Диссертация (1104316), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Оказалось, что его положение характерно для всех известных кристаллов. По приведённой выше методике былополучена следующая зависимость эффективных фотоупругих постоянных от29ϕ при θ = 90∘ :col(1)= 12 sin α,col(2)= −[(11 − 12 − 244 )(2 cos2 ϕ − 1) sin ϕ cos ϕ ] cos α+effeff+ [−2(11 − 12 − 244 ) cos4 ϕ + 2(11 − 12 − 244 ) cos2 ϕ + 12 ] sin α,(1.35)где α – угол между вектором поляризации акустической волны и нормальюк направлению ⃗ волнового вектора акустической волны в плоскости (001),зависимость которого от угла ϕ приведена в [83]:∆11 sin(4ϕ )[2 − 3∆11 sin2 (2ϕ )].tg α =8 − 20∆11 sin2 (2ϕ ) + 0.5∆211 sin2 (2ϕ )[29 sin2 (2ϕ ) + 4](1.36)Поскольку угол обычно мал, то целесообразно получить оценочные значения coleff при α = 0:col(1)= 0,col(2)= −(11 − 12 − 244 )(2 cos2 ϕ − 1) sin ϕ cos ϕ .effeff(1.37)Как видно, одно из этих значений стремится к нулю, а второе имеет одинмаксимум:ϕ = π/8,col(2)max(eff)=−11 − 12 − 244.4(1.38)Положение максимума АО качества будет несколько смещено на некоторый угол δ0 в силу анизотропии скорости звука и фотоупругих свойств кристалла.
Чтобы получить оценку данного смещения будем считать его малым|δ0 | ≪ 1 и предполагать, что α = 0. В этом случае разложение в ряд Тейлораcol(2)выражения для eff при ϕ = π/8 + δ принимает вид:⃒(︀)︀col(2)col(2) ⃒eff ≈ eff ⃒1 − 8δ2 .(1.39)ϕ=π/8Запишем разложение скорости акустической моды QS2 [83]:[︂]︂⃒∆(∆∆+4∆+16)⃒1211 1212δ .2 ≈ 2 ⃒1+2ϕ=π/82(∆12 + 4)(1.40)Можно получить следующую оценку для АО качества в виде квадратичной зависимости ( < 0):⃒colcol ⃒2 ≈ 2 ⃒(δ2 + δ + ).(1.41)ϕ=π/830Можно показать, что в линейном приближении по ∆11 и ∆12 максимум АОкачества смещается на величину:δ0 ≈ −3∆12 ,64(1.42)где величины параметров акустической анизотропии ∆11 и ∆12 предполагалисьмного меньшими единицы.Если учесть квазипоперечность звуковой волны (α ̸= 0) и для всех величин использовать квадратичное разложение по параметру δ = ϕ − π/8, то влинейном приближении по ∆11 и ∆12 можно получить следующее выражениедля смещения положения максимума АО качества:δ0 ≈ −31∆12 + ∆11 ,648(1.43)из которого следует, что первый фактор связан с анизотропией скорости, а второй – с квазипоперечностью акустической волны.Было установлено, что для всех известных кубических кристаллов значения безразмерных параметров ∆11 и ∆12 лежат в следующих диапазонах:−1.5 < ∆11 < 1.0,−1.4 < ∆12 < 5.(1.44)Поскольку для некоторых кубических кристаллов приближение(∆11 ,∆12 ) ≪ 1 нарушается, то в этом случае нельзя использовать соотношение (1.43).
Поэтому выражение для смещения δ0 было выведено ещё раз, ноуже без использования разложения по ∆11 и ∆12 :δ0 ≈1,2(1.45)где использованы следующие обозначения:71 ={3600[(1.012 + 2.6)11 − 1.312 − 5.3]} · [(1.012 + 1.9)11+654+ (−9.912 − 18)11+ (3812 + 68)11+ (−8412 − 130)11+32+ (11012 + 150)11+ (−8412 − 84)11+ (3612 + 19)11 − 7.612 ]·22· (11 − 1.3) · (11− 2.811 + 2.1) · (11− 1.411 + 1.4) · (11 − 2.0),(1.46)312142132 =1014 · (6.0 + 2.212+ 7.012 )11+ 106 (−0.4812− 1.512 − 1.0)11+212211+ 106 (4.612+ 1312 + 8.0)11+ 107 (−2.512− 6.512 − 3.4)11+21029+ 107 (9.012+ 2212 + 7.0)11+ 108 (−2.412− 4.612 − 0.18)11+2827+ 108 (4.512+ 6.512 − 3.8)11+ 108 (−5.512 − 6.512+ 14)11+2625+ 108 (0.6512 + 7.012− 26)11+ 108 (5.512 − 6.012+ 32)11+2423+ 108 (−8.012 + 3.812− 29)11+ 108 (6.512 − 1.812+ 18)11+222+ 108 (−3.012 + 0.6012− 7.5)11+ 107 (8.512 − 1.212+ 18)11 +2+ 107 (−2.2 + 0.1212− 1.112 ).(1.47)На рисунке 1.5 точки (∆11 , ∆12 ) соответствуют различным кристаллам.
Установлено, что в них вторая производная АО качества меньше нуля 2 2 /δ2 < 0 и соответствует максимуму, а величина модуля смещения δ0не превышает 10∘ . Для определения характерных величин угла α была использована аналитическая зависимость α(∆11 ,ϕ), приведённая в [83], а такжепостроен её график. Как следует из рисунка 1.6, абсолютная величина угла αне превышает 15∘ .Для проверки полученных соотношений были использованы значенияупругих и фотоупругих постоянных германия Ge из приложения А. Найденноепо формуле (1.45) значение полярного угла ϕ составило величину ϕ ≈ 19.9∘ ,что с точностью 0.5∘ совпадает с результатом, полученным с помощью численного моделирования (см.
приложение Б)).1.3.2 Дифракция на акустической волне в плоскости (11̄0)В данном параграфе проведён анализ АО дифракции на акустическойволне, волновой вектор которой лежит в плоскости (11̄0) и ϕ = 45∘ . В указанной плоскости могут распространяться следующие квазипоперечные акустические моды: 1) поляризованная вдоль направления [11̄0] (QS1 ); 2) поляризованная в плоскости (11̄0) (QS2 ).Один из характерных максимов коэффициента АО качества соответствуетдифракции на акустической моде QS2 . Следуя описанному в разделе 1.3 алго32Рисунок 1.5 — Зависимость смещения положения максимума АО качества отпараметров акустической анизотропии при коллинеарной дифракции вплоскости (001) на QS2 акустической модеРисунок 1.6 — Зависимость угла α от параметра ∆11 и угла ϕ приколлинеарной дифракции в плоскости (001) на QS2 акустической моде33ритму, была определена зависимость эффективных фотоупругих постоянных отугла θ :[︂]︂3col(1)eff = (11 − 12 − 244 )(− cos4 θ + cos2 θ ) + 12 sin α+2[︂]︂12+ (11 − 12 − 244 ) (3 cos θ − 2) sin θ cos θ cos α,2)︂(︂(1.48)+−2−11 + 12 + 244111244col(2)cos2 θ +sin α+eff =22]︂[︂1+ (11 − 12 − 244 ) sin θ cos θ cos α,2где угол α отсчитывается в плоскости (11̄0) от оси [001] [83]:∆212sin 2θ (1 + 3 cos 2θ ).sin2 2θ (1 + 3 cos2 2θ )24 + ∆21 cos 2θ (1 + 3 cos 2θ ) + ∆2116 + ∆21 (1 + 3 cos 2θ )2(1.49)Устремив α к нулю (чисто поперечная волна), можно определить харакcol(1,2)(θ ):терное положение экстремумов функций eff(︂ √︁)︂√1col(1)θ = arccos78 + 6 73 ≈ 18.7∘ ,max(eff ) ≈ 0.11(11 − 12 − 244 ),12(︂ √︁)︂√1col(2)θ = arccos78 − 6 73 ≈ 64.5∘ ,max(eff ) ≈ −0.28(11 − 12 − 244 ),1211 − 12 − 244col(3).θ = π/4 = 45∘ ,max(eff ) =4(1.50)Анализ литературных данных [79] показал, что значения коэффициентовакустической анизотропии лежат в следующих диапазонах:tg α = −−0.4 < ∆21 < 0.6,0.5 < ∆22 < 3.5.(1.51)После ряда преобразований и допущения |∆21 | ≪ 1 в линейном приближении по ∆21 было получено следующее выражение для смещения δ0 углаθ = π/3:√9 3δ0 =[0.11 · 106 22 (11 − 12 − 244 )−61.2 · 10√(1.52)53− 2(2911 + 5.3 · 103 12 − 5844 )]21 +(11 − 12 − 244 ).9734Из полученного соотношения следует, что оптимальное направление акустического вектора определяется не только акустическими свойствами кристалла, но и фотоупругими.
Выражение (1.52) остаётся справедливым только в приближении δ0 ≪ 1, а также когда коэффициент при квадратичном члене δ2 вразложении коэффициента АО качества 2col по δ меньше нуля: =1.1[(11 − 12 − 244 )2 22 ++ 3.2(11 + 0.4012 − 244 )(11 − 12 − 244 )]21 −(1.53)− 1.5(11 − 12 − 244 )2 .Найденный с использованием формулы (1.52) азимутальный угол θ ≈62.9∘ для титаната стронция SrTiO3 с точностью 1.5∘ совпал с результатом численного моделирования θ ≈ 64.5∘ (см. приложение Б). Таким образом, полученные в этом разделе соотношения имеют достаточно высокую точность, иих можно использовать для оценки оптимального направления акустическоговолнового вектора.35Основные результаты Главы 1Поставлена и решена задача поиска максимального значения коэффициента АО качества монокристалла кубической сингонии. Доказано, что максимальное значение эффективной фотоупругой постоянной достигается лишь втом случае, когда падающая электромагнитная волна поляризована вдоль главной оси возмущённой индикатрисы, которой соответствует наибольшее значениедиагонального коэффициента возмущённого тензора диэлектрической непроницаемости.
Показано, что в этом случае при малых углах отклонения дифрагированного излучения его поляризация является линейной и совпадает с поляризацией излучения нулевого дифракционного порядка.Установлено, что при коллинеарном АО взаимодействии значение эффективной фотоупругой постоянной максимально, если падающее и дифрагированное излучение поляризованы одинаково вдоль наиболее возмущённой полуосиэллипса, являющего сечением индикатрисы плоскостью, ортогональной волновому вектору акустической волны.Получены выражения для эффективной фотоупругой постоянной для квазиортогональной и коллинеарной АО дифракции на акустических модах с волновыми векторами, направленными вдоль кристаллографических осей [100], [110]и [111], монокристаллов с кубической кристаллической решёткой.
Установленыаналитические соотношения для вычисления оптимального направления волнового вектора акустической волны при коллинеарной дифракции. Разработанныйпрограммный комплекс позволил уточнить условия, при которых коэффициентАО качества ряда кубических монокристаллов достигает своего максимального значения при произвольном направлении волнового вектора и поляризацииакустической волны. Выполненные с его помощью расчеты подтвердили пригодность использования полученных в главе соотношений.36Глава 2. Двумерные уравнения связанных мод и анализ их решения2.1 Двумерное уравнение связанных мод, учитывающее поглощениеэлектромагнитных волн в средеВ работе Когельника [27] были получены уравнения связанных мод, описывающие брэгговскую дифракцию электромагнитной волны на толстой голографической решётке.
В ней были сделаны следующие допущения: 1) оптически изотропная среда; 2) пренебрежение поляризационными эффектами; 3) синусоидальная дифракционная решётка; 4) электромагнитные волны считаютсяплоскими и монохроматическими; 5) амплитуды волн зависят только от однойкоординаты; 6) малые отклонения от условия брэгговского синхронизма. В работе [28] указанные уравнения были модифицированы, чтобы использовать вявном виде зависящий от координаты коэффициент связи. Данный подход позволил получить квази-трёхмерные уравнения в координатном представлениипри строгом выполнении условия брэгговского синхронизма.
Таким образом,были сняты два ограничения: на форму дифракционной решётки и на зависимость амплитуд электромагнитных волн от координаты.В работе [29] была рассмотрена брэгговская дифракция электромагнитного излучения на синусоидальной фазовой голографической дифракционнойрешётке в поглощающей двулучепреломляющей среде. К недостаткам разработанной теории можно отнести использование мнимой части волнового векторарасстройки, поскольку это затрудняет интерпретацию полученных уравнений.Аналогичные уравнения были получены в работе [30], однако авторы уделили внимание только тонким дифракционным решёткам, а также использовалимодель, что каждому дифракционному порядку соответствует только одна собственная электромагнитная волна (обыкновенная или необыкновенная).В работе [31] приведены уравнения связанных мод, в которых слева стоит производная комплексной амплитуды по координате, а справа – сумма двухфакторов: первый из них даёт связь комплексных амплитуд волн в соседнихпорядках, а второй указывает на экспоненциальное уменьшение амплитуды срасстоянием, связанное с поглощением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
