Диссертация (1105278), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В-третьих, сама модель сосредоточенного контуране учитывает некоторых особенностей взаимодействия резонатора с полем.1.3.2.Матрица поляризуемостиВ рассмотренном выше подходе, расчёт характеристик метаматериала производился на основе величины индуцированных в П-образном резонаторе дипольных моментов, которые в свою очередь зависели от возникающих под воздействием внешнего поля токов в резонаторе.Рассмотрим частицу произвольной формы, помещённую во внешнее элек~ H,~ причём характерные размеры частицы l много меньшетромагнитное поле E,длины волны внешнего излучения λ, т.е. выполняется условие (1.1).25При рассеянии волны частица поляризуется: в ней происходит разделение зарядов и индуцируются токи. В дальней зоне рассеянное частицей полеможно представить как результат излучения двух когерентных электрическихи магнитных диполей с моментами p~ и m~ соответственно [89].

В общем случае,конечно, следует учитывать и мультиполи более высоких порядков. Однако, длямалых частиц основная часть рассеянной мощности (более 95%) электромагнитной волны приходится на дипольное излучение, и поэтому влиянием моментовболее высоких порядков можно пренебречь.Задача о рассеянии света малыми частицами исторически впервые быларассмотрена с целью объяснения цветов коллоидных растворов с металлическими частицами, цветов рубиновых стёкол и т.п. Аналитическое решение задачи рассеяния для частиц сферической геометрии было получено в 1908 годуГуставом Ми [9]. Вопросы рассеяния света на малых частицах нашли широкое отражение в литературе [90]. Позже теория Ми была обобщена на объектыцилиндрической и эллипсоидальной формы.

Для частиц более сложной геометрии, в частности, для П-образных резонаторов, аналитическое решение несуществует. Поэтому для решения задачи рассеяния таких частиц следует использовать численные методы, в том числе рассмотренные выше.В рамках линейной электродинамики связь между моментами и индуцирующими их полями описывается следующими уравнениями:~p~ = ε0 α̂e E,~m~ = α̂m H,(1.9)где коэффициенты пропорциональности α̂e и α̂m — тензоры электрической имагнитной поляризуемостей.Коэффициенты тензоров поляризуемости характеризуют способность частицы поляризоваться во внешнем электромагнитном поле. Они зависят толькоот материала частицы и её геометрической формы. Поскольку электрофизические свойства материала частицы, например диэлектрическая проницаемость,имеют дисперсию, то коэффициенты поляризуемости также зависят от длиныволны внешнего излучения.Сферическая частица характеризуется диагональными тензорами поляризуемости, и благодаря симметрии, частицы диагональные компоненты равныeeemmmмежду собой: αxx= αyy= αzzи αxx= αyy= αzz.

Подробная методика ана-26литического расчёта электрической и магнитной поляризуемости сферическихметаллических, диэлектрических и слоистых металл-диэлектрических частицприведена в работе [91].В общем случае, для частицы произвольной формы следует ожидать, следует ожидать проявления магнитоэлектрического эффекта (бианизотропии)[85, 88, 92], когда переменная напряжённость электрического поля способна наводить магнитный дипольный момент, а магнитная напряжённость, наоборот,вносит вклад в электрический дипольный момент:~p~ ∼ α̂em H,~m~ ∼ α̂me E,(1.10)где α̂em и α̂me — тензоры магнитоэлектрических поляризуемостей.Обобщая соотношения (1.9) и (1.10), уравнения связи между внешним полем и индуцированными дипольными моментами в системе СИ записываютсяследующим образом:~ + α̂em ε0 Z H,~p~ = α̂e ε0 E~ + α̂m H,~m~ = α̂me Z −1 Eгде Z =(1.11)(1.12)pµ0 /ε0 — волновое сопротивление вакуума.

Коэффициенты при по-лях и поляризуемостях выбраны так, чтобы размерность всех компонентов вразличных тензорах поляризуемости была [м3 ] в системе СИ.Расписывая уравнения (1.11) и (1.12) явно в матричной форме получимзависимость вектор-столбца дипольных моментов (~p/ε0 ; mZ)~от произведения~ HZ):~матрицы поляризуемости ||α̂|| и вектор-столбца внешних полей (E;px /ε0py /ε0 p /ε  z 0= mx Z  my Z mz Zeαxx e αyx αe zx meαxx meαyxmeαzxeαxyeαyyeαzymeαxymeαyymeαzyeαxzeαyzeαzzmeαxzmeαyzmeαzzemαxxemαyxemαzxmαxxmαyxmαzxemαxyemαyyemαzymαxymαyymαzyemαxzExem  αyzEyem  αzz   Ez .m αxzHZ x m αyz Hy Z mαzzHz Z(1.13)Матрица (тензор) поляризуемости в теории бианизотропных сред вводилсяранее [85, 92–94], однако электродинамический расчёт всех элементов матрицыполяризуемости до последнего времени отсутствовал.271.3.3.Расчёт свойств метаплёнок на основании поляризуемостей отдельных резонаторовРассмотрим метаплёнку, состоящую из периодически расположенных резонаторов, являющихся дипольным рассеивателями с известной матрицей поляризуемости.

Также выполняется условие (1.1). Тогда можно произвести переход от представления метаплёнки, как решётки резонаторов (точечных диполей), к представлению метаплёнки, как однородно поляризованной поверхности с эквивалентными плотностями поверхностных электрической и магнитнойполяризаций.

Для такой гомогенизированной метаплёнки можно использоватьграничные условия, полученные в работе [11] на основе соотношений из [95].В работе [12] на основании этих граничных условий проведён вывод аналитический соотношений для энергетических коэффициентов прохождения T иотражения R метаплёнки, составленной из частиц, обладающих диагональнойматрицей поляризуемостью. При этом поверхностные плотности поляризуемости α̂ES , α̂M S являются некоторыми функциями поляризуемостей отдельныхрезонаторов α̂e , α̂m , и периода их расположения p.Коэффициенты прохождения T и отражения R рассчитываются по следующим соотношениям для TE-поляризации падающего поля:2 xx yy2zz1 − k20 αMS (αES − αM S sin θ),T =2 xx yyzz sin2 θ) + j k0 (αyy − αxx cos2 θ − αzz sin2 θ)1 + k20 αM(α−αSESESMSMSMS2 cos θyyk02xx2zz−j 2 cosθ (αES + αM S cos θ − αM S sin θ)R=1+yyk0 2 xxαM S (αES2−zzαMS2sin θ) +yyk0j 2 cosθ (αES−xxαMScos2 θ−zzαMS2,sin θ)(1.14)и по соотношениям для TM-поляризации:2 xx yyzz1 − k20 αES(αM S − αESsin2 θ)T =,2 xx yyzz sin2 θ) + j k0 (αyy − αxx cos2 θ − αzz sin2 θ)1 + k20 αES(αM S − αESMSESES2 cos θyyk02xx2zz−j 2 cosθ (αM S + αES cos θ − αES sin θ)R=1+yyk0 2 xxαES (αMS2−zzαES2sin θ) +yyk0j 2 cosθ (αM S−xxαEScos2 θ−zzαES2,sin θ)(1.15)iiiiи αMгде k0 — волновое число, αESS — компоненты матрицы поверхностнойплотности поляризуемости.

Как видно, соотношения (1.14) и (1.15) содержаттолько диагональные компоненты, и как следствие пригодны только для метап-28лёнок составленных из частиц с соответствующими матрицами поляризуемости.Для бианизотропных частиц их применение некорректно. Представленная методика довольна универсальна, однако авторы в своих последующих работахпо теме [96, 97] не предложили её расширение на случай произвольных частиц,а исследовали обратную задачу.1.4.Ограничения, налагаемые на поляризуемости частицВ заключение литературного обзора приведём ряд ограничений и усло-вий, которые налагаются общими законами электродинамики на коэффициенты матрицы поляризуемости субволновой частицы.Прежде всего, это соотношения Казимира-Онсагера [85,88,92,93], которыеопределяются из условий симметрии уравнений Максвелла при операции обращения времени. Эти соотношения можно вывести на основе флуктуационнодиссипационной теоремы [98].

Соотношения Казимира-Онсагера накладываютследующие условия на электрические и магнитные компоненты поляризуемости, а также на магнитоэлектрические компоненты:eeαij= αji,mmαij= αji,emmeαij= −αji.(1.16)Иными словами, при транспонировании матрицы электрической и магнитной поляризуемости должны переходить сами в себя. Пара матриц магнитоэлектрической поляризуемости при транспонировании и замене знака должныпереходить друг в друга.Следующее условие, оптическая теорема [93, 94], обусловлено законом сохранения энергии при взаимодействии частицы с внешним электромагнитнымполем. Если потери поля в частице отсутствуют (или пренебрежимо малы), тосечение экстинкции частицы должно быть равно её сечению рассеяния, т.е.

всямощность забираемая из волны рассеивается. Для скалярной поляризуемостисоответствующее условие, условие Сайпа-Кранендонка [99] , выглядит следующим образом:2(1.17)Imα = k 3 |α|2 ,3где k — волновое число падающей волны. Обобщение этого условия на случайдинамической матрицы поляризуемости kαk было получено в [94]. Соответству-29ющие соотношения записываются следующим образом [93]:i 21 h†kαk − kαk = k 3 kαk† kαk ,2i3(1.18)где символ † обозначает эрмитово сопряжение, кроме того для матрицы kαkдолжна существовать обратная матрица. Члены слева от знака равенства вуравнениях (1.17) и (1.18) определяются экстинкцией, члены справа — рассеянием.Кроме того, поскольку в общем случае значения компонент поляризуемости — комплексные числа, то на их реальные и мнимые части также накладываются ограничения, связанные с выполнением соотношений КрамерсаКронига [100, 101]:Z ∞Ωα00 (Ω)2dΩ,α (ω) = P22π0 ZΩ − ω(1.19)∞0α(Ω)2ωα00 (ω) = − PdΩ,22π0 Ω −ωгде α0 (ω) — реальная часть комплексной поляризуемости, α00 (ω) — мнимая часть0комплексной поляризуемости, а символ P означает интегрирование в смыслеглавного значения Коши.

Выполнение соотношений Крамерса-Кронига означает, что выполняется принцип причинности.1.5.ВыводыЗнакомство с литературой демонстрирует большое количество областейприменения метаматериалов и активность научного сообщества в области ихисследования. Вместе с тем некоторые вопросы не получили достаточного освещения или не исследованы должным образом.Можно отметить широкое использование численных методов для определения характеристик метаматериалов. Однако много меньшее внимание уделено исследованию свойств одиночных резонаторов.

Характеристики

Список файлов диссертации