Главная » Просмотр файлов » Электронные лекции

Электронные лекции (1106005), страница 3

Файл №1106005 Электронные лекции (Электронные лекции) 3 страницаЭлектронные лекции (1106005) страница 32019-05-05СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

ñóùåñòâóåò g = h1 : : : hs = h01 : : : h0s . Ïðåîáðàçóåìðàâåíñòâî ê âèäó h01 1 h1 = h02 : : : h0s hs 1 : : : h2 1 . Ñëåâà ñòîèò ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ èç H1 , ñïðàâà èç H2 : : : Hs . Ïåðåñå÷åíèå òðèâèàëüíî ) h01 1 h1 = e , h1 = h01 . Àíàëîãè÷íî hi = h0i 8 i, ÷òî è îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ. III:Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî II, ïîëüçóÿñü èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ïîäãðóïï. IV: Äîêàæåì íîðìàëüíîñòü ïîäãðóïï Hi . Ïóñòühj 2 Hj .

Òîãäà ghj g 1 = g1 : : : gs hj gs 1 : : : g1 1 . Ïî óñëîâèþ ýëåìåíòû êîììóòèðóþò, çíà÷èò, èõ ìîæíî ïåðåñòàâèòü ñ hj ,è îíè ñîêðàòÿòñÿ, à çíà÷èò, ghj g 1 = hj , ÷òî è äà¼ò íîðìàëüíîñòü. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé êîíå÷íîé ãðóïïû G. Òîãäà ìîæíî ïðèâåñòè åù¼ íåñêîëüêî ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèéïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Óòâåðæäåíèå. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû îïðåäåëåíèþ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ êîíå÷íûõ ãðóïï:V. 1Æ , 2Æ òå æå, ÷òî è â ïåðâûõ 4 ãðóïïàõ óñëîâèé; 3Æ jGj = jH1 j : : : jHs j;VI.

1Æ òî æå ñàìîå; 2Æ jGj = jH1 j : : : jHs j; 3Æ ëþáîå èç ïðåäûäóùèõ. VI: àññìîòðèì H = H1 : : : Hs ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå. Òîãäà jH j = jH1 j : : : jHs j, òàê êàê ãðóïïû êîíå÷íû.Ñëåäîâàòåëüíî, H = G. V: Âûâåäåì åäèíñòâåííîñòü. Èç 1Æ è 2Æ ñëåäóåò, ÷òî jGj 6 jH1 j : : : jHs j. àññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ g1 : : : gs . Åñëè áû êàêèå-òî èç íèõ ñîâïàäàëè, òî íåðàâåíñòâî áûëî áû ñòðîãèì, à òàêîãî ïî óñëîâèþíå áûâàåò. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.  àääèòèâíîé òåðìèíîëîãèè ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé: G = H1 : : : Hs .àçëîæåíèå öèêëè÷åñêèõ ãðóïï(Z; +) íå ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå, òàê êàê äëÿ 8m;n ïåðåñå÷åíèå íå ïóñòî: mZ\ nZ mnZ.G = hain , ãäå n êîíå÷íî.

Åñëè H ïîäãðóïïà â G, òî H = D ad ; jEH j = nd . Åñëè n = pk , ãäå p ïðîñòîå,EÏðèìåð 1.Ïðèìåð 2.òîDHi = ap ; i 6 k. Òîãäà ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ íåò: hai hap i : : : apÎïðåäåëåíèå. ðóïïà ïîðÿäêà pk íàçûâàåòñÿ p-ïðèìàðíîé ãðóïïîé.+*nÏóñòüikn = pk11 : : : pks s , è pi 6= pj ; i 6= j . àññìîòðèì ãðóïïû Hi = akpi iQ1 feg.è èõ ïðîèçâåäåíèåpki iG=QHi .Åñëè x 2 Hj , òî O(x) íåêîòîðàÿ ñòåïåíü ÷èñëà pj .

Ïóñòü x 2Hi . Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî O(x) = 1 è x = e.QQÊðîìå òîãî, èìååì jHi j = pki i = jGj. Òåì ñàìûì ëþáàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèåïðèìàðíûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï.Âíåøíåå ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèåe :::e Gs . ÎíàÏóñòü G1 ; : : : ; Gs ãðóïïû. Ñîñòàâèì èç íèõ ãðóïïó G := (g1 ; : : : ; gs ) gi 2 Gi = G1 ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ-ñòðîê èç gi è íàçûâàåòñÿ âíåøíèì ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï Gi .Ìîæíî îòîæäåñòâèòü âíåøíåå è âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü G = H1 : : : Hs (ïðîe = G1 e ïî ïðàâèe :::e Gs (âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå). Ïîñòðîèì èçîìîðèçì ' : G ! Gèçâåäåíèå ïîäãðóïï), à G'ëó g1 : : : gs 7 ! (g1 ; : : : ; gs ).

Îòîáðàæåíèå çàäàíî êîððåêòíî, òàê êàê ýëåìåíòû èç ðàçíûõ ïîäãðóïï êîììóòèðóþò, è(g1 : : : gs )(g10 : : : gs0 ) = (g1 g10 ) : : : (gs gs0 ) 7! (g1 g10 ; : : : gs gs0 ). Ïîäãðóïïû Hi ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ìíîæåñòâàìè âåêòîðîâf(e; : : : ; e; gi; e; : : : ; e)g, ò.å. ïîäãðóïïàìè âî âíåøíåì ïðîèçâåäåíèè, è òàêèì îáðàçîì, âíåøíåå è âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî íå ðàçëè÷àòü.Îïðåäåëåíèå.îìîìîðèçìû ïðîèçâåäåíèé ãðóïïÏóñòü åñòü ãîìîìîðèçì G ! H = H1 : : : Hs è íàáîðãîìîìîðèçìîâ 'i : G ! Hi .

Îïðåäåëèì ãîìîìîðèçì' : G ! H ñëåäóþùèì îáðàçîì: '(g) := '1 (g); : : : ; 's (g) . Íàîáîðîò,ïî îòîáðàæåíèþ' ìîæíî îïðåäåëèòü 'i . Èìååòñÿ áèåêöèÿ ìåæäó íàáîðîì ãîìîìîðèçìîâ èç G â H è ìíîæåñòâîì 'i 'i : G ! Hi .'Ïóñòü G = G1 : : : Gs 7 ! H . ×òîáû çàäàòü ', äîñòàòî÷íî çíàòü, êàê äåéñòâóþò îãðàíè÷åíèÿ 'i = 'jGi ; 'i :iGi 7 '!H . Îòîáðàæåíèå ' çàäàåòñÿ îãðàíè÷åíèÿìè îäíîçíà÷íî: '(g) = '(g1 : : : gs ) = ('1 (g1 ) : : : 's (gs )). Îòîáðàæåíèå' áóäåò ãîìîìîðèçìîì, êîãäà ýëåìåíòû îáðàçîâ ðàçëè÷íûõ 'i êîììóòèðóþò: yi 2 Im 'i ; yj 2 Im 'j ) yi yj = yj yi .

Âòîì ñëó÷àå, êîãäà ãðóïïà H àáåëåâà, òî âñåãäà åñòü áèåêòèâíîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâîì ãîìîìîðèçìîâ èçG â H è íàáîðàìè f'1 : : : 's g.Òåîðåìà. Ïóñòü G = G1 : : : Gs , è Hi C Gi . Òîãäà H C G è G=H = G1 =H1 : : : Gs =Hs . Ïîñòðîèì ýïèìîðèçì ' : G ! G1 =H1 : : : Gs =Hs . Ïîëîæèì '(g1 : : : gs ) = (g1 H1 ; : : : ; gs Hs ). Î÷åâèäíî,÷òî îòîáðàæåíèå çàäàíî êîððåêòíî. Íàéä¼ì åãî ÿäðî. Ker ' = fg1 : : : gs : gi Hi = Hi ) gi 2 Hi 8 i; g. Ñëåäîâàòåëüíî,Ker ' = H1 : : : Hs , à ïî òåîðåìå î ãîìîìîðèçìå G= Ker ' = Im '. Ñëåäñòâèå. ×àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû: G = H1 H2 ) G=H1 = H2 .Àáåëåâû ãðóïïûÎñíîâíûå ñâîéñòâà àáåëåâîé ãðóïïå âñÿêàÿ ïîäãðóïïà íîðìàëüíà.àññìîòðèì ãîìîìîðèçìû âèäà ' : G ! K , ãäå G ïðîèçâîëüíàÿ ãðóïïà, K àáåëåâà.

Ïîïðîáóåì ââåñòè íàìíîæåñòâå ãîìîìîðèçìîâ ñòðóêòóðó ãðóïïû. Îïðåäåëèì ïðîèçâåäåíèå ãîìîìîðèçìîâ òàê: ('1 '2 )(x) := '1 (x)'2 (x).Åñëè K àáåëåâà, òî ïðîèçâåäåíèå ãîìîìîðèçìîâ åñòü ãîìîìîðèçì (äëÿ íåàáåëåâûõ ãðóïï ýòî íåâåðíî!!!):5(' )(xy) = '(xy) (xy) = '(x) '| (y{z) (x}) (y) = '(x) (x) '(y) (y) = (' )(x)(' )(y):êîìì.1 (x)Îïðåäåëèì îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ':= '(x) 1 . Îíî áóäåò ãîìîðèçìîì òîëüêî òîãäà, K àáåëåâà ãðóïïà. êà÷åñòâå íåéòðàëüíîãî ýëåìåíòà âîçüì¼ì ãîìîìîðèçì, ïåðåâîäÿùèé âñ¼ â åäèíèöó.

Òàêèì îáðàçîì ìû ïîñòðîèëèãðóïïó Hom(G; K ). Çàìåòèì, ÷òî îíà áóäåò àáåëåâîé.Ñèñòåìû ïîðîæäàþùèõ â àáåëåâîé ãðóïïåÏîñêîëüêó â àáåëåâûõ ãðóïïàõ âñå ýëåìåíòû êîììóòèðóþò, ïðàâèëüíûìè ñëîâàìè áóäóò òå, â êîòîðûõ âñå ýëåìåíòûïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ïóñòü äàíà ãðóïïà (G; +). Òîãäà ëþáîé ýëåìåíò ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå öåëî÷èñëåííîéëèíåéíîéPêîìáèíàöèè ïîðîæäàþùèõ, â êîòîðîé òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî êîýèöèåíòîâ îòëè÷íû îò íóëÿ: g =ni ai ; ni 2 Z.i2IÎäíàêî çàïèñü ýëåìåíòà ïî-ïðåæíåìó íåîäíîçíà÷íà.Çàäà÷à. Äîêàçàòü, ÷òî êàêóþ áû ìû íå âçÿëè ñèñòåìó ïîðîæäàþùèõ â ãðóïïàõ (Q ; +) è (Q ; ), èç íå¼ ìîæíîâûêèíóòü êàêîé-òî ýëåìåíò.Áóäåì òåïåðü ðàññìàòðèâàòü àáåëåâû ãðóïïû ñ êîíå÷íîé ñèñòåìîé ïîðîæäàþùèõ.Îïðåäåëåíèå. Êîíå÷íîïîðîæäåííàÿ àáåëåâà ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé àáåëåâîé ãðóïïîé ñî ñâîáîäíîé ñèñòåìîé ïîðîæäàþùèõ fa1 ; : : : ; an g, åñëè çàïèñü ýëåìåíòà â âèäå öåëî÷èñëåííîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýòèõ ïîðîæäàþùèõ îäíîçíà÷íà.

Ñèñòåìà ïîðîæäàþùèõ íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå áàçèñîì, à ÷èñëî n ðàíãîì ãðóïïû.Àáåëåâà ãðóïïà ñâîáîäíà, åñëè îíà îáëàäàåò áàçèñîì. G = ha1 i1 : : : han i1 .Òåîðåìà 1. Êîíå÷íîïîðîæä¼ííàÿ àáåëåâà ãðóïïà èçîìîðíà íåêîòîðîé àêòîðãðóïïå ñâîáîäíîé ãðóïïû òîãî æåðàíãà, ò.å. åñëè F ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà ñ áàçèñîì fx1 ; : : : ; xn g,Pà G = ha1 ;P: : : ; an i, òî 9 H F : G = F=H . Îïðåäåëèì ýïèìîðèçì ' : F ! G òàê: '(xi ) := ai . Òîãäà '( ni xi ) = ni ai .

Î÷åâèäíî, åãî îáðàç åñòü âñÿãðóïïà G. Ïî òåîðåìå î ãîìîìîðèçìå F= Ker ' = G. ßäðî ' è áóäåò èñêîìîé ïîäãðóïïîé â F . àçëîæåíèå êîíå÷íîïîðîæä¼ííûõ àáåëåâûõ ãðóïïÏóñòü F ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà ñ áàçèñîì fx1 ; : : : ; xn g, èH,è y=nPi=1ai xi ; ai2 Z. ×èñëà aiîáðàçóþò ìàòðèöóH F , fy g 2 ñèñòåìà ïîðîæäàþùèõ ïîäãðóïïûA, â êîòîðîé n ñòðîê è, âîçìîæíî, áåñêîíå÷íîå ÷èñëîñòîëáöîâ.

Åñòü 3 òèïà öåëî÷èñëåííûõ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (ÝÏ) òàêîé ìàòðèöû:1Æ Ê îäíîé ñòðîêå ìîæíî ïðèáàâèòü äðóãóþ, óìíîæåííóþ íà öåëîå ÷èñëî;2Æ Ìîæíî ìåíÿòü ñòðîêè/ñòîëáöû ìåñòàìè;3Æ Ìîæíî óìíîæàòü ñòðîêó íà îáðàòèìûå ýëåìåíòû êîëüöà Z, òî åñòü íà 1.Òåîðåìà 2. Ïîñðåäñòâîì ÝÏ ìîæíî ïðèâåñòè ìàòðèöó êîýèöèåíòîâ ê ¾äèàãîíàëüíîìó¿ âèäó diag(d1 ; : : : ; dn ).Ïðè ýòîì d1 jd2 j : : : jdn è èòîãîâûé âèä ìàòðèöû îïðåäåë¼í îäíîçíà÷íî. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ñòðîê (èõ êîíå÷íîå ÷èñëî). Åñëè ìàòðèöà íóëåâàÿ, äîêàçûâàòü íå÷åãî. Áàçàèíäóêöèè: n = 1.

Âûáåðåì íàèìåíüøèé ïî ìîäóëþ íåíóëåâîé ýëåìåíò ai . Åñëè âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû äåëÿòñÿ íàíåãî, òî ìîæíî ïóò¼ì ÝÏ ïåðâîãî òèïà îáíóëèòü âñå ýòè ýëåìåíòû. Åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò aiÆ , íå äåëÿùèéñÿ íà ai ,òî ñ ïîìîùþ ñòîëáöà ïîäåëèì aiÆ ñ îñòàòêîì, è ïîëó÷èì ìåíüøèé ïî ìîäóëþ ýëåìåíò (îñòàòîê). Ïîñëå êîíå÷íîãî÷èñëà øàãîâ âñå ýëåìåíòû ñòðîêè áóäóò äåëèòüñÿ íà êàêîé-òî èç å¼ ýëåìåíòîâ. Áàçà èíäóêöèè åñòü.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñ¼ äîêàçàíî äëÿ n 1 ñòðîêè, òîãäà äîêàæåì äëÿ n ñòðîê. Âûáåðåì íàèìåíüøèé ïîìîäóëþ íåíóëåâîé ýëåìåíò, è ïðîâåä¼ì àíàëîãè÷íûå äåéñòâèÿ äëÿ òîé ñòðîêè è òîãî ñòîëáöà, â êîòîðîì ñòîèò ýòîòýëåìåíò.

(Åñëè âñ¼ íà íåãî äåëèòñÿ, òîãäà ìîæíî âñ¼ êðîìå íåãî îáíóëèòü, à åñëè íå äåëèòñÿ, òî ïîäåëèì ñ îñòàòêîì,è ò.ä.) Òàêèì îáðàçîì ìîæíî îáíóëèòü íåêîòîðûé ¾êðåñò¿ â ìàòðèöå, à íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè è ñòîëáöà ýòîãî êðåñòàñòîèò íåíóëåâîé ýëåìåíò dk , è âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû íà íåãî äåëÿòñÿ. Ïóò¼ì ïåðåñòàíîâêè ñòðîê è ñòîëáöîâ ìîæíîñäâèíóòü êðåñò â ëåâûé âåðõíèé óãîë ìàòðèöû. Òîãäà îñòàíåòñÿ ìàòðèöà ñ n 1 ñòðîêîé, è øàã èíäóêöèè äîêàçàí.Î÷åâèäíî, ÷òî íà êàæäîì øàãå êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò dk äåëèò âñå ýëåìåíòû ìèíîðà ìàòðèöû ïîðÿäêà k èÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì ÷èñåë ýòîãî ìèíîðà.

Èç àëãîðèòìà Åâêëèäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ýëåìåíòàðíûõïðåîáðàçîâàíèÿõ óêàçàííîãî òèïà ÍÎÄû ýëåìåíòîâ íå ìåíÿþòñÿ (ñàì àëãîðèòì Åâêëèäà åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüòàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé). Çíà÷èò, íàáîð d1 ; : : : ; dn îïðåäåë¼í îäíîçíà÷íî. Èçó÷èì âëèÿíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íà áàçèñ. Î÷åâèäíî, ÷òî ÝÏ 2 è 3 òèïà íåñóùåñòâåííû. Îñòàåòñÿðàçîáðàòü ñëó÷àé ÝÏ 1 òèïà. Äëÿ ñòðîê (i); (j ): ïðè ÝÏ (i) 7! (i)+ (j ); 2 Z èìååì y = (aij + aj )xi + aj (xj xi )+Pak xk .

Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòàðíîé çàìåíå áàçèñà xj 7! xj xi . àññóæäåíèÿk6=i;jäëÿ ñòîëáöîâ àíàëîãè÷íû.Òåîðåìà 3. Ïóñòü F ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà, H F . Òîãäà ìîæíî âûáðàòü íîâûé áàçèñ F = hx01 ; : : : ; x0n i èíîâóþ ñèñòåìó ïîðîæäàþùèõ H = hy10 ; : : : ; yn0 i, ÷òî yj0 = dj x0j ; d1 jd2 j : : : jdn è H ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóïïîé ñ ðàíãîìrk H 6 n. Ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû. Ïðèâåäåíèåì ìàòðèöû ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè è ñîîòâåòñòâóþùèìè èì çàìåíàìè áàçèñîâ ìîæíî íàéòè òðåáóåìûé áàçèñ è ñèñòåìó ïîðîæäàþùèõ.Ïóñòü d1 ; : : : ; dk 6= 0; dk+1 ; : : : ; dn = 0.

Òîãäà H = hy10 ; : : : ; yk0 i. Ýòè ïîðîæäàþùèå ñâîáîäíû, òàê êàê åñëè áû1 y10 + : : : + k yk0 = 0, òî è 1 d1 x01 + : : : + k dk x0k = 0, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî fx1 ; : : : ; xn g áàçèñ F . 6Òåîðåìà 4 (Ñóùåñòâîâàíèå ðàçëîæåíèÿ). Ëþáàÿ êîíå÷íî ïîðîæä¼ííàÿ àáåëåâà ãðóïïà ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììóêîíå÷íîãî ÷èñëà áåñêîíå÷íûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï è ïðèìàðíûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï. Ïóñòü G = ha1 ; : : : ; an i àáåëåâà ãðóïïà. G = F=H , ïî òåîðåìå 1 ñóùåñòâóåò áàçèñ: F = hx1 ; : : : ; xn i ; H =hd1 x1 ; : : : ; dk xk ; dk+1 xk+1 ; : : : ; dn xn i, ãäå dk+1 = : : : = dn = 0.

ÈìååìF = hx1 i1 : : : hxn i1 ; H = hd1 x1 i1 : : : hdk xk i1 hdk+1 xk+1 i1 : : : hdn xn i1 :{z|}0Ïî òåîðåìå î àêòîðèçàöèè ïî ïðÿìûì ñëàãàåìûìhx1 ihxk i hxk+1 ihxn ihd1 x1 i : : : hdk xk i f0g : : : f0g :Åñëè di > 1, òî i-òîå ñëàãàåìîå åñòü öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà Z=diZ. Åñëè di = 0, îñòàåòñÿ áåñêîíå÷íîå öèêëè÷åñêîåñëàãàåìîå Z. Åñëè æå di = 1, òî hxi = hxi = f0g, è òàêîå ñëàãàåìîå ìîæíî îòáðîñèòü. Èòàê, ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèåG=G=kMi=1Z=diZ Zn k: ñâîþ î÷åðåäü, êàæäàÿ êîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ðàçëàãàåòñÿ íà ïðèìàðíûå, à ýòî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïðèâåä¼ííîå âûøå ðàçëîæåíèå íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì, åñëè d1 j : : : jdk .Òåîðåìà 5 (Åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ).

 ðàçëîæåíèè àáåëåâîé ãðóïïû â ïðÿìóþ ñóììó öèêëè÷åñêèõ ãðóïï ÷èñëîñëàãàåìûõ è èõ ïîðÿäêè îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî. Ïóñòü G = h1 ipk11 : : : hs ipkss hs+1 i1 : : : hs+t i1 . àññìîòðèì ïîäãðóïïó êðó÷åíèÿ (ò.å. ïîäãðóïïóýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà)Îïðåäåëåíèå.Tor G := fa 2 G : ma = 0 äëÿ íåêîòîðîãî m 2 Z; m 6= 0g :Î÷åâèäíî, ÷òî Tor G åñòü ñóììà êîíå÷íûõ ñëàãàåìûõ (s øòóê). Òîãäà èìååì G = Tor G Zt, èëè G= Tor G = Zt.Îïðåäåëåíèå Tor G íå çàâèñèò îò ðàçëîæåíèÿ, à çíà÷èò è ÷èñëî t íå çàâèñèò îò ðàçëîæåíèÿ.àçáåð¼ìñÿ òåïåðü ñ êîíå÷íûìè ñëàãàåìûìè.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
305,18 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее