Главная » Просмотр файлов » Электронные лекции

Электронные лекции (1106005), страница 2

Файл №1106005 Электронные лекции (Электронные лекции) 2 страницаЭлектронные лекции (1106005) страница 22019-05-05СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

àññìîòðèì ãðóïïó ïåðåñòàíîâîê Sn . Âîçüì¼ì ïåðåñòàíîâêó 2 Sn è ðàçëîæèì å¼ íà íåçàâèñèìûåöèêëû: = (i1 ; : : : ; ik1 )(ik1 +1 ; : : : ; ik2 ) (iks +1 ; : : : ; in ): ÒîãäàÎïðåäåëåíèå.gg1= ji1ji2 :: :: :: jik1 ijk1 +1 :: :: :: ijn ji1 ji2 :: :: :: jik1 ijk1 +1 :: :: :: ijn = (j1 ; j2 ; : : : ; jk1 )(jk1 +1 ; : : : ; jk2 ) (jks +1 ; : : : ; jn ):n1 2k1 k1 +1n1 2k1 k1 +1Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïåðåñòàíîâêè ñîïðÿæåíû, òî äëèíû öèêëîâ îäèíàêîâûå.

Î÷åâèäíî òàêæå òî, ÷òî åñëèåñëè ó äâóõ ïåðåñòàíîâîê îäèíàêîâàÿ öèêëîâàÿ ñòðóêòóðà, òî îíè ñîïðÿæåíû ñîïðÿãàþùóþ ïåðåñòàíîâêó ìîæíîïðîñòî ïðåäúÿâèòü. Èòàê, ïîëó÷àåì ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Äâå ïåðåñòàíîâêè ñîïðÿæåíû , îíè èìåþò îäèíàêîâóþ öèêëîâóþ ñòðóêòóðó. ()Òåïåðü ðàññìîòðèì An Sn çíàêîïåðåìåííóþ ãðóïïó ÷¼òíûõ ïåðåñòàíîâîê. Óñëîâèå () íåîáõîäèìî è äëÿ An .×òîáû íàéòè äîñòàòî÷íîå óñëîâèå, ðàññìîòðèì áîëåå îáùèé ñëó÷àé. Âíà÷àëå äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîåÓòâåðæäåíèå.

Ïîäãðóïïû èíäåêñà 2 âñåãäà íîðìàëüíû. (G : H ) = 2 ) èìååòñÿ òîëüíî 2 ñìåæíûõ êëàññà: ñàìà ïîäãðóïïà H = eH = He è íåêîòîðûé ëåâûé êëàññgH; g 2= H . Òîãäà ïðàâûé êëàññ Hg ñîâïàäàåò ëèáî ñ H , ëèáî ñ gH . Íî ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü îòïàäàåò, òàê êàê g 2= H ,çíà÷èò, gH = Hg , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü H G è (G : H ) = 2. Òîãäà äëÿ 8 x 2 H âîçìîæíû 2 ñëó÷àÿ:1Æ xH = xG , 9 t 2= H : tx = xt.1 = H; jxH j = jxH j , 8 t 22Æ xG = xH [ xH= H tx 6= xt.1 ; x1 = txt ; t 21ÆG Äîêàæåì 1 . Ïóñòü x = xH . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî 8 z 2= H 9 h 2 H : zxz 1 = hxh 1 , ò.å. x = (z 1h)x(h 1 z ).Ïîëîæèì t = z 1 h 2= H , òîãäà h 1 z = t 1 , ò.å. x = txt 1 , tx = xt.

Íàîáîðîò: ïóñòü 9 t 2= H : tx = xt. Òîãäà 8 z 2= H1 11HGHèìååì z = ht. Çíà÷èò, zxz 1 = h |txt{z } h = hxh 2 x , ò.å x = x .Òåïåðü äîêàæåì 2Æ . Ïóñòüxz; t 2= H; z = ht. Òîãäà zxz11 1 = hx h 1 2 xH . Äîêàæåì, ÷òî jxH j = jxH j.= h txt111| {z } hx1Çàìåòèì, ÷òî x 7 ! txt 1 àâòîìîðèçì, à ïðè í¼ì êëàññû ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ ïåðåõîäÿò òàêæå â êëàññûñîïðÿæåííûõ. '(x) = x1 ) '(xH ) = xH1.Âåðí¼ìñÿ ê ãðóïïå An Âûÿñíèì, êîãäà äëÿ ÷¼òíîé ïåðåñòàíîâêè ñóùåñòâóåò êîììóòèðóþùàÿ ñ íåé íå÷¼òíàÿ.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü 2 An . Òîãäà:1Æ 9 2= An : = , ñîäåðæèò ëèáî öèêë ÷¼òíîé äëèíû, ëèáî 2 öèêëà ðàâíîé íå÷¼òíîé äëèíû.2Æ 6= 8 2= An , âñå öèêëû â (â òîì ÷èñëå äëèíû 1) ðàçíîé íå÷¼òíîé äëèíû.

àçëîæèì íà íåçàâèñèìûå öèêëû: = 1 2 3 s . Ïóíêò 1Æ . Ïóñòü (ïåðâûé ñëó÷àé) 1 èìååò ÷¼òíóþäëèíó. Òîãäà ïðîñòî ïîëîæèì = 1 . Âòîðîé ñëó÷àé: = (i1 ; : : : ; ik )(j1 ; : : : ; jk )3 s è k = 2n + 1.  ýòîì ñëó÷àåïîëîæèì = (i1 j1 )(i2 j2 ) (ik jk ). Òîãäà 1 = (i1 ; : : : ; ik )(j1 ; : : : ; jk )3 s = . Ïóíêò 2Æ . Ïóñòü â âñå öèêëûðàçíîé íå÷¼òíîé äëèíû. Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåíèå äåéñòâóåò íà íåçàâèñèìûå öèêëû íåçàâèñèìî, ò.å 1 = , 1 = 8 i. Çíà÷èò, íàäî âûÿñíèòü, êàêèå ïåðåñòàíîâêè êîììóòèðóþò ñ îäíèì öèêëîì. Äîñòàòî÷íî ïîñìîòðåòü,'ii÷òî ïðîèñõîäèò ñ öèêëîì = (1; 2; : : : ; n).

Äîêàæåì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïåðåñòàíîâêè 2= An : = . Ïðåäïîëîæèìïðîòèâíîå. Òîãäà öèêëîâàÿ ñòðóêòóðà è äîëæíà áûòü îäèíàêîâàÿ, à çíà÷èò, = k . Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷¼òíàÿïåðåñòàíîâêà. Ïðîòèâîðå÷èå. Ñâîáîäíûå ãðóïïûÑèñòåìû ïîðîæäàþùèõ ýëåìåíòîâàññìîòðèì S G è âñåâîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ èç S è îáðàòíûõ ê íèì: H = s"i11 s"i22 s"ikk ; "i = 1.Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû íå îáÿçàòåëüíî êîììóòèðóþò, îäèí è òîò æå ýëåìåíò ìîæåò âñòðå÷àòüñÿ íåñêîëüêî ðàç.

H ïîäãðóïïà, òàê êàê 8 a 9 a 1 = sik"k si1"1 ; e = si1 si11 . Äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü ïóñòîå ïðîèçâåäåíèå åäèíèöåé. Î÷åâèäíî,H íàèìåíüøàÿ ïîäãðóïïà, ñîäåðæàùàÿ S .Îïðåäåëåíèå. H G íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïîé, ïîðîæäåííîé ìíîæåñòâîì S . Åñëè H = G, òî S íàçûâàåòñÿñèñòåìîé ïîðîæäàþùèõ äëÿ G. Îáîçíà÷åíèå: G = hS i.Ïðèìåð. ðóïïà ñ 1 ïîðîæäàþùèì ýëåìåíòîì öèêëè÷åñêàÿ.

Ïóñòàÿ ñèñòåìà ïîðîæäàåò feg."" "Îïðåäåëåíèå. S ñèñòåìà ïîðîæäàþùèõ äëÿ G, åñëè 8 g 2 G g = si11 si22 sikk ; sij 2 S; "j = 1.Çàìå÷àíèå. Îäíîçíà÷íîñòè ðàçëîæåíèÿ â îïðåäåëåíèè íå òðåáóåòñÿ!2Ïðèìåð.  ãðóïïå äèýäðà Dn åñòü ñèñòåìà èç äâóõ ïîðîæäàþùèõ ïîâîðîò a íà óãîë n è ñèììåòðèÿ b îòíîñèòåëüíîíåêîòîðîé îñè.Îïðåäåëåíèå. Áóäåì íàçûâàòü êîìáèíàöèè ïîðîæäàþùèõ ýëåìåíòîâ ñëîâàìè. Ïðàâèëüíûìè íàçîâ¼ì òå ñëîâà, âêîòîðûõ íå âñòðå÷àþòñÿ êîìáèíàöèè âèäà ": : : si si 1 : : :".Îïðåäåëåíèå. Åñëè â G èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî äâóõ ïðàâèëüíûõ ñëîâ a è b, áóäåì ãîâîðèòü î ñîîòíîøåíèè ìåæäóýòèìè ñëîâàìè: a = b , ab 1 = e.3Ïðèìåð. ãðóïïåDn åñòü ñîîòíîøåíèÿ an = e; b2 = e; (ab)2 = e.Ñâîáîäíûå ãðóïïûÎïðåäåëåíèå.

Åñëè èç íåêîòîðîãî íàáîðà ñîîòíîøåíèé ñëåäóþò âñå îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ, òî ýòîò íàáîðíàçûâàåòñÿ íàáîðîì îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé.Ïóñòü S àáñòðàêòíîå ìíîæåñòâî. Áåð¼ì âñå ïðàâèëüíûå ñëîâà, ñîñòàâëåííûå èç ýëåìåíòîâ S (îðìàëüíûå âûðàæåíèÿ). Îïðåäåëèì óìíîæåíèå ñëîâ u è v : ïðèïèñûâàåì îäíî ñëîâî ê äðóãîìó è ïðîèçâîäèì ñîêðàùåíèÿ íà ñòûêåñëîâ.Óòâåðæäåíèå. Ïîñòðîåííîå òàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâî ïðîèçâåäåíèé ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé. Åäèíèöà åñòü (ïóñòîå ïðîèçâåäåíèå).

Îáðàòíûé ýëåìåíò òàêæå èìååòñÿ. Ïðîâåðèì àññîöèàòèâíîñòü. Ïóñòüu; v; w ïðàâèëüíûå ñëîâà. Äîêàæåì, ÷òî (uv)w = u(vw). Åñëè íà ñòûêàõ ñëîâ íåò ñîêðàùåíèé, òî âñ¼ ÿñíî, èíà÷åðàññìîòðèì 3 ñëó÷àÿ. Ïåðâûé ñëó÷àé: u = ab; v = b 1 d; w = d 1 f , è ïðè ýòîì ïîäñëîâî 6= ?.  ýòîì ñëó÷àå (uv )w =(abb 1d)d 1 f = (ad)d 1 f = af . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, u(vw) = af . Âòîðîé ñëó÷àé ( = ?): u = ab; v = b 1 d; w = d 1 f .Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî (uv )w = u(vw). Òðåòèé ñëó÷àé: u = ab; v = b 1 1 d; w = d 1 f àíàëîãè÷íî. Îïðåäåëåíèå. Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóïïîé ñ ìíîæåñòâîì ñâîáîäíûõ ïîðîæäàþùèõ S . (Íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â òàêîé ãðóïïå íåò íåòðèâèàëüíûõ ñîîòíîøåíèé.)D EÒåïåðü óòî÷íèì ïîíÿòèå îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé.

Ïóñòü åñòü ñâîáîäíàÿ ãðóïïà F = Se ; Se = fxi gi2I è ãðóïïàG, ïîðîæäåííàÿ ñåìåéñòâîì S = fsi gi2I . àññìîòðèì ýïèìîðèçì f : F ! G, îïðåäåë¼ííûé ïî ïðàâèëó f (xi ) = si . Âñèëó îäíîçíà÷íîñòè çàïèñè ýëåìåíòà ñâîáîäíîé ãðóïïû çàäàííîå îòîáðàæåíèå êîððåêòíî. Ïðè ýòîì Ker f =: N ñîñòîèòâ òî÷íîñòè èç òåõ ñëîâ, êîòîðûå ïðè ïîäñòàíîâêå xi 7! si ïåðåõîäÿò â åäèíèöó ãðóïïû G, ò.å.

x"i11 x"ikk 2 Ker f ,s"i11 s"ikk = e. Ïî òåîðåìå î ãîìîìîðèçìå G = F=N .Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëÿþùàÿ ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé òàêàÿ ñîâîêóïíîñòü ïðàâèëüíûõ ñëîâ, ðàâíûõ â G åäèíèöå,÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ñëîâà â ñâîáîäíîé ãðóïïå ïîðîæäàþò N êàê íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó.N ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ïîäãðóïïîé, ñîäåðæàùåé âñå ýòè ïðàâèëüíûå ñëîâà è ïîðîæäàåòñÿ âûáðàííûìè ñîîòíîøåíèÿìè è ñîïðÿæåííûìè ê íèì. Çàìåòèì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò àëãîðèòìà, îïðåäåëÿþùåãî, ðàâíû ëè äâà íåêîòîðûõïðàâèëüíûõ ñëîâà.Ïðèìåð. Ñâîáîäíàÿ ãðóïïà ñ îäíèì ïîðîæäàþùèì ýëåìåíòîì áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà.Îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ â ãðóïïàõDnèSnÑîîòíîøåíèÿ â ãðóïïå äèýäðà an = e; b2 = e; (ab)2 = e ÿâëÿþòñÿîïðåäåëÿþùèìè.

Dn = ha; bi. àññìîòðèì ñâîáîäíóþ ãðóïïó F = hx; yi è ãðóïïó N = xn ; y2 ; (xy)2 . àññìîòðèì ãîìîìîðèçìf : F ! Dn : f (x) = a; f (y) = b. Î÷åâèäíî, ÷òî N Ker f . Äîêàæåì, ÷òî F=N = Dn . àññìîòðèì ãîìîìîðèçìf : F=N ! Dn . Íàéä¼ì ÷èñëî ñìåæíûõ êëàññîâ â àêòîðãðóïïå: (xk )N èõ n øòóê, è (xk y)N åù¼ n øòóê. Íî âãðóïïå Dn ðîâíî 2n ýëåìåíòîâ, çíà÷èò, f èçîìîðèçì è N = Ker f , à ýòî è òðåáîâàëîñü. àññìîòðèì Sn . Î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìàìè ïîðîæäàþùèõ ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà âñåõ òðàíñïîçèöèé è âñåõ öèêëîâ.Sn = h1 = (12); 2 = (23); : : : ; n 1 = (n 1; n)i = h(12); (123); : : : ; (12; : : : ; n)i.Çàäà÷à. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû fi g âåðíû ñîîòíîøåíèÿ 2 = e; i j = j i ; jij j > 2; i i+1 i = i+1 i i+1 .Óòâåðæäåíèå.Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïÏîíÿòèå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ è åãî ñâîéñòâàÎïðåäåëåíèå.Äàíà ãðóïïàG è H1 ; : : : ; Hs G. ðóïïà G ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå H1 ; : : : ; Hs , åñëè:1Æ Hi C G;2Æ G = H1 Hs , ò.å.

8 g 2 G èìååì g = g1 : : : gs ; gi 2 Hi ;3Æ àçëîæåíèå â ïóíêòå 1Æ åäèíñòâåííî.Îáîçíà÷åíèå: G = H1 : : : Hs .Ïðèìåð. Ïðÿìàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ ïî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ.Ñëåäñòâèå. Åñëè G = H1 : : : Hs , òî Hi \ Hj = feg ; i 6= j . Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: x 2 Hi \ Hj . Òîãäà ðàçëîæåíèå íåîäíîçíà÷íî: e : : : gi : : : e = x = e : : : gj : : : e. Îïðåäåëåíèå.

Êîììóòàòîðîì ýëåìåíòîâ ãðóïïû x è y íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò [x; y ℄ := xyx 1 y 1 .Óòâåðæäåíèå. Åñëè X C G; Y C G, è X \ Y = feg, òî èõ ýëåìåíòû êîììóòèðóþò. Ïóñòü x 2 X; y 2 Y . Óñëîâèå xy = yx , [x; y℄ = e. Íî òàê êàê xyx 1 2 Y , à yx 1 y 1 2 X , òî èìååì[x; y℄ 2 X; [x; y℄ 2 Y .  ñèëó òðèâèàëüíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ [x; y℄ = e. Ñëåäñòâèå.

(g1 : : : gs )(g10 : : : gs0 ) = (g1 g10 ) : : : (gs gs0 ):k1kiksÎ÷åâèäíî, ÷òî gQ1 : : : gs = e , gi = e. Ñëåäîâàòåëüíî, O(g1 : : : gs ) = ÍÎÊ fO(g1 ); : : : ; O(gs )g. Êðîìå òîãî, åñëèjHi j < 1, òî jGj = jHi j.Óòâåðæäåíèå. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:I. G = H1 : : : Hs ðóïïà G åñòü ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå;II. 1Æ , 2Æ - òå æå, ÷òî è â îïðåäåëåíèè; 3Æ Hj\ H1 : : : Hj 1 Hj +1 : : : Hs = feg;III. 1Æ , 2Æ - òå æå ñàìûå; 3Æ Hj \ H1 : : : Hj 1 = feg;IV. 1Æ Hi ïîäãðóïïû, 8 gi 2 Hi ; 8 gj 2 Hj gi gj = gj gi ; 2Æ - òî æå ñàìîå; 3Æ ëþáîå èç I, II, III.4 II. Òî, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò òðèâèàëüíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ, áûëî äîêàçàíî âûøå. Òåïåðü âûâåäåì åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ èç ñâîéñòâ ïóíêòà II. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
305,18 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее