Диссертация (1104316), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ort(ort ) = π2 /(1 + π2 ort ); |err2 | = 2.8%; max(|err2 |) < 5%.Как видно, отличие коэффициента от π2 = 9.87 составляет 6%, а погрешность аппроксимации не превышает 5% (даже при ort ≫ 1). Таким образом,для любого значения безразмерного коэффициента поглощения ort можно использовать следующее соотношение:optortπ2=.1 + π2 ort(2.35)При нарушении условия брэгговского синхронизма (η ̸= 0) интенсивность1 электромагнитного излучения в первом порядке дифракции уменьшается.51optи модуля погрешностиРисунок 2.4 — Зависимость оптимальной длины ortаппроксимации |err| от коэффициента поглощения ortРисунок 2.5 — Зависимость интенсивности 1opt и модуля погрешностиаппроксимации |err| от коэффициента поглощения ort52Как известно, в прозрачной среде зависимость 1 от η имеет вид функции sinc2 = (sin /)2 [1].
Можно показать, что при наличии поглощения электромагнитного излучения, аналитическое решение системы (2.28) записывается следующим образом:[︃ √︀]︃2ort (1 + ort ort )ortsinc2exp(−ort ort ).(2.36)1 =42Практический интерес представляет собой полуширина ∆ort кривой1 (ort ) по уровню 1/2 от максимального значения, соответствующего заданному ort . Поскольку 1 (ort , ort ) не зависит от знака безразмерной расстройкиort , то величина ∆ort рассчитывалась по ширине кривой при положительных значениях параметра ort . Нетрудно убедиться, что множители ort /4 иexp(−ort ort ) в выражении (2.36) для интенсивности 1 не влияют на величину∆ort , а зависимость 1 (ort , ort ) имеет вид, приведённый на рисунке 2.6.Поскольку определить соотношение между полосой ∆ort и безразмерной длиной ort аналитически не получается, а в двойном логарифмическоммасштабе график имеет вид прямой с коэффициентом наклона близким к −1(см.
рисунок 2.7), то был использован МНК в виде обратной зависимости∆ort (ort ) = π2 /ort .Расчёт позволил определить значение коэффициента = 0.28080±0.00010,а также установить, что в этом случае при ort < 1 относительная погрешностьвеличины ∆ort не превышает 0.2%. Таким образом, полоса АО дифракции приквазиортогональной геометрии взаимодействия может быть рассчитана по известной формуле [4]:∆ort =0.28π2,ort∆ηort =которую обычно записывают в виде ∆ηort = 0.9π/.0.28π2,(2.37)53Рисунок 2.6 — Зависимость интенсивности 1 от расстройки ort и длины АОвзаимодействия ort в прозрачной средеРисунок 2.7 — Аппроксимация зависимости полосы ∆ort от длины АОвзаимодействия ort542.2.2 Прямая коллинеарная дифракция на акустической волнепостоянной амплитудыДругим приближением, позволяющим свести двумерные уравнения (2.26)к одномерным, является коллинеарная геометрия акустооптического взаимодействия, когда волновой вектор акустической волны параллелен волновым векторам дифрагированных электромагнитных волн.
В данном разделе проведёнырезультаты анализа прямой коллинеарной АО дифракции, когда падающий назвуковую решётку и дифрагированные пучки электромагнитного излучение распространяются в одном направлении. На рисунке 2.8 схематично изображён ходлучей в области АО взаимодействия и векторные диаграммы при дифракции в+1 и -1 порядок.а)б)г)в)Рисунок 2.8 — Квазиколлинеарная АО дифракция в режиме, когда волновыевектора звука и падающего излучения: а),б) сонаправлены и в),г)противоположно направленыЕсли можно пренебречь затуханием акустической волны и сдвигом частоты электромагнитной волны в ±1 порядках, то в этом случае уравнения в размерных переменных и граничные условия будут теми же, что и для квазиор55тогональной геометрии (2.28). Однако следует отметить, что в коллинеарномрежиме при заданной мощности акустической волны коэффициент связи независит от длины АО взаимодействия и является постоянной величиной. Поэтому удобно использовать следующие безразмерные переменные: = α/, = , = η/.(2.38)Выражение 2.29 для интенсивности 1 в первом порядке АО дифракциипри брэгговском синхронизме = 0 в новых переменных имеет вид:(︂ )︂.(2.39)1 = exp(− ) sin22В следствие поглощения излучения можно ожидать, что при коллинеарнойгеометрии будет существовать некоторое оптимальное значение opt безразмерной длины АО взаимодействия.
При малой эффективности АО взаимодействия(1 ≪ 1) оно выражается через безразмерный коэффициент поглощения : opt =2,opt =2.α(2.40)Подставляя полученный результат в (2.39), можно определить максимально достижимую интенсивность электромагнитного поля в первом дифракционном порядке:1opt =1 1,2 2 ≫ 1.(2.41)Численный расчёт показывает, что погрешность вычисления 1opt и opt поформулам (2.41) и (2.40) одинаковая и составляет 8% при = 2 и монотонноуменьшается до 1% при = 6.
При 6 1 не удаётся получить аналитическуюзависимость 1opt (). Поэтому, как и в предыдущем разделе, указанная зависимость была определена численно, а её график приведён на рисунке 2.10. Аппроксимация функцией 1opt = 1/(1 + 2 2 ), дала большую ошибку max(|err|) = 21%.Установлено, что простейшее выражение для 1opt (), удовлетворяющее асимптотике при = 0 и ≫ 1 и характеризующееся погрешностью max(|err1 |) =0.9% (см. рисунок 2.10), имеет вид:1opt = (1 + )/(1 + + 2 + 2 3 ),где = 4.162 ± 0.003 и = 6.726 ± 0.009.(2.42)56Результат аппроксимации численно рассчитанной зависимости opt () наинтервале 0 < < 10 дробно-рациональной функций opt = (π+π)/(1+ +0.5π 2 ) приведен на рисунке 2.9.
При выборе функции учитывалась асимптотика при = 0 и ≫ 1. Анализ показал, что более простая из приведённыхфункции имеет очень большую погрешность и потому непригодна:1) opt = (π + π)/(1 + + 0.5π 2 ), где = 1.440 ± 0.003; max(|err1 |)= 0.6%.2) opt = π/(1 + 0.5π), где max |err2 | = 22%.Как следует из полученных результатов, в режиме коллинеарной АО дифракции, в отличие от квазиортогональной, не удаётся получить аналитическихвыражений, описывающих с высокой точностью АО взаимодействие и при малых и при больших значениях коэффициента поглощения электромагнитногоизлучения. В данном случае остаётся свобода выбора того или иного выражения, в зависимости от требуемой точности и наглядности представления рассматриваемого эффекта.При нарушении условия брэгговского синхронизма ( ̸= 0) интенсивностьдифрагированного излучения 1 определяется следующим соотношением :(︃ √)︃21+2sinc2exp(− ).(2.43)1 =42Из (2.43) следует, что наличие поглощения электромагнитной волны в среде не влияет на величину полосы ∆ (как и при квазиортогональной АО дифракции).
Данный факт подтверждается и численным расчётом, позволяя записать:0.28π2∆ =,0.28π2∆η =.(2.44)57Рисунок 2.9 — Зависимость оптимальной безразмерной длины АОвзаимодействия opt и модуля ошибки её аппроксимации от параметра Рисунок 2.10 — Зависимость максимально достижимой интенсивности 1opt имодуля ошибки её аппроксимации от параметра 582.2.3 Прямая коллинеарная дифракция на затухающейакустической волнеВ оптически изотропных средах, таких как кубические кристаллы, возможна реализация только высокочастотного коллинеарного АО взаимодействия.
Поэтому в данном разделе анализ проводился для двулучепреломляющих кристаллов. Как известно, при затухании акустической волны размер области эффективного взаимодействия электромагнитной и акустической волн будет меньше,чем при отсутствии затухания звуковой волны [47]. Из соотношения (2.44) следует, что это в свою очередь приведёт к расширению полосы ∆ АО взаимодействия. Поскольку при коллинеарной дифракции волновые векторы электромагнитной и акустической волн параллельны, то возникает проблема расположения пьезоэлемента таким образом, чтобы он не препятствовал распространениюэлектромагнитных волн.Как правило, эта задача решается за счёт использования отражения акустической волны от боковой грани кристалла.
Если среда обладает сильной акустической анизотропией и относительно небольшим показателем преломления,например, парателлурит TeO2 или молибдат кальция CaMoO4 , то возможно подобрать такой срез кристалла, при котором угол падения акустической волныдостаточно велик ψ ' 1 [90].
В этом случае расстояние, пройденное падающейакустической волной, будет минимально. Если акустическая анизотропия слабовыражена, и показатель преломления существенно больше единицы, как в германии Ge, то ψ ≪ 1 приходится или располагать пьезоэлемент на пути падающейэлектромагнитной волны, что иногда нежелательно, или помещать его как можно дальше от области отражения на противоположной грани. Таким образом,необходимо рассмотреть четыре возможных случая в зависимости от направления распространения электромагнитной волны по отношению к акустической⃗ или ⃗0 ↑↓ )⃗ и от того, происходит ли дифракция на отражённой(⃗0 ↑↑ акустической волне (ψ ≪ 1).Рассмотрим случай, когда можно пренебречь затуханием акустическойволны до отражения от боковой грани и все взаимодействующие волны распространются в одном направлении (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
