Электронные лекции (1106005), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïðàâîå äåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ òàê: g x = xg 1 .Îïðåäåëåíèå. Öåíòðàëèçàòîðîì ýëåìåíòà x íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Z (x) := fg 2 G : xg = gxg.àññìàòðèâàòü äåéñòâèå ãðóïïû íà ñåáå, íàïðèìåð, äåéñòâèå ñîïðÿæåíèÿìè: g x = gxg 1 . Òîãäà ñòàáèëèçàòîðîìêàæäîãî ýëåìåíòà áóäåò åãî öåíòðàëèçàòîð, à îðáèòû ïðåâðàùàþòñÿ â êëàññû ñîïðÿæ¼ííîñòè. Ïóñòü x 2 G, à C (x) êëàññ ñîïðÿæ¼ííûõ åìó ýëåìåíòîâ. Òîãäà jC (x)j jZ (x)j = jGj.Òåïåðüâñåõ ïîäãðóïï â G. àññìîòðèì äåéñòâèå ñîïðÿæåíèÿìè g H = gHg 1 . Òîãäà èìååì ïóñòü M1 ìíîæåñòâîSt(H ) = g : gHg = H .
Ïîäãðóïïà St(H ) áóäåò íàèáîëüøåé ïîäãðóïïîé, â êîòîðîé H íîðìàëüíà. Îíà íàçûâàåòñÿíîðìàëèçàòîðîì H è îáîçíà÷àåòñÿ N (H ).Óòâåðæäåíèå. ×èñëî ïîäãðóïï, ñîïðÿæ¼ííûõ ñ äàííîé, ðàâíî èíäåêñó å¼ íîðìàëèçàòîðà.11 Î÷åâèäíî, äëèíà îðáèòû ðàâíà ÷èñëó ïîäãðóïï, ñîïðÿæ¼ííûõ ñ H . Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü îðìóëó (1). Ïóñòü S íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî â G.
àññìîòðèì äåéñòâèå g S = gS . Òîãäà H := St(S ) = fh : hS = S g. ÅñëèHS = S , òî S îáúåäèíåíèå ñìåæíûõ êëàññîâ ïî H .Êîíå÷íûåÔîðìóëà êëàññîâ. Êîíå÷íûåp-ãðóïïû.Òåîðåìû Ñèëîâàp-ãðóïïûðóïïà G íàçûâàåòñÿ p-ãðóïïîé, åñëè p ïðîñòîå è jGj = pk .GÏóñòü ãðóïïà G ðàçáèòà íà êëàññû ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòîâ xG1 ; : : : ; xr . Î÷åâèäíî, ÷òî åñëèÏóñòü jZ (G)j = q . Òîãäà ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìóþ îðìóëó êëàññîâ:Îïðåäåëåíèå.jGj = jZ (G)j +x 2 Z (G), òî xG = fxg.rjGj = jZ (G)j + XjxGi j:jZ(x)jii=q+1i=q+1rXÂñÿêàÿ p-ãðóïïà èìååò íåòðèâèàëüíûé öåíòð.Åñëè ãðóïïà àáåëåâà, òî òîãäà å¼ öåíòð åñòü âñÿ ãðóïïà.
Åñëè îíà íå àáåëåâà, òî â îðìóëå êëàññîâ ðàçìåðêàæäîãî íåöåíòðàëüíîãî êëàññà äåëèòñÿ íà p. Òîãäà èìååì jGj = pk = jZ (G)j + pm, à çíà÷èò, è jZ (G)j äåëèòñÿ íà p,ò.å. â öåíòðå êðîìå åäèíèöû åù¼ ÷òî-òî åñòü. Ñëåäñòâèå. Âñÿêàÿ p-ãðóïïà ðàçðåøèìà. Äîêàæåì ïî èíäóêöèè ïî ïîðÿäêó ãðóïïû. Ïóñòü jGj = pk .
Èìååì Z (G) C G. Òîãäà jG=Z (G)j < jGj, òàê êàêöåíòð íåòðèâèàëåí. Ôàêòîðãðóïïà èìååò ìåíüøèé ïîðÿäîê, è ìîæíî ïðèìåíèòü èíäóêòèâíîå ïðåäïîëîæåíèå. Òåîðåìà. Âñÿêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà p2 àáåëåâà. Öåíòð òàêîé ãðóïïû ìîæåò èìåòü ïîðÿäîê ëèáî p, ëèáî p2 . Âî âòîðîì ñëó÷àå äîêàçûâàòü íå÷åãî.  ïåðâîìñëó÷àå jG=Z (G)j = p, íî àêòîðãðóïïà íåàáåëåâîé ãðóïïû ïî öåíòðó íå ìîæåò áûòü öèêëè÷åñêîé. Ïðîòèâîðå÷èå.
àññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ p-ãðóïï.Ïðèìåð 1. ðóïïà êâàòåðíèîíîâ Q8 .Ïðèìåð 2. UT3 (F p ).Òåîðåìà.Ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïÏóñòüN C G, à H ïîäãðóïïà âG. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå ïîäãðóïï NHÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé, òàê êàên 1 h} h 1 2 NH:(n1 h1 )(n2 h2 ) = (n1 h| 1 n{z2 h1 }1 )(h1 h2 ) 2 NH; è (nh) 1 = h| 1{z2N2NÝòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò äàòü ñëåäóþùååÎïðåäåëåíèå. ðóïïà G ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ïîäãðóïï N è H è îáîçíà÷àåòñÿ G = N h H , åñëè:1Æ N C G; H G;2Æ NH = G;3Æ N \ H = feg.Çàìå÷àíèå. Ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå íåñèììåòðè÷íî!Ïóñòü G = N h H .
Äëÿ êàæäîãî h 2 H ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå âíóòðåííåãî àâòîìîðèçìà h (x) := hxh 1íà ïîäãðóïïó N .  ñèëó íîðìàëüíîñòè ïîäãðóïïû N ïîëó÷àåì, ÷òî h 2 Aut N è îòîáðàæåíèå h 7! h ÿâëÿåòñÿãîìîìîðèçìîì H ! Aut N . Òîãäà óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ èç N h H ïðîèñõîäèò òàê:(n1 h1 )(n2 h2 ) = (n1 h1 (n2 ))(h1 h2 ):Òàêæå ìîæíî îïðåäåëèòü âíåøíåå ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå.
Ïóñòü åñòü êàêèå-òî ãðóïïû N è H , çàäàí ãîìîìîð'èçì ' : H ! Aut N , è ýëåìåíò h 7 ! h . Îïðåäåëèì â äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè N H óìíîæåíèå ïî îðìóëå(n1 ; h1 ) (n2 ; h2 ) := n1 h1 (n2 ); h1 h2 :Î÷åâèäíî, ÷òî àêñèîìû ãðóïïû âûïîëíÿþòñÿ. Ïîëó÷åííàÿ ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïïN h H . Àíàëîãè÷íî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ, ìîæíî îòîæäåñòâèòü ãðóïïû N è H ñ ìíîæåñòâàìè ïàð f(n; e)g è f(e; h)gñîîòâåòñòâåííî è íå ðàçëè÷àòü âíåøíåå è âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèÿ.Âåðí¼ìñÿ ê p-ãðóïïàì.
Ïóñòü N = haip2 ; H = hbip . ðóïïà àâòîìîðèçìîâ öèêëè÷åñêîé ãðóïïû èçîìîðíà ãðóïïåå¼ îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ, ïîýòîìó èìååì j Aut N j = p(p 1).  Aut N åñòü ýëåìåíò ïîðÿäêà p, ñëåäîâàòåëüíî, åñòüöèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà ïîðÿäêà p. ...???...???... Çíà÷èò, G = N h H ãðóïïà ïîðÿäêà p3 .Òåîðåìû ÑèëîâàÏóñòü jGj = pn m, ãäå p ïðîñòîå è (p; m) = 1. àññìîòðèì ïîäãðóïïó H G ïîðÿäêà pn . Îíàíàçûâàåòñÿ ñèëîâñêîé p-ïîäãðóïïîé.Òåîðåìà Ñèëîâà 1. Ñèëîâñêàÿ p-ïîäãðóïïà ñóùåñòâóåò.
Åñëè ãðóïïà G àáåëåâà, òî ðàçëîæèì å¼ íà ïðèìàðíûå öèêëè÷åñêèå. Î÷åâèäíî, ÷òî ñèëîâñêîé p-ïîäãðóïïîéáóäåò ïðîèçâåäåíèå âñåõ òåõ ñëàãàåìûõ, ïîðÿäêè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ñòåïåíÿìè ÷èñëà p.  îáùåì ñëó÷àå ïðèìåíèìÎïðåäåëåíèå.12èíäóêöèþ ïî jGj. Åñëè jGj = 1, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî.
Ïóñòü jGj > 1. àññìîòðèì ðàçáèåíèå G íà êëàññû ñîïðÿæ¼ííûõýëåìåíòîâ. Âîçìîæíû 2 ñëó÷àÿ:1Æ Åñòü íåòðèâèàëüíûé êëàññ C (x), ÷èñëî ýëåìåíòîâ êîòîðîãî íå äåëèòñÿ íà p. Òîãäà, òàê êàê jZ (x)jjC (x)j = jGj =np m, òî jZ (x)j äåëèòñÿ íà pn . Ïîðÿäîê öåíòðàëèçàòîðà ìåíüøå jGj, çíà÷èò, ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ â Z (x)åñòü ñèëîâñêàÿ p-ïîäãðóïïà ïîðÿäêà pn . Òîãäà îíà æå áóäåò èñêîìîé ïîäãðóïïîé â G.2Æ Òàêîãî êëàññà íåò, ò.å. êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ âî âñåõ íåòðèâèàëüíûõ êëàññàõ äåëèòñÿ íà p. Òîãäà ïî îðìóëåêëàññîâ jZ (G)j äåëèòñÿ íà p. Ïóñòü jZ (G)j = pk l, è (p; l) = 1. Òîãäà â öåíòðå Z (G) åñòü ïîäãðóïïà Z 0 Z (G) ïîðÿäêàpk .
Ôàêòîðãðóïïà G=Z 0 èìååò ïîðÿäîê pn k m, è ñíîâà ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ â íåé åñòü ïîäãðóïïà ïîðÿäêàpn k . ż ïîëíûé ïðîîáðàç ïðè êàíîíè÷åñêîì ãîìîìîðèçìå G ! G=Z 0 è áóäåò ñèëîâñêîé p-ïîäãðóïïîé â G. Òåîðåìà Ñèëîâà 2. Âñÿêàÿ p-ïîäãðóïïà ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé ñèëîâñêîé p-ïîäãðóïïå. Âñå ñèëîâñêèå pïîäãðóïïû ñîïðÿæåíû. Ïóñòü S G ñèëîâñêàÿ p-ïîäãðóïïà â G, è T êàêàÿ-òî p-ïîäãðóïïà. àññìîòðèì äåéñòâèå T íà G=Sëåâûìè ñäâèãàìè. Ïðè òàêîì äåéñòâèè äëèíà ëþáîé íåòðèâèàëüíîé îðáèòû áóäåò äåëèòüñÿ íà p, òàê êàê ïîðÿäîêñòàáèëèçàòîðà äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû, è, ñòàëî áûòü, ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ñòåïåíüþ ÷èñëà p.
Çàìåòèì, ÷òî jG=S j íåäåëèòñÿ íà p. Çíà÷èò, ó äàííîãî äåéñòâèÿ åñòü íåïîäâèæíûå òî÷êè. Ïóñòü gS òàêàÿ òî÷êà. Òîãäà 8 t 2 T èìååìt gS gS , ò.å. 8 s 2 S tgs = gs0 . Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòîãî ðàâåíñòâà èìååìt = g s|0{zs }1 g 1 ;2Sò.å.t 2 gSg1) T gSg 1:Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî, òàê êàê gSg 1 áóäåò íåêîòîðîé ñèëîâñêîé p-ïîäãðóïïîé.
À åñëèïîðÿäêè ó T è S ñîâïàäàþò, òî T = gSg 1 , ÷òî è äà¼ò ñîïðÿæ¼ííîñòü âñåõ ñèëîâñêèõ p-ïîäãðóïï. Òåîðåìà Ñèëîâà 3. ×èñëî ñèëîâñêèõ p-ïîäãðóïï ñðàâíèìî ñ 1 ïî ìîäóëþ p. Ïóñòü S ñèëîâñêàÿ p-ïîäãðóïïà â G è C (S ) êëàññ ïîäãðóïï, ñîïðÿæåííûõ ñ S , ò.å. êëàññ âñåõ ñèëîâñêèõp-ïîäãðóïï. àññìîòðèì äåéñòâèå ãðóïïû G ñîïðÿæåíèÿìè íà C (S ). Ïðè òàêîì äåéñòâèè ñòàáèëèçàòîð ëþáîé ïîäãðóïïû S 0 ðàâåí å¼ íîðìàëèçàòîðó N (S 0 ).
Îãðàíè÷èì ýòî äåéñòâèå íà S . Òîãäà âñ¼ ìíîæåñòâî C (S ) ðàçîáú¼òñÿ íàíåòðèâèàëüíûå îðáèòû (äëèíà êàæäîé èç íèõ äåëèòñÿ íà p, êàê è â òåîðåìå 2), è íà íåïîäâèæíûå òî÷êè. Äîêàæåì,÷òî åäèíñòâåííîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé áóäåò ñàìà ïîäãðóïïà S , îòêóäà è áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî jC (x)j 1 (mod p).Ïóñòü S 0 2 C (S ) êàêàÿ-òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò èç S äåéñòâóåò íà S 0 òîæäåñòâåííî, òî åñòü ëåæèò â ñòàáèëèçàòîðå St(S 0 ). Òàêèì îáðàçîì, S St(S 0 ) = N (S 0 ). Òîãäà S è S 0 áóäóò ñèëîâñêèìèp-ïîäãðóïïàìè â ãðóïïå N (S 0 ) è, çíà÷èò, ñîïðÿæåíû â íåé.
Íî S 0 íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â ñâî¼ì íîðìàëèçàòîðå, òîåñòü ñîïðÿæåíà òîëüêî ñàìà ñåáå. Ñëåäîâàòåëüíî, S 0 = S . Ñëåäñòâèå 1. Ñèëîâñêàÿ ïîäãðóïïà åäèíñòâåííà , îíà íîðìàëüíàÿ.Ñëåäñòâèå 2. Èç ñîïðÿæåííîñòè âñåõ ñèëîâñêèõ p-ïîäãðóïï âûòåêàåò, ÷òî èõ êîëè÷åñòâî Np ðàâíî èíäåêñó íîðìàëèçàòîðà îäíîé èç ýòèõ ïîäãðóïï, ò.å. åñëè jGj = pn m, òî Np jm.Ñëåäñòâèå 3. Åñëè âñå ñèëîâñêèå ïîäãðóïïû Gpi íîðìàëüíû äëÿ 8 pjGj, òî G = Gp1 : : : Gpq è jGj = jGp1 j : : : jGpq j.
Äîêàæåì, ÷òî ïåðåñå÷åíèå êàæäîé ïîäãðóïïû ñ ïåðåñå÷åíèåì îñòàëüíûõ òðèâèàëüíî. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå.Ïóñòü ñóùåñòâóåò x 2 G : x = x1 = x2 : : : xq , ãäå xi 2 Gpi . Òîãäà ïîðÿäîê ýëåìåíòà ñëåâà åñòü íåêîòîðàÿ ñòåïåíü p1 , àó ëþáîãî xi ñïðàâà ïîðÿäîê íå ìîæåò äåëèòüñÿ íà p1 . Ïðîòèâîðå÷èå. ðóïïû ïîðÿäêàpqàññìîòðèì ãðóïïó G ïîðÿäêà pq , ãäå p è q ïðîñòûå, è p < q . àññìîòðèì ñèëîâñêèå q -ïîäãðóïïû. Ïî ñëåäñòâèþ 2èìååì Nq jp; Nq 1 (mod p) ) Nq = 1. Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 1 Gq C G; jGq j = q; jG=Gq j = p, à çíà÷èò, ãðóïïà ðàçðåøèìà.Òåïåðü ðàññìîòðèì ñèëîâñêèå p-ïîäãðóïïû.
Èìååì Np jq; Np 1 (mod p). Âîçìîæíû 2 ñëó÷àÿ:1Æ q íå ñðàâíèìî ñ 1 (mod p) ) Np = 1 ) Gp C G ) G = Gp Gq öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà.2Æ q 1 (mod p). Òîãäà ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåàáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà pq . Âîçüì¼ì ãðóïïû N : jN j = q èH : jH j = p. Èìååì Aut N = Fq . Òîãäà Aut N ñîäåðæèò ïîäãðóïïó ïîðÿäêà p è ìîæíî ïîñòðîèòü âëîæåíèå H ,! Aut Nè ïîëó÷èòü òåì ñàìûì âíåøíåå ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï G = N h H .×àñòü II. Êîëüöà. Ïîëÿ. ÀëãåáðûÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìûÊîëüöà. îìîìîðèçìû êîëåö. Èäåàëû è àêòîðêîëüöàÍàïîìíèì, ÷òî êîëüöîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî (R; +; ) ñ äâóìÿ îïåðàöèÿìè. Ïî ñëîæåíèþ R åñòü àáåëåâà ãðóïïà,à óìíîæåíèå äèñòðèáóòèâíî ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþ.Îïðåäåëåíèå.
îìîìîðèçìîì êîëåö R è S íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå f : R ! S ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1Æ f (a + b) = f (a) + f (b) 8 a; b 2 R;2Æ f (ab) = f (a)f (b) 8 a; b 2 R;3Æ f (1) = 1 ýòî òðåáîâàíèå òîëüêî äëÿ êîëåö ñ 1. Åñëè f ñþðúåêòèâíî, òî 3Æ åñòü ñëåäñòâèå 1Æ è 2Æ .Áóäåì ïîêà ðàññìàòðâàòü êîëüöà ñ 1.àññìîòðèì ãîìîìîðèçì êîëåö f , è îáîçíà÷èì I := Ker f . Îíî îáëàäàåò äâóìÿ ñâîéñòâàìè:1Æ I - ïîäãðóïïà ïî ñëîæåíèþ;132Æ8 x 2 I; r 2 R èìååì rx 2 I; xr 2 I , òàê êàê f (rx) = f (r)f (x) = 0 ) rx 2 I , è àíàëîãè÷íî xr 2 I .Ïîäãðóïïà I àääèòèâíîé ãðóïïû êîëüöà R, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòèì äâóì ñâîéñòâàì, íàçûâàåòñÿ(äâóñòîðîííèì) èäåàëîì êîëüöà.
Åñëè èäåàë âûäåðæèâàåò òîëüêî ëåâîå óìíîæåíèå, îí íàçûâàåòñÿ ëåâûì èäåàëîì.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâûé èäåàë. Îáîçíà÷åíèå: I C R.Çàìå÷àíèå. Èäåàë ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì íîðìàëüíîé ïîäãðóïïû â òåîðèè ãðóïï.Ââåä¼ì ïîíÿòèå àêòîðêîëüöà. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íåêîòîðûé èäåàë I è ìíîæåñòâî ñìåæíûõ êëàññîâ fa + I g.Ââåä¼ì îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ ïî ïðàâèëó (a + I )(b + I ) := ab + I . Ïðîâåðèì êîððåêòíîñòü, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
