Диссертация (1104316), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

(1.12)⎝− sin β cos β 0⎠ ⎝ 0 1001sin θ 0 cos θ001В этой системе координат возмущённый тензор диэлектрической непрони­цаемости имеет вид:̂︂ () = rot̂︂ · rot̂︁ · ∆̂︁ .∆(1.13)20Рисунок 1.3 — Векторная диаграмма, соответствующая коллинеарнойдифракции()Зададим значение угла β таким, чтобы элемент ∆12 тензора возмущён­ной диэлектрической непроницаемости в оптически изотропной среде был равен()нулю ∆12 = 0:(︁ )︁1,(1.14)β = − arctan2где введены обозначения:2 = − ∆11 cos θ sin 2ϕ + 2∆12 cos θ cos 2ϕ++ 2∆13 sin ϕ sin θ + ∆22 cos θ sin 2ϕ − 2∆23 cos ϕ sin θ;2 =∆11 (− cos2 ϕ cos2 θ + sin2 ϕ) − ∆12 sin 2ϕ(1 + cos2 θ)+(1.15)+ ∆13 cos ϕ sin 2θ + +∆22 (cos2 ϕ − cos2 θ sin2 ϕ)++ ∆23 sin ϕ sin 2θ − ∆33 sin2 θ.−Поскольку векторы напряжённости → в системе координат имеютнулевую -составляющую, то в выражение для эффективной фотоупругой по­()()()стоянной eff не войдут элементы ∆13 , ∆23 и ∆33 .

По аналогии спредыдущим параграфом, можно показать, что экстремальные значения eff до­стигаются, если падающая и дифрагированная волны поляризованы одинакововдоль оси или . В кристаллографической системе координат искомые21−−→направления векторов напряженности (1,2) имеют вид:⎛⎞cosβcosϕcosθ−sinβsinϕ−→ ⎜⎟(1) = ⎝sin β cos ϕ + cos β sin ϕ cos θ⎠ ,− cos β sin θ⎛⎞−→ ⎜− cos β sin ϕ − sin β cos ϕ cos θ⎟(2) = ⎝ cos β cos ϕ − sin β sin ϕ cos θ ⎠ ,sin β sin θ(1.16)()Значение эффективных фотоупругих постоянных eff ( = 1,2), соответ­−→ствующих найденным векторам напряженности электрического поля () , можнонайти по формуле:1()()(1.17)eff = ∆ ,0()где элементы 11()∆11()и 22определяются соотношениями:= (∆11 sin2 ϕ − ∆12 sin 2ϕ + ∆22 cos2 ϕ) sin2 β++ (−∆11 sin 2ϕ cos θ + 2∆12 cos 2ϕ cos θ + 2∆13 sin ϕ sin θ++ ∆22 sin 2ϕ cos θ − 2∆23 cos ϕ sin θ) sin β cos β++ (∆11 cos2 ϕ cos2 θ + ∆12 sin 2ϕ cos2 θ − ∆13 cos ϕ sin 2θ++ ∆22 sin2 ϕ cos2 θ − ∆23 sin ϕ sin 2θ + ∆33 sin2 θ) cos2 β,()∆22= (∆11 cos2 ϕ cos2 θ + ∆12 sin 2ϕ cos2 θ − ∆13 cos ϕ sin 2θ++ ∆22 sin2 ϕ cos2 θ − ∆23 sin ϕ sin 2θ + ∆33 sin2 θ) sin2 β++ [(∆11 − ∆22 ) sin 2ϕ cos θ − 2∆12 cos 2ϕ cos θ−− 2∆13 sin ϕ sin θ + 2∆23 cos ϕ sin θ] sin β cos β++ (∆11 sin2 ϕ − ∆12 sin 2ϕ + ∆22 cos2 ϕ) cos2 β.(1.18)Таким образом, предложенная теория позволяет: 1) находить экстремаль­ные значения эффективной фотоупругой постоянной оптически изотропной сре­ды, а также соответствующие им векторы поляризации падающей и дифраги­рованной электромагнитных волн, при заданной акустической моде через соб­ственные векторы и значения тензора возмущённой диэлектрической непрони­̂︂ 2) рассчитывать вышеупомянутые параметры для заданного на­цаемости ∆;правления распространения электромагнитной волны, используя аналитические̂︂выражения, полученные при частичной диагонализации матрицы ∆.221.2 Аналитические выражения для эффективных фотоупругихпостоянных оптически изотропных средВ данном параграфе проведён анализ АО взаимодействия в кубических мо­нокристаллах для квазипродольной (QL) и быстрой (QSF ) и медленной (QSF )квазипоперечных акустических мод с волновыми нормалями ,⃗ направленны­ми вдоль кристаллографических осей [100], [110] и [111].

Для обозначения аку­стических мод использовано следующее сокращение: “тип моды”-“направление√√”.⃗ Например, квазипродольная мода с ⃗ = (1/ 2, 1/ 2, 0) обозначена какQL-[110].Как известно, матрица фотоупругих постоянных ˆ кубических кристалловсингоний 43m, 423 и m3m имеет вид [79]:⎞⎛11 12 12 0 0 0⎟⎜⎜12 11 12 0 0 0 ⎟⎟⎜⎟⎜ ⎜ 12 12 11 0 0 0 ⎟(1.19)ˆ = ⎜⎟.⎜ 0 0 0 44 0 0 ⎟⎟⎜⎟⎜0 0 0 0 044⎠⎝0 0 0 0 0 44Полученные с помощью описанной выше методики соотношения для эф­фективных фотоупругих постоянных, соответствующих акустическим модам cволновыми нормалями ⃗ = (1,0,0) и ⃗ = (1,1,0), а также моде QL-[111], совпа­дают с литературными данными [75] и поэтому не приводятся.Выражения для эффективных фотоупругих постоянных при произволь­ном значении угла α, задающего направление поляризации ⃗ квазипоперечнойQS-[111] акустической моды, также не приводятся из-за их громоздкости:(︁ [︁ π]︁[︁ π]︁)︁⃗ ∝ cos+ α , cos− α , − cos α .(1.20)33В тоже время при α = 0 и α = π/6, были выведены следующие соотноше­ния:23α=0 :√(1)eff = −2(11 − 12 − 244 )6+,1212√(2)2(11 − 12 − 244 ),6√√2(11 − 12 − 244 )6=−−,1212eff =(3)eff√ ⎞−3+3−2−3111244−→ ⎜√ ⎟(1) ∝ ⎝−311 + 312 − 244 − 3 ⎠ ;444−→(2) ∝ (−1, 1, 0);⎛√ ⎞−→ ⎜−311 + 312 − 244 + √3 ⎟(3) ∝ ⎝−311 + 312 − 244 + 3 ⎠ ,⎛√444(1.21)где введено обозначение:√︀ = 3(11 − 12 )2 + 444 (11 − 12 + 44 );(1.22)α = π/6 :⎞√2+2−−−→ ⎜√⎟(1) ∝ ⎝− 2 + 2 + 2 + 1⎠ ;1⎛⎞√2+2−+−→ ⎜ √⎟(2) ∝ ⎝ 2 + 2 + 2 + 1⎠ ;1−→(3) ∝ (−, 1, 1),(1.23)12 − 11.44(1.24)⎛(1)eff1=√6(2)eff1= −√6√︁(11 − 12 )2 + 2244 ,√︁(11 − 12 )2 +2244 ,(3)eff = 0,где использовано обозначение=Численное моделирование с использованием фотоупругих постоянных11 = 0.154, 12 = 0.126, 44 = 0.073 монокристалла германия [79] позволило()получить зависимость eff (α), которая приведена на рисунке 1.4.(1)(2)Из рисунка 1.4 следует, что eff и eff являются знакопостоянными функци­(3)ями угла α, в то время как eff – знакопеременной.

Поскольку эффективность()АО взаимодействия пропорциональна квадрату eff , то необходимо построить(1)в тех же осях графики модулей |eff |. Установлено, что эти функции имеютпериод π/3, а области 0 < α < π/6, π/6 < α < π/3, π/3 < α < π/2 являет­ся зеркальным отражением друг друга. Таким образом, достаточно определить()аналитические выражения для eff при α = 0 и α = π/6.24Рисунок 1.4 — Зависимость экстремальных значений фотоупругих постоянныхот направления поляризации акустической волны QS-[111]Матрица фотоупругих постоянных кубических кристаллов сингоний 23 иm3 имеет несимметричный вид [79; 80]:⎛⎞11 12 13 0 0 0⎜⎟⎜13 11 12 0 0 0 ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ 12 13 11 0 0 0 ⎟ˆ = ⎜(1.25)⎟.⎜ 0 0 0 44 0 0 ⎟⎜⎟⎜0 0 0 0 0⎟44⎠⎝0 0 0 0 0 44Ниже приведены результаты, полученные для АО дифракции на следую­щих акустических модах:251.

Квазипродольная QL-[100] акустическая мода:−→(1)eff = 11 , (1) = (1, 0, 0);−→(2)eff = 13 , (2) = (0, 1, 0);−→(3)eff = 12 , (3) = (0, 0, 1);−→col=col = (0, 1, 0);13eff−→col=col = (0, 0, 1).12eff(1.26)2. Квазипоперечная QS-[100] акустическая мода, имеющая вектор поляри­зации ⃗ = (0, cos α, sin α):−→(1)eff = 0,(1) = (0, − sin α, cos α);−→(2)eff = 44 ,(2) ∝ (1, cos α, sin α);(1.27)−→(3)(3)eff = −44 , ∝ (−1, cos α, sin α);−→col⃗eff = 0,col ⊥ .3. Квазипродольная QL-[110] акустическая мода:−→12 + 13(1),(1) = (0, 0, 1);eff =2)︂−→ (︂ 13 − 12 + 211 + 12 + 13 − (2)(2)eff =, ∝, −1, 0 ;4444(︂)︂−→2+++−+1112131213(3)eff =,(3) ∝, 1, 0 ;4444−→12 + 13col=,col = (0, 0, 1);eff2−→211 + 12 + 13 − 444col, col ∝ (−1, 1, 0) ,eff =4где введено обозначение:√︁ = (12 − 13 )2 + 16244 .4.

Медленная квазипоперечная QSS -[110] акустическая мода:−→(1)eff = 0,(1) ∝ (−1, 1, 0);−→√(2)eff = 44 ,(2) ∝ (1, 1, 2);−→√(3)(3)eff = −44 , ∝ (1, 1, − 2);−→⃗col=0,col ⊥ .eff(1.28)(1.29)(1.30)265. Быстрая квазипоперечная QSF -[110] акустическая мода:(1)eff=(2)eff =(3)eff =coleff =coleff =11 − 12,213 − 11,212 − 13,212 − 13,213 − 12,2−→(1) = (1, 0, 0);−→(2) = (0, 1, 0);−→(3) = (0, 0, 1);−→col = (0, 0, 1);−→col ∝ (−1, 1, 0);(1.31)6. Квазипродольная QL-[111] акустическая мода:(1,2)eff(3)effcoleff11 + 12 + 13 − 244,311 + 12 + 13 + 444,=311 + 12 + 13 − 244=,3=−−→⃗(1,2) ⊥ ;−→⃗(3) ||;−→⃗col ⊥ .(1.32)К сожалению, не удаётся получить аналитические выражения для эффек­тивных фотоупругих постоянных, соответствующих квазипоперечной QS-[111]акустической моды.

Более того, численный расчёт показал, что из-за несиммет­()ричности матрицы ˆ положения экстремумов функций eff (α) зависят от значе­ний констант .271.3 Расчёт экстремальных значений коэффициентаакустооптического качества оптически изотропных сред приколлинеарной дифракцииПоскольку анизотропии упругих и фото-упругих свойств среды не связа­ны друг с другом, то в общем случае нельзя предсказать условия, при которыхАО качество будет максимально. Поэтому необходимо использовать численныеˆ Для численногометоды поиска собственных значений и векторов матрицы .моделирования были использованы данные из источников [13; 79; 81; 82], кото­рые приведены в приложении А. Расчёт состоял из следующих этапов:1.

Задание материальных констант по литературным данным.2. Выбор волновой нормали акустической волны ,⃗ через сферическиекоординаты θ ,ϕ .3. Решение уравнения Кристоффеля.4. Разделение акустических мод на QL, QSS и QSF .5. Определение для каждой моды тензора возмущения диэлектрической̂︂непроницаемости ∆:6. Решение задачи на собственные векторы и собственные значения тензо­̂︂ для вычисления трёх значений () (глобальные экстремумы).ра ∆eff7. Поворот системы координат таким образом, чтобы ось Oz совпала с на­правлением волновой нормали акустической волны .⃗ Поворот новойсистемы координат вокруг оси Oz, позволяющий обнулить элемент 12 .При этом элементы 11 и 22 дадут два значения эффективной фото­упругой постоянной coleff при коллинеарной дифракции.8.

Расчёт коэффициента АО качества по формуле 2 = 2eff 6 /ρ 3 .Таким образом, для данной среды разработанный программный комплексрассчитывал девять графиков 2 (θ ,ϕ ) и шесть 2col (θ ,ϕ ). Указанныефункции имеют иногда по несколько ярко-выраженных максимумов. Коорди­наты этих максимумов (ϕ ,θ ), а также направление поляризации акустиче­ской волны (ϕ ,θ ), значения АО качества и необходимое направление вектораполяризации электромагнитной волны (ϕ ,θ ) приведены в Таблицах Б1, Б2.Полученные зависимости 2 (θ ,ϕ)) и 2col (θ ,ϕ ) оказались индивиду­альными для каждого из исследованных кубических кристаллов.

Тем не менееоказалось возможным выделить следующую характерную черту: глобальные28максимумы указанных функций достигаются при θ и ϕ , соответствующихнаправлениям [100], [110] и [111] в кристаллографической системе координат,практически для всех известных кубических кристаллов. Однако расчёт пока­зал, что для многих кристаллов максимальные значения АО качества 2col приколлинеарном взаимодействии достигаются при θ и ϕ , значительно отлича­ющихся от указанных направлений. Для уточнения экстремумов 2col были ис­пользованы безразмерные коэффициенты, характеризующие акустическую ани­зотропию кристаллов, которые были введены в работе [83]:11 − 12 − 24411 − 12 − 244, ∆12 =,11 − 444411 − 12 − 24412 + 44=, ∆22 =.11 + 44244∆11 =∆21(1.33)Результаты расчёта, выполненного согласно приведённой выше методике,для ряда монокристаллических сред кубической сингонии приведены в прило­жении Б.1.3.1 Дифракция на акустической волне в плоскости (001)Рассмотрим коллинеарную АО дифракцию в плоскости (001) на квази­поперечной акустической моде, которая имеет поляризацию ⃗ = (0,0,1) и чьяскорость не зависит от направления.

Для определённости обозначим эту моду1 . Нетрудно убедиться, что дифракция на этой моде наблюдаться не будет,поскольку обе эффективные фотоупругие постоянные равны нулю:col(1)eff= 0,col(2)eff= 0.(1.34)Установлено, что при коллинеарной АО дифракции в плоскости (001) наквазипоперечной акустической моде 2 , которая поляризована в плоскости(001) и чья скорость не зависит от направления, максимум функции coleff (θ ,ϕ )наблюдается при ϕ ≈ 22.5∘ и θ = 90∘ .

Характеристики

Список файлов диссертации