Электронные лекции (1106005), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

 ñèëó íåïðèâîäèìîñòè p îíî áóäåò ïîëåì. Ïóñòü x = x + pK [x℄ 2 L. Òîãäà p(x) = p(x) + pK [x℄ = 0, ò.å. x êîðåíü p(x). Îïðåäåëåíèå. Äàíî ðàñøèðåíèå L ïîëÿ K . ×èñëî 2 L íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì ýëåìåíòîì íàä K , åñëè ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí f 2 K [x℄, òàêîé, ÷òî f () = 0, è òðàíñöåíäåíòíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Ìîæíî ðàññìîòðåòü íàèìåíüøåå ïîäïîëå â ðàñøèðåíèè L, ñîäåðæàùåå K è êîðåíü . Ýòî áóäåò ïîëå ðàöèîíàëüíûõÎïðåäåëåíèå.Åñëèóíêöèé.ÏÎ×ÅÌÓ???Ìíîãî÷ëåí f íàçûâàåòñÿ àííóëèðóþùèì äëÿ ÷èñëà , åñëè f () = 0.Åñëè ðàñøèðåíèå êîíå÷íîå, òî ëþáîé ýëåìåíò â í¼ì ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì.

Ïóñòü R êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðà ñ 1 è K R. Ïîêàæåì,÷òî äëÿ åñòü àííóëèðóþùèé ìíîãî÷ëåí. Ïóñòüñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ ðàâíà n. Òîãäà ðàññìîòðèì ýëåìåíòû 1; ; 2 ; : : : ; n . Îíè ëèíåéíî çàâèñèìû, ò.å. 9 i 2 K :0 + 1 + 2 2 + : : : + n n = 0. Çíà÷èò, ìíîãî÷ëåí ñ êîýèöèåíòàìè i è áóäåò àííóëèðóþùèì. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ àííóëèðóþùèõ ìíîãî÷ëåíîâ äëÿ êîðíÿ ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì.Îïðåäåëåíèå. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí êîðíÿ åãî àííóëèðóþùèé ìíîãî÷ëåí íàèìåíüøåé ñòåïåíè.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü àëãåáðàè÷åñêèé ýëåìåíò. Òîãäà åãî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí p íåïðèâîäèì.

Äîïóñòèì, p = gh. Òîãäà p() = g()h() ) g() = 0 èëè h() = 0. Òîãäà deg g; deg h < deg p. Ïðîòèâîðå÷èå. Îïðåäåëåíèå.Òåîðåìà 2.Ïðîñòîå ðàñøèðåíèåÏóñòü L ðàñøèðåíèå K , ÷èñëî 2 L àëãåáðàè÷åñêèé ýëåìåíò íàä K , è p ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿÏîñòðîèìÆ ãîìîìîðèçì ' : K [x℄ ! L. Ïîëîæèì '(x) := ; '(g (x)) = g (). Ïî òåîðåìå î ãîìîìîðèçìåèìååìÆIm ' = K [x℄ KerÆ'. ßäðî ' áóäåò ìíîæåñòâîìâñåõ àííóëèðóþùèõ ìíîãî÷ëåíîâ, à òîãäà Im ' = K [x℄ pK [x℄. Íî ìûçíàåì, ÷òî K [x℄ pK [x℄ = g (x) deg g < deg p . Èìååì x = x + pK [x℄ 7! ) Im ' ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò ñòåïåíè ìåíüøå deg p. Ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîëåì è, êðîìå òîãî, ýòî íàèìåíüøåå ïîëå, ñîäåðæàùåå K è .

Îíîîáîçíà÷àåòñÿ K () è íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì ðàñøèðåíèåì ïîëÿ K . Èòàê, åñëè p ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ , òî.K () = K [x℄ pK [x℄:Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü åñòü ðàñøèðåíèÿ L1 ; L2 ïîëÿ K , 1 2 L1 ; 2 2 L2 è ìèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû ýòèõ äâóõêîðíåé ñîâïàäàþò. Òîãäà K (1 ) è K (2 ) èçîìîðíû êàê àëãåáðû íàä K , ò.å. ñóøåñòâóåò èçîìîðèçì ' : '(1 ) = 2 ,Æïðè êîòîðîì ýëåìåíòû îñíîâíîãî ïîëÿ îòîáðàæàþòñÿ òîæäåñòâåííî. K (1 ) è K (2 ) èçîìîðíû îäíîé è òîé æå àêòîðàëãåáðå.Èçîìîðèçì çàäàäèì òàê:ÆÏðèìåð. Ïóñòü z 2 C ; z 2= R; p(x) 2 R[x℄; p(z ) = 0.

Òîãäà R[x℄ p(x)R[x℄ = R( z ) = C .'(g(1 )) := g(2 ). Áàøíè ïîëåéÁóäåì ðàññìàòðèâàòü öåïî÷êè âëîæåííûõ äðóã â äðóãà ïîëåé òàê íàçûâàåìûå ¾áàøíè ïîëåé¿.Ïóñòü K L F . Òîãäà (F : K ) = (L : K ) (F : L). Âûáåðåì áàçèñ L íàä K : f!1 ; : : : ; !m g, è áàçèñ F íàä L : f1 ; : : : ; n g.

Äîêàæåì, ÷òî âñåâîçìîæíûå ïîïàðíûåïðîèçâåäåíèÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ f!i j g îáðàçóþò áàçèñ F íàä K . Ëþáîé ýëåìåíò âûðàæàåòñÿ:Òåîðåìà 3.u 2 F; u =nXj =1xj j ; xj2 L; xj =mXi=1aij !i ; aij2K ) u=n XmXj =1 i=1aij !i j :Äîêàæåì ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü. Ïóñòün XmXj =1 i=1|aij !i j = 0 ) 8 j{z2LmX}i=1aij !i = 0 ) aij = 0:Çíà÷èò, ýòî äåéñòâèòåëüíî áàçèñ. Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü 1 ; : : : ; s 2 L àëãåáðàè÷åñêèå ýëåìåíòû íàä K . àññìîòðèì íàèìåíüøåå ïîëå, ñîäåðæàùååK è âñå ýòè ýëåìåíòû: K (1 ; : : : ; s ) = K (1 )(2 ) : : : (s ).

Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå ïîëó÷åííîå ïðîñòîå ðàñøèðåíèåèìååò êîíå÷íóþ ñòåïåíü íàä K .16Ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ íàä K ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ â äàííîì ðàñøèðåíèè, ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.Ïóñòü 1 ; 2 àëãåáðàè÷åñêèå ýëåìåíòû íàä K . Òîãäà K (1 ; 2 ) êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå, à ïî òåîðåìå 2 ëþáîéýëåìåíò â í¼ì (à â ÷àñòíîñòè, ñóììà è ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ) áóäåò àëãåáðàè÷åñêèì. Ñëåäñòâèå 2.Ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíàÎïðåäåëåíèå.

Ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f íàä K íàçûâàåòñÿ òàêîå ðàñøèðåíèå L K , ÷òî â L[x℄ ìíîãî÷ëåíðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè, è L íàèìåíüøåå ïîëå, ñîäåðæàùåå âñå êîðíè f .Òåîðåìà 4. Äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f íàä ïîëåì K ñóùåñòâóåò ïîëå ðàçëîæåíèÿ. Äîêàæåì ïî èíäóêöèè ïî ñòåïåíè f . Åñëè deg f = 1, òî ïîëåì ðàçëîæåíèÿ áóäåò ïîëå K . Ïóñòü òåïåðüdeg f = n è äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ ìåíüøåé ñòåïåíè âñ¼ äîêàçàíî. Ïî òåîðåìå 1 ñóùåñòâóåò ïîëå K1 K , â êîòîðîì fèìååò êîðåíü (îáîçíà÷èì åãî 1 ). Òîãäà íàä K1 ìíîãî÷ëåí f èìååò ðàçëîæåíèå f (x) = (x 1 )g (x), ãäå g [x℄ 2 K1 [x℄.Èìååì deg g = n 1, è ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè ê g (x) è ïîëþ K1 .

Ïóñòü K2 ïîëå ðàçëîæåíèÿ äëÿg(x). Òîãäà â í¼ì îí ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. Çíà÷èò, è f (x) ðàçëàãàåòñÿ â K2 íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè:ff (x) =nQi=1(x i ). Òîãäà L := K (1 ; : : : ; n ) áóäåò èñêîìûì ïîëåì ðàçëîæåíèÿ. 17.

Характеристики

Список файлов лекций