Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем (1104481), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Важным его свойством, используемым в дальнейшем,является следующее представление в виде оператора бесконечно малогоповорота. Рассмотрим вращение в плоскости xi xj на угол φ. Оно действуетна векторы как умножение на известную ортогональную матрицу поворотаRij (φ). Действие этого вращения на функции f (~x) определяется как:−1(φ)~x .Rij (φ)f (~x) = f RijТогда оператор mij – генератор этого вращения функций:d−1mij f (~x) = −f Rij(φ)~x .dφφ=0В уравнениях для момента (1.7) мы удерживаем только члены 1-го порядка по ε, т.е. рассматриваем 1-й порядок теории возмущений. Кроме того,для краткости далее мы предполагаем единицы измерения выбраннымитаким образом, что главная часть множителя Лагражна (1.3) λ0 = −1 (соответствует единичной скорости ~x˙ 2 = 1, т.е.
натуральной параметризациигеодезической). С учетом этого уравнения для углового момента (1.7), сиспользованием введенного обозначения оператора (1.8), записываются ввиде:l˙ij = −ε mij ψ(~x),(1.9)Итак, мы получили уравнения (1.9), описывающие динамику компонентуглового момента (1.4) частицы при ее движении по геодезической.191.5Усреднение уравнений для моментаПоскольку правые части уравнений (1.9) для компонент углового момента lij пропорциональны малому параметру ε, то движение большого круга является медленным по сравнению с движением частицы вдоль виткагеодезической. Иными словами, lij – медленные переменные.
Для невозмущенного случая стандартной сферы они являются интегралами движения.Поэтому мы можем применить стандартный метод усреднения, [18]. Правые части уравнений (1.9) содержат медленно меняющиеся компоненты,зависящие от положения текущего большого круга, приближающего данный виток геодезической, и быстрые осциллирующие члены, зависящие отположения частицы на витке. Принцип усреднения утверждает, что крупномасштабные изменения решения зависят только от медленных компонент,а быстро осциллирующие слагаемые приводят к малым колебаниям решения около кривой, определяемой медленной частью.
Таким образом, дляопределения крупномасштабных изменений мы можем рассмотреть уравнения для момента (1.9) без осциллирующей части. Для этого необходимоусреднить их по периоду точного решения невозмущенной системы – равномерного движения по большому кругу:~xˆl (t) = cos t ~e1 (ˆl) + sin t ~e2 (ˆl),(1.10)где ˆl – это данная (постоянная) матрица углового момента, ~e1 (ˆl), ~e2 (ˆl) –векторы, образующие ортонормированный базис в двумерной плоскости, вкоторой происходит движение с данным угловым моментом (конкретныйвыбор векторов ~e1 (ˆl), ~e2 (ˆl) не влияет на результат усреднения).Формула (1.10) определяет равномерное движение по большому кругу,аппроксимирующему текущий виток геодезической спирали. Среднее значение функции f (~x) по периоду этого решения выражается формулой:Z 2π1(1.11)f (~xˆl (t)) dt.hf (~x)i~x (t) =l̂2π 020Результат усреднения зависит только от матрицы углового момента ˆl. Темсамым усреднение уравнений (1.9) дает замкнутую систему уравнений длякомпонент углового момента lij :l˙ij = −ε hmij ψ(~x)i~x ,l̂(1.12)где ψ(~x) – функция, определяющая деформацию сферы, (1.1), mij – оператор, определенный в (1.8), известный как оператор углового момента вквантовой механике.
Напомним, что величины lij являются плюккеровымикоординатами двумерной плоскости большого круга, аппроксимирующеготекущий виток геодезической спирали. Поэтому фактически система (1.12)задана на многообразии Грассмана G(2, n).1.6Формулировка редукции в терминах интегральной геометрииВажное наблюдение состоит в том, что использованная процедура усреднения (1.11) имеет связь с преобразованиями, рассматриваемыми в интегральной геометрии, [14], [15]. Именно, оно эквивалентно так называемомулучевому преобразованию J, сопоставляющему функции f (~x) на стандартной сфере ее интегралы по всевозможным большим кругам.
Функция-образJf лучевого преобразования определена на множестве больших кругов,или, эквивалентно, на множестве содержащих их двумерных плоскостей,проходящих через центр сферы, т.е. на многообразии Грассмана G(2, n).Итак, лучевое преобразование задается формулой:Z 2πf (cos t ~e1 (p̂) + sin t ~e2 (p̂)) dt.(Jf )(p̂) =(1.13)0Здесь p̂ – матрица плюккеровых координат двумерной плоскости;~e1 (p̂), ~e2 (p̂) – ортонормированный базис в этой плоскости. Рис. 1.1 иллюстрирует случай n = 3, т.е.
случай двумерной сферы, в котором лучевоепреобразование носит название преобразования Функа-Минковского, см.21gHxÓ LLÙ g ds = HF gL HLLe2e1Рис. 1.1: Преобразование Функа-Минковского функции g(~x) на единичной сфере, взятое в точке~ – это интеграл от g по большому кругу, перпендикулярному к L.~L,[14].Из сравнения формул (1.13) и (1.10), (1.11) получаем следующее утверждение.Лемма 1. Усреднение (1.11) по геодезической на невозмущенной сфере выражается через лучевое преобразование по формуле:hf (~x)i~x (t) =l̂1(Jf )(ˆl).2πОтсюда получаем следующий результат.Теорема 2. Усредненная система (1.12) для углового момента можетбыть записана в виде:εl˙ij = −(J ◦ mij ψ) (ˆl),2π(1.14)Здесь ψ(~x) – функция, определяющая деформацию сферы, (1.1); mij – оператор, определенный в (1.8) (оператор углового момента в квантовой механике); J – лучевое преобразование, определенное в (1.13).22Полученные уравнения (1.14) описывают усредненную динамику углового момента частицы, движущейся по геодезической.
При этом компонентымомента lij являются плюккеровыми координатами двумерной плоскоститекущего большого круга, и, соответственно, система (1.14) задана на многообразии Грассмана G(2, n). Тем самым осуществлена асимптотическаяредукция исходной системы для геодезических с фазовой размерностью2n−2 к усредненной системе уравнений для момента, определенной на грассманиане G(2, n) и имеющей фазовую размерность 2n − 4.
Важный фактсостоит в том, что редуцированная система имеет гамильтонову структуру,которая обсуждается в следующем разделе.1.7Гамильтонова структура редуцированной системы для углового моментаГамильтонова формулировка усредненных уравнений для углового момента (1.14) требует задания скобок Пуассона между динамическими переменными lij и указания гамильтониана.Скобки Пуассона для углового момента определяются алгеброй Ли so(n)и имеют вид:{lij , lpq } = δip ljq + δjp lqi + δiq lpj + δjq lip .(1.15)Теорема 3.
Усредненная система (1.14) для углового момента являетсягамильтоновой со скобками Пуассона (1.15) и гамильтонианом:εH(ˆl) =Jψ,2π(1.16)который получается применением лучевого преобразования J, (1.13), кфункции ψ(~x), определяющей деформацию сферы, (1.1).Доказательство. Скобки Пуассона (1.15) обладают следующим свойством.Вид скобок (1.15) совпадает с коммутатором в алгебре Ли so(n) базисных кососимметрических матриц Eij , определяемых формулой (Eij )ab =23−δia δjb + δib δja .
Именно, их коммутатор имеет вид:[Eij , Epq ] = δip Ejq + δjp Eqi + δiq Epj + δjq Eip .(1.17)Он может быть выражен через структурные константы Cij,pq,ab алгебры Лиso(n):[Eij , Epq ] = Cij,pq,ab Eab ,которые имеют вид:Cij,pq,ab =12[δip (δaj δbq − δaq δbj ) + δjp (δaq δbi − δai δbq ) ++δiq (δap δbj − δaj δbp ) + δjq (δai δbp − δap δbi )].Прямым вычислением нетрудно проверить следующий факт, который будетиспользован в дальнейшем.Лемма 2.
Структурные константы алгебры Ли so(n) удовлетворяютсоотношению:Cab,pq,ij = −Cij,pq,ab .Кроме того, имеет место следующее основное коммутационное соотношение для лучевого преобразования.Лемма 3. Справедливо операторное тождество:J ◦ mij = cij ◦ J,(1.18)где J – лучевое преобразование, определенное в (1.13), mij – оператор, определенный в (1.8), cij – оператор, действующий на функцию от угловогомомента f (ˆl) как взятие ее скобки Пуассона с lij :onˆˆcij f (l) = f (l), lij .Для вывода соотношения (1.18) используем следующее свойство, опреде24ляющее действие вращений на образ лучевого преобразования. Подставляяв определение лучевого преобразования (1.13) вместо f (~x) функцию, полу−1ченную из нее вращением f Rij(φ)~x , получаем:Jf−1Rij(φ)~x(ˆl) =Z02πf−1Rij(φ)ˆˆcos t ~e1 (l) + sin t ~e2 (l)dt.
(1.19)Если C – большой круг с плюккеровыми координатами ˆl, то правая часть(1.19) – это интеграл функции f (~x) по повернутому кругу C 0 , полученному−1из C применением вращения Rij(φ). Под действием этого вращения мат-рица плюккеровых координат сопрягается с помощью матрицы вращенияRij (φ). Действительно, прямое вычисление координат круга C 0 дает (длякраткости Rij (φ) обозначено за R):ˆl0 = x0 p0T − p0 x0T = R−1 x(R−1 p)T − R−1 p(R−1 x)T == R−1 (xpT − pxT )R = R−1 ˆl R.Итак, мы получили следующее утверждение.Лемма 4. Значение лучевого преобразования J от повернутой функцииRij (φ)f на большом круге с матрицей координат ˆl равно значению преобразования от исходной функции f на круге с сопряженной матрицейкоординат R−1 (φ) ˆl Rij (φ):ij−1((J ◦ Rij (φ)) f ) (ˆl) = (Jf )(Rij(φ) ˆl Rij (φ)).(1.20)Применяя к (1.20) производную по φ в точке φ = 0, получаем, пользуясьлеммой 2:d((J ◦ mij ) f ) (ˆl) = −((J ◦ Rij (φ)) f ) (ˆl)=dφφ=0 d1d∂(Jf)−1−1==−=−(Jf ) Rij(φ) ˆl Rij (φ) Rij(φ) ˆl Rij (φ) abdφ2∂ldφabφ=0φ=025=1 ∂(Jf )2 ∂lab== !id1 ∂(Jf ) hˆdˆˆ=l, Eijl−lRij (φ)Rij (φ)=−abdφdφ2 ∂labφ=0φ=0ab1 ∂(Jf )1 ∂(Jf )lpq [Epq , Eij ]ab =lpq (Cpq,ij,rs Ers )ab =4 ∂lab4 ∂lab1 ∂(Jf )1 ∂(Jf )lpq Cpq,ij,rs (−δra δsb + δrb δsa ) =lpq (−Cpq,ij,ab + Cpq,ij,ba ) =4 ∂lab4 ∂lab=−1 ∂(Jf )1 ∂(Jf )1 ∂(Jf )lpq Cpq,ij,ab =Cab,ij,pq lpq ={lab , lij } = {Jf, lij } .2 ∂lab2 ∂lab2 ∂labИтак, мы получили основное коммутационное соотношение (1.18), лемма3 доказана.Теперь мы применяем соотношение (1.18) для преобразования правойчасти усредненных уравнений (1.14) для момента и получаем, что она выражается в виде скобки Пуассона:l˙ij = {lij , H(ˆl)},(1.21)где гамильтониан есть лучевое преобразование от функции деформации:εH(ˆl) =Jψ.2π(1.22)Теорема 3 доказана.1.8Ограничение системы на многообразие Грассмана G(2, n) какна пуассоново подмногообразие so(n)Пространство so(n) всех кососимметрических матриц lij имеет размерность n(n − 1)/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
