëè íå äåëèòñÿ, òî ïîäåëèì ñ îñòàòêîì,è ò.ä.) Òàêèì îáðàçîì ìîæíî îáíóëèòü íåêîòîðûé ¾êðåñò¿ â ìàòðèöå, à íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè è ñòîëáöà ýòîãî êðåñòàñòîèò íåíóëåâîé ýëåìåíò dk , è âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû íà íåãî äåëÿòñÿ. Ïóò¼ì ïåðåñòàíîâêè ñòðîê è ñòîëáöîâ ìîæíîñäâèíóòü êðåñò â ëåâûé âåðõíèé óãîë ìàòðèöû. Òîãäà îñòàíåòñÿ ìàòðèöà ñ n 1 ñòðîêîé, è øàã èíäóêöèè äîêàçàí.Î÷åâèäíî, ÷òî íà êàæäîì øàãå êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò dk äåëèò âñå ýëåìåíòû ìèíîðà ìàòðèöû ïîðÿäêà k èÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì ÷èñåë ýòîãî ìèíîðà.
Èç àëãîðèòìà Åâêëèäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ýëåìåíòàðíûõïðåîáðàçîâàíèÿõ óêàçàííîãî òèïà ÍÎÄû ýëåìåíòîâ íå ìåíÿþòñÿ (ñàì àëãîðèòì Åâêëèäà åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüòàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé). Çíà÷èò, íàáîð d1 ; : : : ; dn îïðåäåë¼í îäíîçíà÷íî. Èçó÷èì âëèÿíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íà áàçèñ. Î÷åâèäíî, ÷òî ÝÏ 2 è 3 òèïà íåñóùåñòâåííû. Îñòàåòñÿðàçîáðàòü ñëó÷àé ÝÏ 1 òèïà. Äëÿ ñòðîê (i); (j ): ïðè ÝÏ (i) 7! (i)+ (j ); 2 Z èìååì y = (aij + aj )xi + aj (xj xi )+Pak xk .
Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòàðíîé çàìåíå áàçèñà xj 7! xj xi . àññóæäåíèÿk6=i;jäëÿ ñòîëáöîâ àíàëîãè÷íû.Òåîðåìà 3. Ïóñòü F ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà, H F . Òîãäà ìîæíî âûáðàòü íîâûé áàçèñ F = hx01 ; : : : ; x0n i èíîâóþ ñèñòåìó ïîðîæäàþùèõ H = hy10 ; : : : ; yn0 i, ÷òî yj0 = dj x0j ; d1 jd2 j : : : jdn è H ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóïïîé ñ ðàíãîìrk H 6 n. Ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû. Ïðèâåäåíèåì ìàòðèöû ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè è ñîîòâåòñòâóþùèìè èì çàìåíàìè áàçèñîâ ìîæíî íàéòè òðåáóåìûé áàçèñ è ñèñòåìó ïîðîæäàþùèõ.Ïóñòü d1 ; : : : ; dk 6= 0; dk+1 ; : : : ; dn = 0.
Òîãäà H = hy10 ; : : : ; yk0 i. Ýòè ïîðîæäàþùèå ñâîáîäíû, òàê êàê åñëè áû1 y10 + : : : + k yk0 = 0, òî è 1 d1 x01 + : : : + k dk x0k = 0, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî fx1 ; : : : ; xn g áàçèñ F . 6Òåîðåìà 4 (Ñóùåñòâîâàíèå ðàçëîæåíèÿ). Ëþáàÿ êîíå÷íî ïîðîæä¼ííàÿ àáåëåâà ãðóïïà ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììóêîíå÷íîãî ÷èñëà áåñêîíå÷íûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï è ïðèìàðíûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï. Ïóñòü G = ha1 ; : : : ; an i àáåëåâà ãðóïïà. G = F=H , ïî òåîðåìå 1 ñóùåñòâóåò áàçèñ: F = hx1 ; : : : ; xn i ; H =hd1 x1 ; : : : ; dk xk ; dk+1 xk+1 ; : : : ; dn xn i, ãäå dk+1 = : : : = dn = 0.
ÈìååìF = hx1 i1 : : : hxn i1 ; H = hd1 x1 i1 : : : hdk xk i1 hdk+1 xk+1 i1 : : : hdn xn i1 :{z|}0Ïî òåîðåìå î àêòîðèçàöèè ïî ïðÿìûì ñëàãàåìûìhx1 ihxk i hxk+1 ihxn ihd1 x1 i : : : hdk xk i f0g : : : f0g :Åñëè di > 1, òî i-òîå ñëàãàåìîå åñòü öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà Z=diZ. Åñëè di = 0, îñòàåòñÿ áåñêîíå÷íîå öèêëè÷åñêîåñëàãàåìîå Z. Åñëè æå di = 1, òî hxi = hxi = f0g, è òàêîå ñëàãàåìîå ìîæíî îòáðîñèòü. Èòàê, ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèåG=G=kMi=1Z=diZ Zn k: ñâîþ î÷åðåäü, êàæäàÿ êîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ðàçëàãàåòñÿ íà ïðèìàðíûå, à ýòî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïðèâåä¼ííîå âûøå ðàçëîæåíèå íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì, åñëè d1 j : : : jdk .Òåîðåìà 5 (Åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ).
 ðàçëîæåíèè àáåëåâîé ãðóïïû â ïðÿìóþ ñóììó öèêëè÷åñêèõ ãðóïï ÷èñëîñëàãàåìûõ è èõ ïîðÿäêè îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî. Ïóñòü G = h1 ipk11 : : : hs ipkss hs+1 i1 : : : hs+t i1 . àññìîòðèì ïîäãðóïïó êðó÷åíèÿ (ò.å. ïîäãðóïïóýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà)Îïðåäåëåíèå.Tor G := fa 2 G : ma = 0 äëÿ íåêîòîðîãî m 2 Z; m 6= 0g :Î÷åâèäíî, ÷òî Tor G åñòü ñóììà êîíå÷íûõ ñëàãàåìûõ (s øòóê). Òîãäà èìååì G = Tor G Zt, èëè G= Tor G = Zt.Îïðåäåëåíèå Tor G íå çàâèñèò îò ðàçëîæåíèÿ, à çíà÷èò è ÷èñëî t íå çàâèñèò îò ðàçëîæåíèÿ.àçáåð¼ìñÿ òåïåðü ñ êîíå÷íûìè ñëàãàåìûìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
