Диссертация (1104316), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Представим его в следующем виде:||||(*) = || α⃗ ⃗/2 ,⊥⊥(*) = ⊥ α⃗ ⃗/2 .(2.23)В этом случае выражения для напряженности электрического поля и плотности потока энергии существенно упрощаются:⎤⎡||∑︁ ⎢ ⊥ (⃗) ⃗ ⊥(⃗)⃗ ||⎥(⃗−ω)||⊥⃗ ,) =+ ⃗ √︁(2.24)(⃗( ⃗−ω ) ⎦ ,⎣⃗ √ ⊥ || cos β4π ⃒⃒ ⃗ ⃒⃒⃒ ⃒ = | |2 .а уравнения (2.19) и (2.22) принимают более компактный вид:)︁ ⊥ (︁ ⊥ −⃗η⊥−1⃗⃗⊥⃗η⊥=+−1 + +1 2⃗⊥||⊥⊥||−1(⃗⊥+1α) ⊥||||−⃗η−1⃗⃗η ⃗+−−1 ++1 ,222|||||| || ⃗η|| ⃗−1||−⃗η−1⃗|| ⃗ || + +1 +(⃗ ∇ ) = 2 −12||)︁ (⃗|| α||⊥ (︁ ⊥ −⃗η⊥|| ⃗⃗ ) ||⃗⊥⃗η−+−1 −1 + +1 .22(2.25)⃗ ⊥(⃗⊥ ∇ )(2.26)Окончательная система уравнений (2.26) более наглядна, чем (2.19) и(2.22).
Из левой её части следует, что амплитуда электромагнитной волны изменяется в направлении её групповой скорости. Первые четыре слагаемых вправой части уравнений (2.26) аналогичны полученным в работе [38] и показывают, что изменение амплитуды электромагнитной волны в -ом дифракционном порядке пропорционально амплитудам −1 и +1 электромагнитныхволн в ( − 1) и ( + 1) дифракционных порядках. Известно, что в прозрачнойсреде наличие расстройки ⃗η от фазового синхронизма приводит к уменьшениюэффективности АО взаимодействия [1]. Последнее слагаемое в правой частиполученной системы уравнений показывает, что по мере распространения электромагнитной волны её амплитуда экспоненциально уменьшается вследствиепоглощения в среде.45Основные результаты раздела 2.1 Главы 2Таким образом, выведенные соотношения совпадают по форме с известными двумерными уравнениями связанных мод для прозрачной двулучепреломляющей среды и переходят в них при |α| = 0.
При выводе были использованыуравнения Максвелла с комплексным тензором диэлектрической проницаемостисреды, возмущённой акустическим полем, а также выдвинуто дополнительноепредположение о том, что в поглощающей среде поляризация ⃗ собственныхэлектромагнитных волн является линейной. Показано, что данное допущениесправедливо при |⃗α| ≪ |⃗| и является целесообразным, поскольку интенсивность дифрагированного излучения изменяется по экспоненциальному закону взависимости от |⃗α|.
Кроме этого, в диссертационной работе не учитывалась дифракция светового пучка на собственной апертуре. Полученные уравнения корректно описывают АО взаимодействие в оптически изотропной поглощающейсреде при любой структуре акустического поля. Кроме этого, при их выводене было наложено ограничений на поляризацию и направление распространения электромагнитных волн. Последнее особенно актуально для анализа АОдифракции излучения ТГц диапазона, при которой возможна реализация экстремально больших углов отклонения дифрагированного излучения.462.2 Анализ решения уравнений связанных мод в брэгговскомрежиме дифракции2.2.1 Квазиортогональная акустооптическая дифракцияРешение системы уравнений связанных мод (2.26) в общем случае – достаточно трудоёмкий процесс, который выходит за рамки данной работы.
Наибольший практический интерес представляют собой частные случаи квазиортогональной и коллинеарной геометрии [86–90]. В обоих случаях считается,что волновые векторы взаимодействующих электромагнитных волн направлены вдоль оси лабораторной системы координат. Это приближение позволяетсвести двумерные уравнения (2.26) к одномерным, зависящим только от однойкоординаты .Пусть в среде задано акустическое поле, формирующее фазовую дифракционную решётку, на которую падает под малым углом, близким к углу Брэгга,пучок когерентного монохроматического линейно поляризованного электромагнитного излучения. В этом случае будет наблюдаться только один дифракционный порядок. Рисунок 2.1 схематично изображает анизотропную АО дифракцию в +1 и -1 порядки, а также соответствующие им фазовые диаграммы.
Нанём введена ось ξ, параллельная оси и масштабированная на ширину звукового столба , c отложенными безразмерными координатами ξ = 0 и ξ = 1,задающими область акустооптического взаимодействия.Можно показать, что система уравнений (2.26) формально записываетсяодинаковым образом при дифракции в +1 и -1 порядки с точностью до индексапри коэффициенте поглощения электромагнитной волны α±1 и коэффициентесвязи ±1 .
Поэтому, не ограничивая общности, рассмотрим только дифракциюв +1 порядок на звуковом пучке с заданной мощностью, независящей от длины√АО взаимодействия . В этом случае коэффициент связи = / , где –константа.Для анализа решения уравнений связанных мод удобно перейти к безразмерным переменным:ort = α/2 ,ort = 2 ,ort = η/2 ,ξ = /,(2.27)47б)г)в)а)Рисунок 2.1 — Квазиортогональная АО дифракция в: а),б) +1 порядок и в),г)-1 порядокгде ort – безразмерная длину АО взаимодействия, ort – безразмерный коэффициент поглощения, ort – безразмерная расстройка и ξ – безразмерная координата.В новых переменных уравнения (2.26) имеют вид:√0ort ortort=−0 + 1 exp(ort ort ξ),0 (0) = 1,ξ22√(2.28)1ort ortort=−1 + 1 exp(ort ort ξ),1 (0) = 0.ξ22Если считать, что электромагнитная волна падает под углом Брэгга(ort = 0), то интенсивность 1 дифрагированного излучения будет выражатьсяследующим образом:(︂ √)︂ort1 = |1 ()|2 = exp(−ort ort ) sin2.(2.29)2Как следует из (2.29), при больших значениях длины АО взаимодействияэффективность дифракции стремится к нулю.
Поэтому существует оптиoptмальное значение ort, соответствующее максимально достижимой интенсивноoptсти 1 в первом дифракционном порядке. Аналитическую зависимость ortотort возможно получить только при малой эффективности АО взаимодействия(ort ≪ 1):optortoptort=1,ortoptort =1.α(2.30)48Отмеченные особенности АО взаимодействия иллюстрируют рисунки 2.2и 2.3, на которых приведены графики, рассчитанные по формуле (2.29) приточном соблюдении условия брэгговского синхронизма, когда η = 0. Значениеoptопределялось при помощи численной схемы. Изоптимального параметра ortполученных графиков следует, что при малых значениях безразмерного коэфoptизменяется по закону, отличномуфициента поглощения ort 6 1 параметр ortот (2.30).
Отметим, что соотношение (2.30) впервые получено в работе [36], однако без вывода. Для удобства на рисунке 2.3 выбран двойной логарифмическиймасштаб, в котором обратно пропорциональная зависимость выглядит в видепрямой с угловым коэффициентом, равным минус единице.Попытки вывести выражение для интенсивности света в первом порядкедифракции с учётом поглощения предпринимались и ранее. Как показано в работе [51], выражение (2.29) можно получить на качественном уровне в режимемалой эффективности АО дифракции (1 ≪ 1). В этом случае 0 ≈ 1, и в прозрачной среде интенсивность 1 пропорциональна длине АО взаимодействия .На каждом участке с координатой и длиной в первый порядок дифракцииотклоняется “порция” излучения с интенсивностью, пропорциональной интенсивности 0 в нулевом порядке. Интенсивность в первом порядке дифракции нарасстоянии будет равна сумме (интегралу) выше оговоренных “порций”:(︂ )︂2∫︁22 ≈0 =0 ().(2.31)1 () ≈ 0244 0Для учёта поглощения электромагнитных волн необходимо ввести множитель exp(−α), где – расстояние, пройденное светом в среде с показателем поглощения α.
Теперь 0 является функцией от координаты и равна 0 exp(−α).Следует отметить, что каждая “порция” отклонённого излучения пройдёт в среде различное расстояние, зависящее от координаты , с которой оно было отклонено. Таким образом, для описания поглощения электромагнитных волн впервом порядке нужно ввести множитель exp[−α( − )]. Окончательное выражение для 1 () имеет вид:∫︁2 1 () =0 () exp[−α( − )] =4 0(2.32)∫︁22 =[0 exp(−α)] exp[−α( − )] = exp(−α).4 04optПодстановка выражения ort(ort ) в формулу (2.29) в приближении 1 ≪1 позволила определить значение интенсивности 1opt дифрагированного излуче49Рисунок 2.2 — Зависимость интенсивности 1 от безразмерной длины АОвзаимодействия ort при различных значениях безразмерного коэффициентапоглощения ortРисунок 2.3 — Оптимальное значение безразмерной длины АО взаимодействияort как функция безразмерного коэффициента поглощения ort50ния при малой эффективности АО взаимодействия:1opt =1 1,4 ortort ≫ 1.(2.33)Поскольку при ort 6 1 не удаётся получить аналитического выражениядля максимально достижимой интенсивности 1opt , была использована аппроксимация зависимости 1 (ort ) по методу наименьших квадратов (МНК):1.
1opt = 1/(1 + ort ), где = 10.550 ± 0.0010; |err1 | = 1.2%;2. 1opt = 1/(1 + 4ort ); |err2 | = 1.4%,где |err| – среднее значение модуля относительной погрешности аппроксимациив интервале 0 6 ort 6 1Как следует из расчёта, коэффициент с точностью 3% совпадает с4 = 10.87. Если же сравнивать точное значение функции 1 (ort ) с рассчитанным по формуле (2.33), то погрешность аппроксимации не превышает 2.4%.Таким образом, можно утверждать, что с высокой точностью максимально достижимую интенсивность в первом порядке можно рассчитать по следующейформуле:1,(2.34)1opt =1 + 4 · ortкоторая в предельном случае ort ≫ 1 переходит в ранее полученную формулу(2.33), а погрешность аппроксимации оценивается около 2.5%.Результаты аппроксимации МНК численно рассчитанных значенийoptort(ort ), приведённых на рисунке 2.3, представлены в виде графика на рисунке 2.4, а вычисленные значения коэффициентов и погрешности аппроксимацииприведены ниже:opt1. ort(ort ) = π2 /(1 + ort ), где = 9.280 ± 0.020; |err1 | = 2.5%;max(|err1 |) < 5%;opt2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
