Диссертация (1104316), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Преимуществом такого вида уравненийявляется наглядность, однако, к сожалению, авторам удалось получить их лишь37в одномерном случае. В недавно вышедшей работе [38] получена система урав­нений, описывающая АО взаимодействие в оптически анизотропной среде и учи­тывающая поляризационные эффекты.В данной главе приведён вывод уравнений связанных мод для АО дифрак­ции, учитывающих поглощение электромагнитных волн в среде. В основе пред­ложенной модели лежат уравнения Максвелла, а также ряд допущений, исполь­зованных в работе [38].2.1.1 Распространение электромагнитных волн в поглощающейсредеДля описания распространения электромагнитной волны в поглощающейсреде необходимо решить уравнения Максвелла и дополнить их материальнымиуравнениями.

В общем случае среда является анизотропной и характеризуетсякомплексным тензором диэлектрической проницаемости ̂︀ε = ε̂︀′ + ε̂︀′′ [2]:⃗⃗ )⃗ = 4πρ, [∇⃗ ]⃗ = − 1 ,(∇ ⃗1 4π⃗⃗⃗⃗(∇) = 0,[∇] =+ ⃗, ⃗ = (ε̂︀′ + ε̂︀′′ ),⃗(2.1)⃗ = µ̂.⃗В работе предполагалось, что АО взаимодействие происходит в немагнит­ной среде, в которой отсутствуют токи и поверхностные заряды:µ̂ = 1,ρ = 0,⃗ = 0.(2.2)После подстановки материальных уравнений в уравнения Максвелла мож­но получить волновое уравнение для вектора напряжённости электрическогополя:1 2 ̂︀′⃗⃗⃗⃗− [∇[∇]] = 2 2 [(ε + ε̂︀′′ )].(2.3) Если среда не является гиротропной, то собственная мода невозмущённойсреды представляет собой линейно-поляризованную монохроматическую волну⃗ . Как будет показано ни­с амплитудой, убывающей в некотором направлении αже, это направление определяется мнимой частью тензора диэлектрической про­ницаемости ε̂︀′′ и зависит от направления действительного волнового вектора ⃗38и поляризации ⃗:⃗ ,) = ⃗−⃗α⃗/2 (⃗⃗−ω) ,(⃗(2.4)⃗ – векторный коэффициентгде ⃗ – единичный вектор, ω – угловая частота, α⃗ в некоторых работах, например [84], используется ком­поглощения.

Вместо α⃗ равен егоплексный волновой вектор ⃗. Можно показать, что в этом случае α⃗ = Im(⃗).мнимой части αИспользуя соотношения (2.4) и (2.3), были получено комплексное диспер­сионное уравнение, реальная Re и мнимая Im части которого имеют вид:Re :Im :ω2 ̂︀′⃗[⃗⃗]] − 1 [⃗α[⃗α⃗]],ε⃗=[24211ω− 2 ε̂︀′′⃗ = [⃗α[⃗⃗]] + [⃗[⃗α⃗]].22−(2.5)⃗ и ⃗ при за­Полученная система уравнений (2.5) однозначно определяет αданных ⃗ и ω. Как будет показано в работе, для удовлетворительной работыАО устройств необходимая длина пути света в среде составляет порядка 1 см.Поэтому, при α = 1 см−1 интенсивность падает примерно на порядок, что яв­но нежелательно.

В то же время, даже при использовании длинноволновогоизлучения ТГц диапазона ≈ 103 см−1 . Таким образом, можно считать, чтосправедливо соотношение |⃗α| ≪ |⃗|.2.1.2 Волновое уравнение в диссипативной среде, возмущённойакустическим полемПусть в среде задано произвольное акустическое поле, изменяющееся вовремени с круговой частотой Ω. Как известно, благодаря фотоупругому эффек­̂︁ ) cos(⃗⃗ −ту оно наводит возмущение диэлектрической проницаемости: ∆ε(⃗⃗ – волновой вектор акустической волны [1]. Полное электромагнит­Ω), где ное поле в возмущённой среде выражается как сумма полей собственных волн(2.4) всех дифракционных порядков с медленно меняющимися комплексными39||амплитудами ⊥ (⃗) и (⃗):⃗ ,) =(⃗⎡⎤||∑︁ ⎢ ⊥ (⃗)|| (⃗)⃗ ||⎥−⃗α⊥⃗/2 (⃗⊥⃗−ω )||⊥−⃗α ⃗/2 ( ⃗−ω ) ⎦ ,+ ⃗ √︁=⎣⃗ √ ⊥ || cos β(2.6)где – показатель преломления, – номер дифракционного порядка, β – угол⃗||||между волновым вектором ⃗ и лучевым вектором , соответствующим поля­||ризации ⃗ (для поляризации ⃗⊥ этот угол равен нулю), ω – угловая частота.Знаменатель в (2.6) введён искусственно для упрощения расчёта плотностипотока энергии:⃒⃒2⃒⃒⃒⃗ ⃒2⃒ ⃒ ⃒[︂]︂⃒|||| −α ⃗/2 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒4π ⃒ ⃗|| ⃒ ⃒ ⃗|| ⃗ || ⃒⃗||⃒ ⃒ ⃒ = ⃒ ⃒ = || cos β ⃒⃒ ⃒⃒ = || cos β ⃒ √︁⃒ =⃒⃒⃒||⃒ cos β ⃒⃒ ⃒2 ⃗||(2.7)⃒ ⃒= ⃒|| ⃒ −α ⃗ ,⃒⃒2⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃗/2 ⃒⊥ −α⃗⊥[︁]︁2⃒ ⊥ ⃒2 −α⃗⊥⃗ 4π ⃒ ⃗⊥ ⃒ ⃒ ⃗⊥ ⃗⊥ ⃒⃒⊥ ⃒ ⃗⊥ ⃒⊥⃒ ⃒ ⃒ .√====⃒ ⃒ ⃒ ⃒⃒⃒ ⃒⃒⊥⃒⃒[︁ [︁]︁]︁ [︁]︁⃗⃗⃗⃗ ∇⃗ и ∇ [⃗α⃗] мож­Ввиду того, что |⃗α| ≪ ||, слагаемыми вида α[︁ [︁]︁]︁ [︁[︁ ]︁]︁⃗⃗ .

Использование метода⃗ и ∇⃗но пренебречь по сравнению с ⃗ ∇⃗медленно меняющихся амплитуд, а также приближение геометрической оптики,предполагает[︁ [︁]︁]︁светового пучка на собственной апертуре. Поэтому слагаемые ви­⃗ ∇⃗⃗ будут отброшены [85]. Малость тех или иных членов в уравнениида ∇будет обозначаться зачёркиванием крест-накрест.Для вывода уравнений связанных мод необходимо подставить пробное ре­шение (2.6) в волновое уравнение (2.3) с возмущённой диэлектрической проница­емостью, а также учесть дисперсионные соотношения (2.5).

Ввиду√︁ громоздкости√||выражений, индексы || и ⊥, а также знаменатель вида ⊥ и cos β , быливременно опущены. Рассмотрим волновое уравнение только для одного из ти­пов поляризации, т.к. для другого оно будет тем же с точностью до указанных40множителей. Левая часть уравнения (2.3) будет выглядеть следующим образом:]︁]︁∑︁ [︁ [︁−⃗α⃗/2 (⃗⃗−ω )⃗⃗∇ ∇⃗ =−(︁ [︁ [︁]︁]︁ X1 X[︁XX[︁X⃗]︁]︁⃗⃗XXX⃗ ∇=− ∇⃗ − α⃗X +X2]︁ 1[︁ X [︁]︁]︁[︁[︁]︁]︁ XX1 X[︁XXXX⃗⃗⃗⃗⃗XXX XαX⃗XX]X + [⃗α [⃗α⃗ ]] −+ ∇X XX + ∇ ⃗ − ∇ [⃗⃗∇2)︂4[︁]︁[︁[︁]︁]︁[︁[︁]︁]︁⃗ ⃗⃗ − ⃗ ⃗⃗− ⃗ [⃗α⃗ ] − α.22∑︁−⃗α⃗/2 (⃗⃗−ω )(2.8)Правая часть уравнения (2.3), не учитывающая возмущения тензора ди­электрической проницаемости акустической волной, имеет вид:1 2 ̂︀′ ⃗1 2 ̂︀′′ ⃗(ε ) + 2 2 (ε ) =2 2 [︃]︃⊥22∑︁ −⃗α ⃗/2 (⃗⊥⃗−ω )ωω√=−⊥ 2 (ε̂︀′⃗⊥ ) + ⊥ 2 (ε̂︀′′⃗⊥ ) −⊥[︃]︃22∑︁ −⃗α|| ⃗/2 (⃗||⃗−ω )ωω√︁|| 2 (ε̂︀′⃗|| ) + || 2 (ε̂︀′′⃗|| ) .−|| cos β(2.9)Поскольку в возмущённой среде величина ε̂︀′ заменяется на [ε̂︀′ +̂︁ cos(⃗⃗ − Ω)], то косинус может быть представлен в виде суммы двух∆ε⃗ представлено в видекомплексных экспонент.

Так как электрическое поле ⃗ −Ω)̂︁ ⃗ (⃗двух бесконечных сумм (2.6), то можно сдвинуть первую из них ∆ε⃗ )̂︁ ⃗ (Ω−⃗на одну единицу влево, а вторую ∆ε– на одну единицу вправо:]︁1 2 [︁ ̂︁⃗⃗∆ε cos(⃗ − Ω) =2 2{︃∑︁ (ω−1 + Ω)2⊥⊥⃗⊥⃗⊥ −1 −⃗̂︁=−∆ε⃗ √ α−1⃗/2 [(−1 +)⃗−(ω−1 +Ω)] +22⊥⎫⎪||⎬||||⃗⃗−1||−⃗α−1⃗/2 [(−1 +)⃗−(ω−1 +Ω)]̂︁+ ∆ε⃗−1 √︁−⎪||⎭(2.10)−1 cos β−1{︃∑︁ (ω+1 − Ω)2⊥⊥⃗ −(ω+1 −Ω)]/2 [(⃗+1−)⃗⊥ +1 −⃗α⊥̂︁+1⃗√+−∆ε⃗2⊥2⎫⎪||⎬||||⃗ −(ω+1 −Ω)]+1||−⃗α+1⃗/2 [(⃗+1 −)⃗̂︁+ ∆ε⃗+1 √︁.⎪||⎭+1 cos β+141Для соблюдения условия стационарности в (2.10) необходимо наложитьследующее условие на частоту электромагнитной волны ω = ω0 + Ω.

Такимобразом, можно получить следующее соотношение, которое является важнымпромежуточным результатом, используемым в последующих выкладках:)︁∑︁ [︂ (︁⊥⃗⊥⊥ ⃗⊥ ⊥⊥ ⃗ ⊥ ⊥⃗⃗√[∇ [ ⃗ ]] + [ [∇ ⃗ ]] ( ⃗−ω ) −⃗α ⃗/2 +−⊥]︃(︁)︁||||⃗ || [⃗||⃗|| ]] + [⃗|| [∇⃗ ||⃗|| ]] (⃗ ⃗−ω ) −⃗α ⃗/2 =[∇+ √︀|| cos β{︃∑︁ ω2⊥⊥⃗ −ω ] −⃗⊥ −1 [(⃗−1+)⃗α⊥/2̂︁−1⃗√∆ε⃗=−+2⊥2⎫⎪||⎬(2.11)−1||||⃗⃗||[(−1 +)⃗−ω ] −⃗α−1⃗/2̂︁−+ ∆ε⃗−1 √︁⎪||⎭−1 cos β−1{︃∑︁ ω2⊥⊥⊥⃗ −ω ] −⃗⊥ +1 [(⃗+1−)⃗̂︁∆ε⃗ √ α+1⃗/2 +−22⊥⎫⎪||⎬||||⃗⃗+1||[(+1 −)⃗−ω ] −⃗α+1⃗/2̂︁.+ ∆ε⃗+1 √︁⎪||⎭+1 cos β+12.1.3 Двумерные уравнения связанных модВыведенное в параграфе 2.1.2 уравнение (2.11), описывающее взаимодей­ствие электромагнитных волн с акустическим полем, является векторным диф­ференциальным уравнением, в котором идёт суммирование по с множителемexp(−ω ).

Так как данное соотношение выполняется в любой момент времени,то -ое слагаемое в левой части равно правому слагаемому в правой части.Следуя [38], в работе использованы следующие обозначения:1) векторы расстройки ⃗η:⃗⊥⃗⊥ ⃗⃗η⊥ = +1 − − ,⃗⊥⃗ || ⃗⃗η||⊥ = +1 − − ,||⃗⃗η|| = ⃗+1− ⃗|| − ,⃗ || − ⃗ ⊥ − ;⃗⃗η⊥|| =+1(2.12)422) волновые векторы электромагнитных волн в -ом порядке ⃗ :ω ⊥ ⊥⊥⃗ ⊥ = 2π ⊥ ⃗= ⃗,λω || ||||⃗ || = 2π || ⃗= ⃗ ,λ |⃗⊥ | = 1,|⃗ || |(2.13)= 1;3) коэффициенты связи:̂︁ ⊥π ⃗⊥ ∆ε⃗,λ ⊥|| ̂︁ ||⃗ ∆ε⃗+1π||, = √︁||||λ cos β +1 cos β+1⊥ =(2.14)||̂︁ π ⃗⊥ ∆ε⃗= √︁;λ||⊥ cos β||4) единичный вектор Умова-Пойтинга ⃗ :[⃗|| [⃗ || ⃗|| ]] = ⃗|| cos β .(2.15)Как показано в [38], двумерная модель АО взаимодействия в двулучепре­ломляющей среде справедлива, только если: 1) плоскость АО взаимодействиясодержит оптическую ось; 2) плоскость АО взаимодействия ортогональна опти­ческой оси.

В этом случае:|| ||⃗ || , ∇⃗ ⊥ – лежат в одной плоскости,⃗|| , ⃗⊥ , ∇1. ⃗ , ⃗ , ⃗⊥ , 2. ⃗⊥ – ортогонален этой плоскости.Однако, можно показать, что полученные ниже соотношения будут вы­полняться, если потребовать ортогональности поляризаций электромагнитныхволн обоим волновым векторам:(⃗⊥⃗⊥ ) = (⃗||⃗|| ) = (⃗⊥⃗|| ) = (⃗||⃗⊥ ) = 0.(2.16)Выражение (2.16) справедливо только в том случае, когда среда являетсяоптически изотропной, или если волновые вектора электромагнитных волн в||-ом дифракционном порядке ⃗ ||⃗⊥ параллельны.Для вывода уравнений связанных мод, описывающих изменение комплекс­ной амплитуды ⊥ , необходимо скалярно умножить уравнения (2.11) на вектор43поляризации ⃗⊥ и использовать выражение для двойного векторного произведе­ния [⃗[⃗⃗]] = ⃗(⃗⃗) − ⃗(⃗⃗):⃗ ⊥ [⃗⊥⃗⊥ ]] + ⃗⊥ [⃗⊥ [∇⃗ ⊥⃗⊥ ]] =⃗⊥ [∇⃗ ⊥⃗⊥ ) − (⃗⊥⃗⊥ )(∇⃗ ⊥⃗⊥ ) + (⃗⊥ ∇⃗ ⊥ )(⃗⊥⃗⊥ )−= (⃗⊥⃗⊥ )(∇(2.17)⃗ ⊥ ) = −2(⃗⊥ ∇⃗ ⊥ ),− (⃗⊥⃗⊥ )(⃗⊥ ∇⃗ || [⃗||⃗|| ]] + ⃗⊥ [⃗|| [∇⃗ ||⃗|| ]] =⃗⊥ [∇⃗ ||⃗|| ) − (⃗⊥⃗|| )(∇⃗ ||⃗|| ) + (⃗⊥ ∇⃗ || )(⃗||⃗|| )−= (⃗⊥⃗|| )(∇(2.18)⃗ || ) = 0.− (⃗⊥⃗|| )(⃗|| ∇Используя выражения (2.12)–(2.14), можно получить уравнение, описыва­ющее изменение амплитуды ⊥ в направлении распространения ⃗⊥:⃗ ⊥(⃗⊥ ∇ )||⊥|| [︁ ⊥ ⊥ −⃗η⊥−1⃗ (⃗α⊥ −⃗α⊥−1 )⃗/2⊥||= −1 + −1−1 −⃗η−1⃗ (⃗α −⃗α−1 )⃗/2 +2]︁||⊥||||−⃗α+1 )⃗/2−⃗α⊥)⃗/2α⊥⊥ ⊥⃗ (⃗α⊥⃗η ⃗ (⃗⃗η⊥+1+ +1 +1 .+ +1 (2.19)||Вывод уравнения для комплексной амплитуды производится аналогич­||ным образом, умножая соотношение (2.11) скалярно на ⃗ , где – некотороепроизвольное число:⃗ ⊥ [⃗⊥⃗⊥ ]] + ⃗|| [⃗⊥ [∇⃗ ⊥⃗⊥ ]] =⃗|| [∇⃗ ⊥⃗⊥ ) − (⃗|| ⃗⊥ )(∇⃗ ⊥⃗⊥ ) + (⃗|| ∇⃗ ⊥ )(⃗⊥⃗⊥ )−= (⃗|| ⃗⊥ )(∇(2.20)⃗ ⊥ ) = 0,− (⃗|| ⃗⊥ )(⃗⊥ ∇⃗ || [⃗||⃗|| ]] + ⃗|| [⃗|| [∇⃗ ||⃗|| ]] =⃗|| [∇⃗ ||⃗|| ) − (⃗|| ⃗|| )(∇⃗ ||⃗|| ) + (⃗|| ∇⃗ || )(⃗||⃗|| )−= (⃗|| ⃗|| )(∇(2.21)⃗ || ) = 2⃗|| [∇⃗ || [⃗||⃗|| ]] = −2[⃗|| [⃗||⃗|| ]]∇⃗ || .− (⃗|| ⃗|| )(⃗|| ∇Для каждого члена ряда (2.11) под номером выберем = .

В этом||случае уравнение для выглядит следующим образом:⃗ || ) =(⃗|| ∇|||||||| [︁ ⊥ −⃗η⊥||⊥||||= −1 −1⃗ (⃗α −⃗α−1 )⃗/2 + −1 −1 −⃗η−1⃗ (⃗α −⃗α−1 )⃗/2 +2]︁||⊥|||||||| ⊥⃗η ⃗ (⃗α −⃗α⊥)⃗/2|| ||⃗η ⃗ (⃗α −⃗α+1 )⃗/2+1+ +1 .+ +1 (2.22)44Следует отметить, что в некоторых случаях множитель exp(−⃗α⃗/2) от­сутствует в аналитическом решении, например, при обратной коллинеарной ди­||(*)⊥(*)фракции [1]. Пусть { , } является решением системы уравнений (2.19)и (2.22).

Характеристики

Список файлов диссертации