Диссертация (1105278), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Кроме того отсутствуютметоды, позволяющие рассчитать все компоненты матрицы поляризуемости частицы произвольной формы.Модель, развитая в работах [11, 12], заложила хороший фундамент дляопределения коэффициентов прохождения и отражения метаплёнки по известной матрице поляризуемости составляющих её частиц. Но она требует усовер-30шенствования и обобщения на случай частиц произвольной формы. В частноститаких, как П-образные резонаторы, которые характеризуются наличием магнитоэлектрических компонент поляризуемости, т.е. обладают бианизотропией.В литературе представлено исследования масштабных зависимостей спектров метаплёнок составленных из П-образных резонаторов.

Однако не освещены вопросы поведения добротностей и амплитуд резонансов. Кроме того,соответствующее рассмотрение отсутствует для частиц другой геометрии.Большое количество экспериментальных работ сосредоточено на исследовании свойств метаматериалов в оптическом диапазоне. При этом технологииизготовления образцов не позволяют получать идентичные резонаторы в рамках одной метаплёнки, наблюдается некоторый разброс параметров, которыйприводит к отклонению отклика от ожидаемого. Используемые численные методы не позволяют учесть такой разброс размеров.Указанные соображения и определили круг проблем, рассмотренных в настоящей диссертации.31ГЛАВА 2Матрица поляризуемости субволновыхрезонаторов2.1.ВведениеДля создания метаматериалов на волнах видимого, ИК и терагерцово-го диапазонов широко применяются П-образные металлические частицы.

Ониобладают значительными электрическими и магнитными поляризуемостями.Двумерные [7, 30] и трёхмерные [32] композитные структуры из таких частицобладают необычными электродинамическими свойствами, в том числе значительной магнитной восприимчивостью на оптических частотах [30], и отрицательной рефракцией, при которой эффективная диэлектрическая и магнитнаяпроницаемости отрицательны [102].Существует ряд работ, в которых проводилось численное моделированиерассеяния электромагнитных волн на периодических решётках, составленныхиз П-частиц (напр.

[7,32]). При этом электрический и магнитный дипольные моменты, которыми обладает отдельная частица, в явном виде не определялись.Вместе с тем, вычисление дипольных моментов и поляризуемостей отдельныхчастиц весьма желательно для понимания влияния различных факторов насвойства метаматериалов. При этом возможно упрощение методов их направленного конструирования. Кроме того, знание поляризуемостей отдельных частиц можно использовать для определения коэффициентов прохождения и отражения для метаплёнки.

Как, например, это было проделано в работе [12] длячастиц с диагональной матрицей поляризуемостью (см. главу 1). Кроме того,знание характеристик отдельных частиц существенно для таких приложений,как наноантенны и нанолазеры (см. напр. [77–79]).В настоящей главе решение задачи рассеяния производится с помощьюпакета программ COMSOL Multiphysics, который основан на использованииметода конечных элементов (FEM) в частотной области. Целью данной главы является расчёт дипольных моментов наночастиц произвольной формы инахождение всех коэффициентов матрицы поляризуемости.322.2.Методика расчёта поляризуемостей2.2.1.Общие уравненияРазработанная в настоящей главе методика расчёта поляризуемостей состоит из нескольких шагов.

Сначала, в пакете программ COMSOL Multiphysicsчисленно решалась задача рассеяния плоской электромагнитной волны на частице. Результатом работы программы являлось пространственное распределение поля в частице и в некоторой области вблизи неё. По пространственномураспределению рассеянного поля рассчитывались индуцированные в частицедипольные моменты.Численный расчёт и вычисление дипольных моментов производился дляшести различных направлений падения электромагнитной волны: в трёх случаях волновой вектор был сонаправлен с единичными векторами координатныхосей (~k ↑↑ e~x , ~k ↑↑ e~y , ~k ↑↑ e~z ), а в остальных трёх случаях волновой вектор былпротивонаправлен единичным векторам (~k ↑↓ e~x , ~k ↑↓ e~y , ~k ↑↓ e~z ). Полученные~ r) и H(~~ r) позволяли вышесть пар пространственных распределений полей E(~числить соответствующие электрические p~ и магнитные m~ дипольные моментыдля каждого случая и по ним определить все компоненты матрицы поляризуемости.Рассмотрим методику более подробно для случая рассеяния электромагнитной волны на субволновой частице, окружённой однородным диэлектриком.Запишем систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в проводящей среде:~∂B~,∇×E =−∂t~~ = J~f + ∂ D ,∇×H∂t~ = ρf ,∇·D~ = 0,∇·B(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)~ и H~ — векторы напряжённости электрического и магнитного поля, D~где E~ — векторы индукции электрического и магнитного поля, J~f — объёмнаяиBплотность тока свободных зарядов в среде, ρf — объёмная плотность свободныхзарядов в среде.

В случае диэлектрической частицы J~f и ρf равны нулю.33Решение системы уравнений Максвелла будем искать в виде гармонической электромагнитной волны:~ r,t) = E(~~ r) exp{+iωt},E(~~ r,t) = H(~~ r) exp{+iωt},H(~(2.5)(2.6)~ r) и H(~~ r) — комплексные амплитуды электрического и маггде векторы E(~нитного полей, ω — круговая частота, ~k — волновой вектор, ~r = {x,y,z} —радиус-вектор.Будем также считать, что материал частицы характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью ε̃ = ε0 − i · ε00 и единичной относительноймагнитной проницаемостью, т.е.

µ = 1. Тогда можно записать следующие материальные уравнения:~ = ε0 ε0 E,~D~~ = µ0 H,B~J~f = σ E,(2.7)(2.8)(2.9)где σ — проводимость среды.При рассеянии электромагнитной волны на границе двух сред могут возникнуть, в зависимости от материала частицы, поверхностные заряды и токи.Соответственно, необходимо записать следующие условия сшивания нормальных и тангенциальных компонент полей на границе (см. рис. 2.1):~ (2) − D~ (1) ) · ~n = η f ,(D~ (2) − B~ (1) ) · ~n = 0,(B(2.10)~ (2) − E~ (1) ) = 0,~n × (E~ (2) − H~ (1) ) = K,~~n × (H(2.12)(2.11)(2.13)~где η f — поверхностная плотность свободных зарядов на границе раздела, K— поверхностная плотность тока, ~n — единичный вектор нормали, направленный из частицы в окружающий её диэлектрик.

Верхний индекс (1) относится кполям в частице, индекс (2) — к полям в окружающем пространстве.34Рис. 2.1: К заданию граничных условий: частица из вещества 1 в среде из вещества 2.2.2.2.Электрический дипольный моментУчтём, что дипольный момент индуцируется не только свободными, но исвязанными зарядами. Как известно, поверхностная η b и объёмная ρb плотностизарядов связаны с вектором поляризации следующими соотношениями [89]:η b = P~ (1) · ~n,ρb = −∇ · P~ ,(2.14)(2.15)Распишем уравнение (2.3) через напряжённость поля и вектор поляризации:~ (1) + P~ (1) ) = ε0 ∇E~ + ∇P~ (1) = ε0 ∇E~ (1) − ρb = ρf ,~ (1) = ∇(ε0 E∇D(2.16)или~ (1) = ρ,ε 0 ∇E(2.17)где ρ = ρb + ρf — полная объёмная плотность зарядов в частице.Аналогично, получим выражения для полной плотности поверхностногозаряда.

Для этого распишем уравнение (2.10) через напряжённость поля и вектор поляризации:~ (2) − D~ (1) ) · ~n = (ε0 E~ (2) + P~ (2) − ε0 E~ (1) − P~ (1) ) · ~n =(D~ (2) − E~ (1) ) · ~n + (P~ (2) − P~ (1) ) · ~n = η f .= ε0 (EПеренося в правую часть член с поляризациями, и учитывая выражение(2.15), получим:bb~ (2) − E~ (1) ) = η f + ηparticleε0~n · (E− ηspace,(2.18)35bb—где ηparticle— поверхностная плотность связанных зарядов в частице, ηspaceплотность связанных зарядов на границе раздела со стороны вещества, окружающего частицу.Таким образом, на границе раздела полная поверхностная плотность заряда складывается из поверхностной плотности свободных зарядов η f , поверхbи поверхностной плотностной плотности связанных зарядов частицы ηparticlebности окружающего пространства ηspace, которые стремятся скомпенсироватьдруг друга:bbη = η f + ηparticle− ηspace.(2.19)С учётом этого запишем уравнение (2.18) в виде:~ (2) − E~ (1) ) = η.ε0~n · (E(2.20)Полный электрический дипольный момент частицы p~ складывается из момента, индуцированного зарядами внутри объёма частицы p~v , и момента, индуцированного поверхностными зарядами p~s .

Выражение для расчёта электрического дипольного момента p~ тела произвольной формы выглядит следующимобразом [89]:p~ = p~v + p~s =ZI~rρ(~r)dV +V~rη(~r)dS.(2.21)SПодставим в выражение (2.21) выражения для плотностей объёмных (2.17)и поверхностных (2.20) зарядов и запишем покомпонентно выражения для поверхностной и объёмной частей дипольного момента:pvi = ε0ZVpsiI(1)∂EjdVri∂rj(2)(2.22)(1)ri nj (Ej − Ej )dS,= ε0(2.23)SИндексы могут принимать три значения: x, y или z, соответствующие декартовым компонентам векторов.

При записи формул используется соглашениеЭйнштейна о суммировании, т.е. если одна и та же буква в обозначении индекса встречается дважды, то такой член полагается просуммированным по всемзначениям, которые может принимать этот индекс.362.2.3.Магнитный дипольный моментПолный магнитный дипольный момент частицы складывается из двух частей: момента, индуцированного токами свободных зарядов внутри объёма частицы и токами смещения, и момента, индуцированного поверхностными токами на границе двух сред. Соответствующее выражение имеет следующий вид:ZI11vs~ r)]dV +~ r))]dS,[~r × J(~[~r × K(~(2.24)m~ =m~ +m~ =2 V2 Sгде J~ — плотность полного объёмный ток в частице.

Полный ток состоит изтока свободных зарядов J~f и токов смещения J~d и может быть рассчитан спомощью следующего соотношения:~ (1)∂ε0 ε01 E(1)~~fd~~,J = J + J = σE +∂t(2.25)Подставляя выражение для электрического поля (2.5) в (2.25) и упрощая, получим выражение для плотности объёмного тока, и для удобства ещё раз запишемвыражение для плотности поверхностного тока:~ (1) = J,~iωε0 ε̃1 E~ (2) − H~ (1) ) = K.~~n × (H(2.26)(2.27)Запишем декартовы компоненты объёмной и поверхностной части магнитного дипольного момента, учитывая подстановку соотношений (2.26) и (2.27) всоотношение (2.24):(2.28)c0(2.29)2ωZ S— символ Леви-Чивиты, который определяется следующим обраmsi =где ijk и kabZiωεε̃01(1)mvi =[ijk rj Ek ]dV,2VI(2)(1)[ijk rj kab na Hb − ijk rj kab na Hb ]dS,зом:ijk+1, если (i,j,k) равно (x,y,z), (z,x,y) или (y,z,x);= −1, если (i,j,k) равно (x,z,y), (z,y,x) или (y,x,z); 0, если i = j или j = k или k = i;Как и ранее, используется соглашение Эйнштейна о суммировании.(2.30)372.2.4.Определение компонент матрицы поляризуемостиВыше было показано как зная распределение полей в объёмной частице иеё окрестности рассчитать индуцированные в ней под воздействием внешнегополя электрический и магнитный дипольные моменты.

Поскольку частица малая, т.е. выполняется условие (1.1), можно совершить переход от представлениярассеяния на объёмной частицы перейти к представлению рассеяния волны наточечной частице.Пусть плоская электромагнитная волна, определённая согласно формулам~ r) = E~ 0 = const, H(~~ r) = H~ 0 = const, распространяется в(2.5) и (2.6), где E(~положительном направлении вдоль оси z и рассеивается на точечной частице, расположенной в начале координат. Электрическое поле волны направленовдоль оси x, а магнитное поле — вдоль оси y. При этом |Ex0 | = 1 и |Hy0 | = 1/Z.Начальную фазу волны подбираем таким образом, чтобы векторы комплексных амплитуд электрического и магнитных полей в начале координат былидействительные:~ (2)+ |x=y=z=0 = {Ex0 , 0, 0},E~ (2)+ |x=y=z=0 = {0, Hy0 , 0},H(2.31)(2.32)Под воздействием внешнего поля с такой амплитудой в точечной частице будутиндуцироваться электрический и магнитный дипольные моменты с комплексными амплитудами p~+ = |p~+ | exp(iϕ+ ) и m~+ = |m~+ | exp(iϕ+ ), соответственно.mpФазыϕ+pиϕ+mхарактеризуют фазовый сдвиг колебаний дипольных моментовотносительно возбуждающего поля.Фазу волны, распространяющейся в обратном направлении, выбираем таким образом, чтобы направление вектора электрического поля было таким жекак и в случае падения прямой волны, а направление вектора магнитного полябыло противоположно случаю прямого падения, т.е.:~ (2)− |x=y=z=0 = {Ex0 , 0, 0},E~ (2)− |x=y=z=0 = {0, − Hy0 , 0},H(2.33)(2.34)При этом будут индуцированы дипольные моменты с комплексными амплитудами p~− = |p~− | exp(iϕ− ) и m~− = |m~− | exp(iϕ− ) отличающимися от амплитуд,pиндуцированных в случае прямого падения.m38Согласно формуле (1.13), компоненты дипольных моментов можно расписать следующим образом:eemp+x = αxx ε0 Ex0 + αxy ε0 ZHy0eemp+= αyxε0 Ex0 + αyyε0 ZHy0yp+ = αe ε0 Ex0 + αem ε0 ZHy0zzxzyme −1mm+x = αxx Z Ex0 + αxy Hy0mme −1m+y = αyx Z Ex0 + αyy Hy0m+ = αme Z −1 E + αm Hx0zxzzy y0eemp−x = αxx ε0 Ex0 − αxy ε0 ZHy0eemp−= αyxε0 Ex0 − αyyε0 ZHy0yp− = αe ε0 Ex0 − αem ε0 ZHy0zzxzyme −1mm−x = αxx Z Ex0 − αxy Hy0me −1mm−y = αyx Z Ex0 − αyy Hy0m− = αme Z −1 E − αm Hx0zzxzy y0.(2.35)Попарно складывая или вычитая соответствующие друг другу уравнениясистемы (2.35), получим выражения для вычисления 12 из 36 компонент матрицы поляризуемости:eαxx−p+1x + px·,=Ex02ε0emαxy−p+1x − px=·,ZHy0 2ε0eαyx−p+1y + py=·,Ex02ε0emαyy−p+1y − py=·,ZHy0 2ε0eαzx−p+1z + pz=·,Ex02ε0emαzy−p+1z − pz=·,ZHy0 2ε0meαxx−m+Zx + mx=· ,Ex02mαxy−m+Zx − mx=· ,ZHy02meαyx−m+Zy + my· ,=Ex02mαyy−m+Zy − my· ,=ZHy02meαzx−Zm+z + mz=· ,Ex02mαzy−Zm+z − mz=· .ZHy02(2.36)С помощью ещё двух парных расчётов для волн, распространяющихся в направлениях ±x и ±y, можно аналогично рассчитать оставшиеся 24 компонентыполяризуемости.39В общем виде для нахождения всех компонент матрицы поляризуемостиимеем следующие соотношения:eαij=−1p+i + pi·,Ej02ε0emαij=−p+1i − pi·,ZHj0 2ε0(2.37)meαij=m+im−i+Ej0·Z,2mαij=m+im−i−ZHj0·Z.2Из (2.37) видно, что магнитоэлектрические компоненты могут становитсяравными нулю, если у частицы имеются соответствующие плоскости симметрии.

Характеристики

Список файлов диссертации