Диссертация (1105126), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Для вычисления пространственных производных H  применялся операторразностного дифференцирования назад (upwind-biased differencing) [206]:r  H  ( x,y, z, (  1/ 2)t )    H (,,1/,2)  1/   am H (,1m/ 2) , m , m  .(3.2.4)m  lЗдесь  и  принимают значения x , y , z . Индексы  ,  ,  и  ‒ определяют номеррасчетной ячейки в пространстве переменных xyzt ,  ‒ шаг по оси  , t шаг повремени.

Для вычисления пространственных производных E  применялся операторразностного дифференцирования вперед (downwind-biased differencing) [206]:  E x,y, z, t     E(, ) , ,   1 / lam rmE(, )  m  ,  m ,   m  .(3.2.5)Коэффициенты am в (3.2.4) и (3.2.5) соответственно должны удовлетворять системеrуравнений:aml 0,mr mam lm 1 , …,rm anmlm 0 , где n  2,3,..., l  r . Для схемы третьегопорядка аппроксимации по пространственным координатам получим следующиеразностные аналоги уравнений Максвелла (3.2.1), (3.2.2):H x(,,1 /, 2)  H x(,,1 /, 2)cta2 E y(,), ,   2  a1 E y(,), ,  1  a0 E y(,), ,   a1 E y(,), ,  1H y(,,1 /, 2)  H y(,,1 /,2)ctctctctzy,xy,(3.2.8),a2 H y(,,1 /, 2)2  a1 H y(,,1 /, 2)1  a0 H y(,,1 /, 2)  a1 H y(,,1 /, 2)1z( 1 / 2 )( 1 / 2 )( 1 / 2 )a2 H x , , ,  2  a1 H x , , ,  1  a0 H x , , ,   a1 H x(,,1 /, 2)1(3.2.7)a2 E y(,) 2, ,   a1 E y(,)1, ,   a0 E y(,), ,   a1 E y(,)1, , a2 H z(,,1 /22),   a1 H z(,,1 /21,)  a0 H z(,,1 /, 2)  a1 H z(,,1 /21,)D y(,,1),   D y(,), , xa2 E x(,), ,   2  a1 E x(,), ,  1  a0 E x(,), ,   a1 E x(,), ,  1a2 E x(,),  2,   a1 E x(,), 1,   a0 E x(,), ,   a1 E x(,), 1, Dx(,,1),   Dx(,), , y(3.2.6)a2 E z(,) 2, ,   a1 E z(,)1, ,   a0 E z(,), ,   a1 E z(,)1, , H z(,,1 /, 2)  H z(,,1 /, 2)a2 E z(,),  2, z a1 E z(,), 1,   a0 E z(,), ,   a1 E z(,), 1, za2 H z(,12/,2),   a1 H z(,11/,2,)  a0 H z(,,1 /, 2)  a1 H z(,11/,2,)x(3.2.9),(3.2.10),89Dz(,,1),   Dz(,), , cta2 H y(,12/ ,2),   a1 H y(,11/,2),   a0 H y(,,1 /, 2)  a1 H y(,11/,2), xa2 H x(,,1 /22),   a1 H x(,,1 /21),   a0 H x(,,1 /, 2)  a1 H x(,,1 /21), (3.2.11).yВ (3.2.6) ‒ (3.2.11) a2  1 / 6 , a1  1 , a0  1 / 2 , a1  1 / 3 .

Для аппроксимации производнойпо времени использовалась центральная разность.Для анализа ошибок, связанных с численной дисперсией, диссипацией ианизотропиейиспользуемойразностнойсхемы,представимрешениеуравненийМаксвелла на сетке в виде плоской монохроматической волны:Ex, y , z (x,y, z, t )  Ex(0, y), z exp[i(k x x  k yy  k z z  t )] ,(3.2.12)H x, y , z (x,y, z, t )  H x(0, y), z exp[i(k x x  k yy  k z z  t )] .(3.2.13),Здесь  -частота, k x , y , z - декартовы компоненты волнового вектора k . Подставляя (3.2.12),(3.2.13) в (3.2.6) ‒ (3.2.11), получаем систему шести линейных уравнений: R 0 0 0Gz G y0R000Qz Qz00R QyQxGz GyR00Gx0R Gx000( 0)Qy   E x   0( 0) Qx   E y   0 0   E z( 0)   00   H x( 0 )   0 0   H ( 0 )   0 y R   ( 0 )   0Hz  ,(3.2.14)где Q  exp(ik   )  exp(ik   )  [exp(2ik   )  6 exp(ik   )  3  2 exp(k  )] /(6 ) ,G  exp(ik   )  exp(ik   )  [exp(2ik   )  6 exp(ik   )  3  2 exp(ik   )] /(6 ) ,аR  c 1 exp(it )t exp(it )  (2i / ct ) sin(t / 2) ‒ оператор центрального разностногодифференцирования.

Дисперсионное соотношение находим из условия существования еенетривиального решения (равенства нулю определителя, составленного из коэффициентовпри E x( 0, y), z и H x( 0, y), z в (3.2.14)):sin 2 (t / 2) /(сt / 2) 2  F (k x , x)  F (k y , y)  F (k z , z) .(3.2.15)В (3.2.15)F (k ,  )  [25  2 cos(3k  )  18 cos(k  )  9 cos(2k  )] /[18( ) 2 ](3.2.16)Разлагая (3.2.15) в ряд, получаем связывающее  и k соотношение:  ck[1  c 2 t 2 k 2 / 24  (x 4 k x6  y 4 k y6  z 4 k z6 ) / 30k 2 o(t 2  x 4  y 4  z 4 )].(3.2.17)90Из (3.2.15) ‒ (3.2.17) следует, что используемая нами разностная схема не обладаетчисленной диссипацией (  является действительной функцией k ). Второе и третьеслагаемые в правой части (3.2.17) соответственно возникают из-за погрешностейаппроксимации производных по времени и по пространственным координатам вуравнениях (3.2.1), (3.2.2). Их появление приводит к эффекту сеточной дисперсии(зависимости фазовой скорости фурье-компоненты поля (3.2.12), (3.2.13) от частоты).Подчеркнем, что третье слагаемое в правой части (3.2.17) зависит не только от модуля, нои от направления волнового вектора, что приводит к возникновению сеточнойанизотропии.

Разные знаки перед вторым и третьим слагаемыми частично компенсируютошибки, связанные с погрешностями аппроксимации временных и пространственныхпроизводных.Анализ устойчивости используемой разностной схемы проведем по Фон-Нейману[208]. Для этого преобразуем (3.2.6) ‒ (3.2.11) к виду 1 6 10 0  13  142711130 44059 5 90100038121415010 150001 E x( n, ) , ,    E x( n, ,1),    ( n 1)  E (n)E  y ,  , ,    y ,  , ,    E z( ,n) , ,    E z( ,n,1),  .  H x( n, ,1/,2)   H x( n, ,1/,2)   ( n 1/ 2 )   ( n 1/ 2 )   H y ,  , ,    H y ,  , ,    H ( n 1/ 2 )   H ( n 1/ 2 )  z ,  , ,    z ,  , ,  (3.2.18)Пятнадцать из тридцати шести элементов матрицы перехода Tˆ на новый временной слойзадаютсяформулами:1  1  (c 2 t 2 /  )(G y Qy  Gz Qz ) ,3  (c 2 t 2 /  )Gz Qx ,  4  (ct /  )Gz , 7  1  (c 2 t 2 /  )(Gx Qx  Gz Qz ) , 5  (ct /  )Gy ,8  (c 2 t 2 /  )Gz Qy , 2  (c 2 t 2 /  )G y Qx , 6  (c 2 t 2 /  )Gx Qy ,9  (ct /  )Gx ,10  (c 2 t 2 /  )Gx Qz , 11  (c 2 t 2 /  )G y Qz , 12  1  (c 2 t 2 /  )(Gx Qx  Gy Qy ) , 13  ctQz ,14  ctQ y , 15  ctQx .Необходимым условием устойчивости схемы является нахождение (расположение) всехкорней  характеристического полинома:(  1) 2 2  {(c 2 t 2 /  )[Gx Qx  G y Qy  Gz Qz ]  2}  1  0,2(3.2.19)определяемого из условия det(T  Iˆ)  0 , внутри окружности единичного радиуса накомплексной плоскости.

В последней формуле Iˆ ‒ единичная матрица. Используя явныйвид разностных операторов   и   (дифференцирования вперед и назад), получаемусловие устойчивости схемы в следующем виде:91(c 2 t 2 /  )[ F (k x , x)  F (k y , y)  F (k z , z)]  4.(3.2.20)Последнее неравенство должно выполняться для любых значений волнового вектора. Таккак max{( 25  2 cos 3x 18 cos x  9 cos 2 x ) / 18}  9 / 4 , то из (3.2.20) окончательно получаемусловие на величину максимального шага по времени, при котором используемая схемаостается устойчивой: t  (4 1/ 2 / 3c) /[( x) 2  (y) 2  (z) 2 ]1/ 2 .Учет нелинейности в материальных уравнениях приводит к необходимостирешения системы~Fi ( E x , E y , E z )   1 Ei  3a1 Ei  E 2j  Di  0(3.2.21)jв каждой расчетной ячейке, принадлежащей спирали метаматериала, где Di - векториндукции электрического поля, найденный из (3.2.9) – (3.2.11).

Для решения системы(3.2.21) мы использовали итерационный метод Ньютоновского типа, сводящийся кпоследовательному нахождению решения (3.2.21) при помощи следующей рекурсивнойпроцедуры~Eik 1  Eik  J ij1 Exk , E yk , Ezk  Fj ( Exk , E yk , Ezk )(3.2.22)~Fi  ij ( 1  3a1  El2 )  6a1 Ei E j .где J ij E x , E y , E z  E jl§ 3.3. Особенности взаимодействия сверхкоротких эллиптически поляризованныхимпульсов с метаматериалом, состоящим из периодически расположенных в видедвумерной решетки трехмерных спиралейРассмотрим взаимодействие эллиптически поляризованного импульса гауссовойформы, напряженность электрического поля которого задается формулами (2.3.31), сметаматериалом, схематически изображенным на рис.

3.2.1. Аналогично [44] будемсчитать, что период трансляции его структурного элемента (lattice constant) равен 1.3 мкм ,шаг спирали (pitch) – 1.3 мкм , диаметр винтовой линии (spiral diameter) – 0.79 мкм ,поперечный диаметр витка (lateral diameter of the spiral arms) – 0.38 мкм , продольныйдиаметр витка (axis diameter of the spiral arms) – 0.83 мкм , а материал имеетдиэлектрическую проницаемость   2.47. Падающий импульс (2.3.31) однородноэллиптически поляризован (степень эллиптичности эллипса поляризации M 0 ), имеетцентральную частоту спектра  , полуширину w0 и длину волны  , а в точке z  z0достигается максимальное (равноеP ) значение его безразмерной интенсивности92I ( z )  [ Ex2 ( z )  E y2 ( z )] / I 0 .

Характеристики

Список файлов диссертации