Электронные лекции (1106005), страница 2
Текст из файла (страница 2)
àññìîòðèì ãðóïïó ïåðåñòàíîâîê Sn . Âîçüì¼ì ïåðåñòàíîâêó 2 Sn è ðàçëîæèì å¼ íà íåçàâèñèìûåöèêëû: = (i1 ; : : : ; ik1 )(ik1 +1 ; : : : ; ik2 ) (iks +1 ; : : : ; in ): ÒîãäàÎïðåäåëåíèå.gg1= ji1ji2 :: :: :: jik1 ijk1 +1 :: :: :: ijn ji1 ji2 :: :: :: jik1 ijk1 +1 :: :: :: ijn = (j1 ; j2 ; : : : ; jk1 )(jk1 +1 ; : : : ; jk2 ) (jks +1 ; : : : ; jn ):n1 2k1 k1 +1n1 2k1 k1 +1Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïåðåñòàíîâêè ñîïðÿæåíû, òî äëèíû öèêëîâ îäèíàêîâûå.
Î÷åâèäíî òàêæå òî, ÷òî åñëèåñëè ó äâóõ ïåðåñòàíîâîê îäèíàêîâàÿ öèêëîâàÿ ñòðóêòóðà, òî îíè ñîïðÿæåíû ñîïðÿãàþùóþ ïåðåñòàíîâêó ìîæíîïðîñòî ïðåäúÿâèòü. Èòàê, ïîëó÷àåì ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Äâå ïåðåñòàíîâêè ñîïðÿæåíû , îíè èìåþò îäèíàêîâóþ öèêëîâóþ ñòðóêòóðó. ()Òåïåðü ðàññìîòðèì An Sn çíàêîïåðåìåííóþ ãðóïïó ÷¼òíûõ ïåðåñòàíîâîê. Óñëîâèå () íåîáõîäèìî è äëÿ An .×òîáû íàéòè äîñòàòî÷íîå óñëîâèå, ðàññìîòðèì áîëåå îáùèé ñëó÷àé. Âíà÷àëå äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîåÓòâåðæäåíèå.
Ïîäãðóïïû èíäåêñà 2 âñåãäà íîðìàëüíû. (G : H ) = 2 ) èìååòñÿ òîëüíî 2 ñìåæíûõ êëàññà: ñàìà ïîäãðóïïà H = eH = He è íåêîòîðûé ëåâûé êëàññgH; g 2= H . Òîãäà ïðàâûé êëàññ Hg ñîâïàäàåò ëèáî ñ H , ëèáî ñ gH . Íî ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü îòïàäàåò, òàê êàê g 2= H ,çíà÷èò, gH = Hg , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü H G è (G : H ) = 2. Òîãäà äëÿ 8 x 2 H âîçìîæíû 2 ñëó÷àÿ:1Æ xH = xG , 9 t 2= H : tx = xt.1 = H; jxH j = jxH j , 8 t 22Æ xG = xH [ xH= H tx 6= xt.1 ; x1 = txt ; t 21ÆG Äîêàæåì 1 . Ïóñòü x = xH . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî 8 z 2= H 9 h 2 H : zxz 1 = hxh 1 , ò.å. x = (z 1h)x(h 1 z ).Ïîëîæèì t = z 1 h 2= H , òîãäà h 1 z = t 1 , ò.å. x = txt 1 , tx = xt.
Íàîáîðîò: ïóñòü 9 t 2= H : tx = xt. Òîãäà 8 z 2= H1 11HGHèìååì z = ht. Çíà÷èò, zxz 1 = h |txt{z } h = hxh 2 x , ò.å x = x .Òåïåðü äîêàæåì 2Æ . Ïóñòüxz; t 2= H; z = ht. Òîãäà zxz11 1 = hx h 1 2 xH . Äîêàæåì, ÷òî jxH j = jxH j.= h txt111| {z } hx1Çàìåòèì, ÷òî x 7 ! txt 1 àâòîìîðèçì, à ïðè í¼ì êëàññû ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ ïåðåõîäÿò òàêæå â êëàññûñîïðÿæåííûõ. '(x) = x1 ) '(xH ) = xH1.Âåðí¼ìñÿ ê ãðóïïå An Âûÿñíèì, êîãäà äëÿ ÷¼òíîé ïåðåñòàíîâêè ñóùåñòâóåò êîììóòèðóþùàÿ ñ íåé íå÷¼òíàÿ.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü 2 An . Òîãäà:1Æ 9 2= An : = , ñîäåðæèò ëèáî öèêë ÷¼òíîé äëèíû, ëèáî 2 öèêëà ðàâíîé íå÷¼òíîé äëèíû.2Æ 6= 8 2= An , âñå öèêëû â (â òîì ÷èñëå äëèíû 1) ðàçíîé íå÷¼òíîé äëèíû.
àçëîæèì íà íåçàâèñèìûå öèêëû: = 1 2 3 s . Ïóíêò 1Æ . Ïóñòü (ïåðâûé ñëó÷àé) 1 èìååò ÷¼òíóþäëèíó. Òîãäà ïðîñòî ïîëîæèì = 1 . Âòîðîé ñëó÷àé: = (i1 ; : : : ; ik )(j1 ; : : : ; jk )3 s è k = 2n + 1.  ýòîì ñëó÷àåïîëîæèì = (i1 j1 )(i2 j2 ) (ik jk ). Òîãäà 1 = (i1 ; : : : ; ik )(j1 ; : : : ; jk )3 s = . Ïóíêò 2Æ . Ïóñòü â âñå öèêëûðàçíîé íå÷¼òíîé äëèíû. Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåíèå äåéñòâóåò íà íåçàâèñèìûå öèêëû íåçàâèñèìî, ò.å 1 = , 1 = 8 i. Çíà÷èò, íàäî âûÿñíèòü, êàêèå ïåðåñòàíîâêè êîììóòèðóþò ñ îäíèì öèêëîì. Äîñòàòî÷íî ïîñìîòðåòü,'ii÷òî ïðîèñõîäèò ñ öèêëîì = (1; 2; : : : ; n).
Äîêàæåì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïåðåñòàíîâêè 2= An : = . Ïðåäïîëîæèìïðîòèâíîå. Òîãäà öèêëîâàÿ ñòðóêòóðà è äîëæíà áûòü îäèíàêîâàÿ, à çíà÷èò, = k . Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷¼òíàÿïåðåñòàíîâêà. Ïðîòèâîðå÷èå. Ñâîáîäíûå ãðóïïûÑèñòåìû ïîðîæäàþùèõ ýëåìåíòîâàññìîòðèì S G è âñåâîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ èç S è îáðàòíûõ ê íèì: H = s"i11 s"i22 s"ikk ; "i = 1.Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû íå îáÿçàòåëüíî êîììóòèðóþò, îäèí è òîò æå ýëåìåíò ìîæåò âñòðå÷àòüñÿ íåñêîëüêî ðàç.
H ïîäãðóïïà, òàê êàê 8 a 9 a 1 = sik"k si1"1 ; e = si1 si11 . Äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü ïóñòîå ïðîèçâåäåíèå åäèíèöåé. Î÷åâèäíî,H íàèìåíüøàÿ ïîäãðóïïà, ñîäåðæàùàÿ S .Îïðåäåëåíèå. H G íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïîé, ïîðîæäåííîé ìíîæåñòâîì S . Åñëè H = G, òî S íàçûâàåòñÿñèñòåìîé ïîðîæäàþùèõ äëÿ G. Îáîçíà÷åíèå: G = hS i.Ïðèìåð. ðóïïà ñ 1 ïîðîæäàþùèì ýëåìåíòîì öèêëè÷åñêàÿ.
Ïóñòàÿ ñèñòåìà ïîðîæäàåò feg."" "Îïðåäåëåíèå. S ñèñòåìà ïîðîæäàþùèõ äëÿ G, åñëè 8 g 2 G g = si11 si22 sikk ; sij 2 S; "j = 1.Çàìå÷àíèå. Îäíîçíà÷íîñòè ðàçëîæåíèÿ â îïðåäåëåíèè íå òðåáóåòñÿ!2Ïðèìåð.  ãðóïïå äèýäðà Dn åñòü ñèñòåìà èç äâóõ ïîðîæäàþùèõ ïîâîðîò a íà óãîë n è ñèììåòðèÿ b îòíîñèòåëüíîíåêîòîðîé îñè.Îïðåäåëåíèå. Áóäåì íàçûâàòü êîìáèíàöèè ïîðîæäàþùèõ ýëåìåíòîâ ñëîâàìè. Ïðàâèëüíûìè íàçîâ¼ì òå ñëîâà, âêîòîðûõ íå âñòðå÷àþòñÿ êîìáèíàöèè âèäà ": : : si si 1 : : :".Îïðåäåëåíèå. Åñëè â G èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî äâóõ ïðàâèëüíûõ ñëîâ a è b, áóäåì ãîâîðèòü î ñîîòíîøåíèè ìåæäóýòèìè ñëîâàìè: a = b , ab 1 = e.3Ïðèìåð. ãðóïïåDn åñòü ñîîòíîøåíèÿ an = e; b2 = e; (ab)2 = e.Ñâîáîäíûå ãðóïïûÎïðåäåëåíèå.
Åñëè èç íåêîòîðîãî íàáîðà ñîîòíîøåíèé ñëåäóþò âñå îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ, òî ýòîò íàáîðíàçûâàåòñÿ íàáîðîì îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé.Ïóñòü S àáñòðàêòíîå ìíîæåñòâî. Áåð¼ì âñå ïðàâèëüíûå ñëîâà, ñîñòàâëåííûå èç ýëåìåíòîâ S (îðìàëüíûå âûðàæåíèÿ). Îïðåäåëèì óìíîæåíèå ñëîâ u è v : ïðèïèñûâàåì îäíî ñëîâî ê äðóãîìó è ïðîèçâîäèì ñîêðàùåíèÿ íà ñòûêåñëîâ.Óòâåðæäåíèå. Ïîñòðîåííîå òàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâî ïðîèçâåäåíèé ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé. Åäèíèöà åñòü (ïóñòîå ïðîèçâåäåíèå).
Îáðàòíûé ýëåìåíò òàêæå èìååòñÿ. Ïðîâåðèì àññîöèàòèâíîñòü. Ïóñòüu; v; w ïðàâèëüíûå ñëîâà. Äîêàæåì, ÷òî (uv)w = u(vw). Åñëè íà ñòûêàõ ñëîâ íåò ñîêðàùåíèé, òî âñ¼ ÿñíî, èíà÷åðàññìîòðèì 3 ñëó÷àÿ. Ïåðâûé ñëó÷àé: u = ab; v = b 1 d; w = d 1 f , è ïðè ýòîì ïîäñëîâî 6= ?.  ýòîì ñëó÷àå (uv )w =(abb 1d)d 1 f = (ad)d 1 f = af . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, u(vw) = af . Âòîðîé ñëó÷àé ( = ?): u = ab; v = b 1 d; w = d 1 f .Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî (uv )w = u(vw). Òðåòèé ñëó÷àé: u = ab; v = b 1 1 d; w = d 1 f àíàëîãè÷íî. Îïðåäåëåíèå. Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóïïîé ñ ìíîæåñòâîì ñâîáîäíûõ ïîðîæäàþùèõ S . (Íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â òàêîé ãðóïïå íåò íåòðèâèàëüíûõ ñîîòíîøåíèé.)D EÒåïåðü óòî÷íèì ïîíÿòèå îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé.
Ïóñòü åñòü ñâîáîäíàÿ ãðóïïà F = Se ; Se = fxi gi2I è ãðóïïàG, ïîðîæäåííàÿ ñåìåéñòâîì S = fsi gi2I . àññìîòðèì ýïèìîðèçì f : F ! G, îïðåäåë¼ííûé ïî ïðàâèëó f (xi ) = si . Âñèëó îäíîçíà÷íîñòè çàïèñè ýëåìåíòà ñâîáîäíîé ãðóïïû çàäàííîå îòîáðàæåíèå êîððåêòíî. Ïðè ýòîì Ker f =: N ñîñòîèòâ òî÷íîñòè èç òåõ ñëîâ, êîòîðûå ïðè ïîäñòàíîâêå xi 7! si ïåðåõîäÿò â åäèíèöó ãðóïïû G, ò.å.
x"i11 x"ikk 2 Ker f ,s"i11 s"ikk = e. Ïî òåîðåìå î ãîìîìîðèçìå G = F=N .Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëÿþùàÿ ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé òàêàÿ ñîâîêóïíîñòü ïðàâèëüíûõ ñëîâ, ðàâíûõ â G åäèíèöå,÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ñëîâà â ñâîáîäíîé ãðóïïå ïîðîæäàþò N êàê íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó.N ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ïîäãðóïïîé, ñîäåðæàùåé âñå ýòè ïðàâèëüíûå ñëîâà è ïîðîæäàåòñÿ âûáðàííûìè ñîîòíîøåíèÿìè è ñîïðÿæåííûìè ê íèì. Çàìåòèì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò àëãîðèòìà, îïðåäåëÿþùåãî, ðàâíû ëè äâà íåêîòîðûõïðàâèëüíûõ ñëîâà.Ïðèìåð. Ñâîáîäíàÿ ãðóïïà ñ îäíèì ïîðîæäàþùèì ýëåìåíòîì áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà.Îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ â ãðóïïàõDnèSnÑîîòíîøåíèÿ â ãðóïïå äèýäðà an = e; b2 = e; (ab)2 = e ÿâëÿþòñÿîïðåäåëÿþùèìè.
Dn = ha; bi. àññìîòðèì ñâîáîäíóþ ãðóïïó F = hx; yi è ãðóïïó N = xn ; y2 ; (xy)2 . àññìîòðèì ãîìîìîðèçìf : F ! Dn : f (x) = a; f (y) = b. Î÷åâèäíî, ÷òî N Ker f . Äîêàæåì, ÷òî F=N = Dn . àññìîòðèì ãîìîìîðèçìf : F=N ! Dn . Íàéä¼ì ÷èñëî ñìåæíûõ êëàññîâ â àêòîðãðóïïå: (xk )N èõ n øòóê, è (xk y)N åù¼ n øòóê. Íî âãðóïïå Dn ðîâíî 2n ýëåìåíòîâ, çíà÷èò, f èçîìîðèçì è N = Ker f , à ýòî è òðåáîâàëîñü. àññìîòðèì Sn . Î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìàìè ïîðîæäàþùèõ ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà âñåõ òðàíñïîçèöèé è âñåõ öèêëîâ.Sn = h1 = (12); 2 = (23); : : : ; n 1 = (n 1; n)i = h(12); (123); : : : ; (12; : : : ; n)i.Çàäà÷à. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû fi g âåðíû ñîîòíîøåíèÿ 2 = e; i j = j i ; jij j > 2; i i+1 i = i+1 i i+1 .Óòâåðæäåíèå.Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïÏîíÿòèå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ è åãî ñâîéñòâàÎïðåäåëåíèå.Äàíà ãðóïïàG è H1 ; : : : ; Hs G. ðóïïà G ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå H1 ; : : : ; Hs , åñëè:1Æ Hi C G;2Æ G = H1 Hs , ò.å.
8 g 2 G èìååì g = g1 : : : gs ; gi 2 Hi ;3Æ àçëîæåíèå â ïóíêòå 1Æ åäèíñòâåííî.Îáîçíà÷åíèå: G = H1 : : : Hs .Ïðèìåð. Ïðÿìàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ ïî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ.Ñëåäñòâèå. Åñëè G = H1 : : : Hs , òî Hi \ Hj = feg ; i 6= j . Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: x 2 Hi \ Hj . Òîãäà ðàçëîæåíèå íåîäíîçíà÷íî: e : : : gi : : : e = x = e : : : gj : : : e. Îïðåäåëåíèå.
Êîììóòàòîðîì ýëåìåíòîâ ãðóïïû x è y íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò [x; y ℄ := xyx 1 y 1 .Óòâåðæäåíèå. Åñëè X C G; Y C G, è X \ Y = feg, òî èõ ýëåìåíòû êîììóòèðóþò. Ïóñòü x 2 X; y 2 Y . Óñëîâèå xy = yx , [x; y℄ = e. Íî òàê êàê xyx 1 2 Y , à yx 1 y 1 2 X , òî èìååì[x; y℄ 2 X; [x; y℄ 2 Y .  ñèëó òðèâèàëüíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ [x; y℄ = e. Ñëåäñòâèå.
(g1 : : : gs )(g10 : : : gs0 ) = (g1 g10 ) : : : (gs gs0 ):k1kiksÎ÷åâèäíî, ÷òî gQ1 : : : gs = e , gi = e. Ñëåäîâàòåëüíî, O(g1 : : : gs ) = ÍÎÊ fO(g1 ); : : : ; O(gs )g. Êðîìå òîãî, åñëèjHi j < 1, òî jGj = jHi j.Óòâåðæäåíèå. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:I. G = H1 : : : Hs ðóïïà G åñòü ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå;II. 1Æ , 2Æ - òå æå, ÷òî è â îïðåäåëåíèè; 3Æ Hj\ H1 : : : Hj 1 Hj +1 : : : Hs = feg;III. 1Æ , 2Æ - òå æå ñàìûå; 3Æ Hj \ H1 : : : Hj 1 = feg;IV. 1Æ Hi ïîäãðóïïû, 8 gi 2 Hi ; 8 gj 2 Hj gi gj = gj gi ; 2Æ - òî æå ñàìîå; 3Æ ëþáîå èç I, II, III.4 II. Òî, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò òðèâèàëüíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ, áûëî äîêàçàíî âûøå. Òåïåðü âûâåäåì åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ èç ñâîéñòâ ïóíêòà II. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
