Диссертация (1104316), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

рисунок 2.11).59б)а)Рисунок 2.11 — Коллинеарная АО дифракция на затухающей акустическойволне при сонаправленности волновых векторов падающей электромагнитнойи звуковой волн: а) ход лучей в АО ячейке и б) векторная диаграммаДля анализа коллинеарного АО взаимодействия удобно ввести безразмер­ные переменные: = α/, = , = η/, = α /,(2.45)где α – коэффициент затухания акустической волны (a ∝ exp(−α )), а α –коэффициент поглощения электромагнитного излучения ( ∝ exp(−α)).Запишем уравнения связанных мод в случае, когда можно пренебречь из­менением амплитуды акустической волны до отражения, или же отражение неиспользуется:(︂)︂0− ξ=−0 + 1 expexp( ξ), 0 (0) = 1,ξ222)︂(︂(2.46)1− ξexp(− ξ), 1 (0) = 0.=−1 + 0 expξ222Решение данной системы уравнений может быть представлено через функ­ции Бесселя первого и второго рода ν () и ν () комплексного порядка и ар­гумента, являющихся решением уравнения Бесселя:22 2+ (2 − ν2 ) = 0.(2.47)К сожалению, использование данных выражений для амплитуд 0 и 1 со­пряжено с некоторыми трудностями.

Во-первых, далеко не на всех языках про­граммирования существуют библиотеки, позволяющие рассчитывать функцииБесселя с комплексными порядком и аргументом. Во-вторых, при некоторыхзначениях порядка и аргумента существенно возрастает погрешность вычисле­ния функций Бесселя. Первую трудность можно обойти, например, воспользо­вавшись такими коммерческими продуктами как Maplesoft Maple или Wolfram+60Mathematica, а вторую – только существенно увеличив время вычисления илиприменив изощрённые математические методы [91; 92]. Поэтому мы необходи­мо либо использовать численное решение исходной системы уравнений, либорассматривать частные случаи, когда возможно получить более простое анали­тическое решение.При = 0 (синхронное взаимодействие) можно получить следующее ана­литическое решение данной системы :(︂)︂]︂}︂{︂ [︂111 − exp − ,0 = exp(− ) cos22(︂)︂]︂}︂{︂ [︂(2.48)1121 − exp − .1 = exp(− ) sin2График зависимости 1 (, ) для прозрачной среды приведён на рисун­ке 2.12.

Из него следует, что при ̸= 0 первый максимум функции 1 ( ) до­стигается при большем значении . Как показывает расчёт, данное утверждениесправедливо при любом значении . Отметим, что при > 0.6 функция 1 ( )имеет достаточно широкую плато-образную область, в которой её значение из­меняется не более, чем на несколько процентов.При нарушении условия брэгговского синхронизма и малой эффективно­сти дифракции выражение для интенсивности электромагнитной волны в пер­вом порядке имеет вид:)︂]︂}︂{︂[︂(︂exp[− ( + )]121 = − cos( ) .(2.49)sin ( ) + exp 2 + 4 22Как видно из уравнения (2.49), при малой эффективности дифракции по­лоса АО взаимодействия ∆ не зависит от коэффициента поглощения электро­магнитной волны , поскольку член exp[−( + ) ] является лишь масштаби­рующим множителем. Численный расчёт показывает, что наличие поглощенияэлектромагнитной волны не влияет на ∆, и кроме этого: 1) при малых зна­чениях полоса зависит только от , 2) при больших значениях – только от:0.28π2∆ =,∆ (2) =.(2.50)2Более детальное исследование показало, что существует выражение дляфункции ∆(, ), которое позволяет рассчитывать полосу АО взаимодей­ствия при произвольных значениях параметров и 0 6 6 π.

Числен­ная аппроксимация производилась функцией гиперболического типа ∆ =(1)61Рисунок 2.12 — Зависимость эффективности АО взаимодействия 1 отпараметров и в оптически прозрачной средеРисунок 2.13 — Зависимость эффективности АО взаимодействия 1 от и приразличных значениях в оптически прозрачной среде62√︀4(/)4 + (π2 / )4 с помощью метода наименьших квадратов. В результатеполучены значения коэффициентов и , дающие погрешность не более 6%: = 0.2929 ± 0.0008 и = 2.00050 ± 0.00010.

Таким образом, наиболее общеевыражение для полосы АО взаимодействия имеет вид:√︃(︂ )︂)︂(︂42 40.29π4∆ =+.(2.51)2Взяв производную от 1 (, ) по , можно получить соотношение дляоптимальной длины opt :(︂)︂(︂)︂2α2ln 1 +, opt =ln 1 +.(2.52) opt =ααТаким образом, при наличии поглощения электромагнитных волн в средеи малой эффективности АО взаимодействия оптимальная длина opt убывает сростом параметра , а при большой - возрастает. Поэтому зависимость opt ( )должна иметь максимум.

Проведённый анализ показал, что в области < 1 и < 3 полученное аналитическое выражение для opt даёт погрешность более5% и поэтому не может быть использовано. В этой области необходим численныйрасчёт, результаты которого приведены на рисунке 2.15. Положение максимумафункции opt ( ) зависит от коэффициента поглощения электромагнитного из­лучения : при = 10−8 он достигается при = 0.65, а при > 0.72– при = 0. На рисунке 2.14 приведён график зависимости максимально до­стижимой интенсивности 1opt (,), соответствующей рассчитанным значениямоптимальной длины opt .Если исходная электромагнитная вона распространяется навстречу звуко­⃗ то уравнения связанных мод имеют следующий вид:вой волне (⃗0 ↑↓ ),[︂]︂0− (1 − ξ)=−0 + 1 expexp( ξ), 0 (0) = 1,ξ222[︂]︂(2.53)− (1 − ξ)1=−1 + 0 expexp(− ξ), 1 (0) = 0.ξ222Аналитическое решение данной системы идентично решению уравнений⃗ Таким образом, можно утверждать, что интенсивность 1 и2.46 при ⃗0 ↑↑ .полоса АО взаимодействия ∆ не зависят от направления волновых векторов⃗0 и .⃗63Рисунок 2.14 — Зависимость оптимальной эффективности АО взаимодействия1opt от коэффициентов поглощения света и затухания звука Рисунок 2.15 — Зависимость оптимальной длины opt от коэффициентовпоглощения света и затухания звука 642.2.4 Прямая коллинеарная дифракция на затухающей отражённойакустической волнеПри дальнейшем анализе предполагалось, что акустическая волна распро­страняется после отражения в положительном направлении оси ξ и её затуха­нием до отражения пренебречь нельзя.

Схема АО взаимодействия при условии,⃗ при­что волновые вектора взаимодействующих волн сонаправлены (⃗0 ↑↑ ),ведена на рисунке 2.16.б)а)Рисунок 2.16 — Коллинеарная АО дифракция на отражённой затухающейакустической волне: а) ход лучей в АО ячейке и б) векторная диаграммаСистема уравнений связанных мод для рассматриваемой геометрии АОвзаимодействия записывается в виде:[︂]︂0− (ξ + 1)=−0 + 1 expexp( ξ), 0 (0) = 1,ξ222[︂]︂(2.54)− (ξ + 1)1=−1 + 0 expexp(− ξ), 1 (0) = 0.ξ222Можно показать, что при выполнении условия синхронизма ( = 0) спра­ведливы следующие выражения для интенсивности электромагнитных волн навыходе из кристалла:{︂ [︂(︂)︂]︂}︂10 = exp(− ) cos2exp(− ) − exp −,2{︂ [︂(︂)︂]︂}︂(2.55)121 = exp(− ) sinexp(− ) − exp −.2По полученному соотношению (2.55) был построена зависимость 1 (, )для прозрачной среды, который приведён на рисунке 2.17.

Из графика видно,65что при малых значениях безразмерной длины АО взаимодействия величина1 практически не зависит от значения коэффициента затухания акустическойволны . Однако при увеличении влияние затухания звука сказывается силь­нее на эффективности АО взаимодействия.На рисунке 2.18 приведена функция 1 ( ) при различных значениях ко­эффициента поглощения . Из него следует, что при < 0.1 заметных изме­нений не происходит, а при > 0.3 затухание звука настолько велико, что непозволяет использовать большие длины АО взаимодействия.

Ещё одной особен­ностью является область насыщения функции 1 ( ) при = 0.16. Как видноиз рисунка 2.17, указанная область ограничена, а оптимальное значение opt непревышает 10.Если условие синхронизма нарушено ( ̸= 0), то аналитическое решениеудаётся получить лишь при малой эффективности дифракции. В этом случаеможно воспользоваться методом заданного поля и считать, что комплекснаяамплитуда 0 не зависит от амплитуды 1 , но экспоненциально уменьшается срасстоянием из-за наличия поглощения.

Итоговое выражение для интенсивно­сти дифрагированного излучения имеет вид:{︃[︂(︂)︂]︂2 }︃1exp[−( + 2 ) ]sin2 ( ) + exp − cos( )(2.56)1 =22 + 42и отличается от (2.49) лишь на экспоненциальный множитель exp(− ), кото­рый задаёт начальную амплитуду акустической волны при использовании отра­жения и не влияет на полосу АО взаимодействия ∆.Из уравнений (2.55) и (2.56) видно, что учёт поглощения электромагнит­ной волны, как и ранее, приводит к появлению экспоненциального множителяв решении. Продифференцировав (2.56) по при = 0, нетрудно получитьаналитические выражение для оптимальной длины АО взаимодействия:(︂(︂)︂)︂22α opt =ln 1 +,opt =ln 1 +,(2.57) +αα + αпричём при = 0 оно переходит в ранее полученные соотношения (2.40, 2.41).На рисунке 2.20 приведена численно рассчитанная зависимость opt (, )для первого максимума функции 1 ( ).

Как показал расчёт, при > 3 и > 0.25 эффективность дифракции меньше 2.5%, и погрешность в опреде­лении opt составляет не более 5%. Внутри области < 3 и < 0.25 режиммалой эффективности дифракции не соблюдается, и наблюдается локальный66максимум функции opt (, ): opt = 8.7 при = 0 и = 0.16. Данный мак­симум является очень узким, поэтому на рисунке 2.20 приведены срезы преды­дущего графика несколькими плоскостями = . Как видно, положениемаксимума зависит от значения таким же образом, как и при дифракции наакустической волне, затуханием которой до отражения от боковой грани можнопренебречь (см. рисунок 2.15).

Характеристики

Список файлов диссертации