Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий - Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах (1103598), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Сосуды соединены трубкой с краном (рис. 6.18).Определим изменение энтропии системыпосле открытия крана. До открытия крана сум1марная энтропия равна удвоенной энтропиигаза в одном из сосудов:Sдо = 2S1 = 2[S0 + CVln T + Rln V].(6.52)После открытия крана температура не изме1нилась, и два моля газа, занимая каждый объ1ем 2V, имеют энтропиюSпосле = 2[S0 + CVln T + Rln(2V)].(6.53)Рис. 6.18Два теплоизолированных сосу1да, соединенные трубкой с кра1ном, имеют одинаковый объем Vи содержат по одному молю од1ного и того же идеального газапри температуре ТГЛАВА 6.
ЭНТРОПИЯ. ВТОРОЕ И ТРЕТЬЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ183Таким образом, изменение энтропии равноDS = Sпосле – Sдо = 2Rln 2 > 0.С другой стороны, после открытия крана никакого термодинамическо1го процесса не происходит, и энтропия газа не должна измениться. В чемошибка?Ответ: в формуле (6.53) в третьем слагаемом под знаком логарифма дол1жен стоять молярный объем.
При решении задачи изменение числа молей неучтено. Учитывая, получаем:1 22V 4Sпосле 5 6 38S0 7 CV ln T 7 R ln5 2[S0 7 CV ln T 7 R ln V ].6 9Поэтому правильный ответ: DS = 0.Задача 6.19. Две равные массы m0 одного и того же газа смешиваются.В первом случае до смешения газы имели одинаковую температуру Т0, норазное давление: р2 = 2р1.
Во втором случае до смешения газы имели одина1ковое давление р0, но разную температуру: Т2 = 2Т1. В каком случае измене1ние энтропии больше? Теплообмена с окружающей средой не происходит.Решение. Для вычисления изменения энтропии используем для каждогоиз газов соотношение4S 5m0 2p1 3T1C ln 6 R ln 8 ,M 79 p Tpгде T¢ и p¢ — установившиеся температура и давление, а Т и р — их началь1ные значения.В первом случае из уравнений состояния находим установившееся давле1ние смеси:m1p1V1 2 0 RT03M3m2 p1 p2.p2 V2 2 0 RT06 5 p4 2Mp1 7 p232m0p4(V1 7 V2 ) 2RT0 338MИзменение энтропии смеси:4ST 5 4S1 1 4S2 5 6m0 22 p22 p1 3 m0( p1 1 p2 )21 ln5R 7lnRln.M 9 p1 1 p2p1 1 p2 8 M4 p1 p2Во втором случае установившаяся температура смеси находится из усло1вия отсутствия теплообмена с окружающими телами.
Газ при этом работы несовершает, и, следовательно, внутренняя энергия системы не изменяется:mm2 0 CV T 1 2 0 CV (T1 3 T2 ). Отсюда T¢ = (T1 + T2)/2.MMИзменение энтропии во втором случае:5Sp 6 5S1 1 5S2 6184m0m(T 1 T )2T2T2Cp 3ln 1 ln 4 6 0 Cp ln 1 2 .78MT2 M4T1T29 T1МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХУчитывая соотношение параметров газов до перемешивания (p2 = 2p1 иT2 = 2T1), получаем:DSp/DST = Cp/R > 1.Ответ: DSp/DST = Cp/R > 1.6.6. ЭНТРОПИЯПАРАМАГНИТНОЙ СИСТЕМЫЗадача 6.20. Энтропия системы, описанной в задаче 2.1. Парамагнитнаясистема спинов находится при температуре Т во внешнем постоянном маг0нитном поле с индукцией В (рис.
6.19). Магнитный момент m0 каждого спинаможет быть направлен либо вдоль вектора индукции В магнитного поля:(+m0), либо против: ¯(–m0). Число спинов в системе N ? 1. Найти энтропиюсистемы при условии m0В/(kBT) = 1.Решение. Энтропия системы зависит от температуры и индукции магнит0ного поля: магнитное поле упорядочивает систему спинов, стремясь ориен0тировать их по полю m0 В, тепловое движение разупорядочивает магнит0ные моменты.Пусть в равновесном состоянии система имеет магнитный момент 11 (без0размерный магнитный момент 11 12 11 2 3 20 45По определению (6.1), энтропия системы связана с числом микросостоя012ний 1211 3 с заданным магнитным моментом 11221 3 1 3B 45 2221 36(6.54)Число микросостояний G(m) с магнитным моментом m рассчитывалось взадаче 2.1.
Было получено, что в общем случае G(m) определяется числомсочетаний (2.8):( N 1 m )/22(m) 3 CN.В частном случае, при N ? 1 и m0B/(kВT) = 1 (т. е. в слабых полях или придостаточно больших температурах, когда магнитный момент системы m мал),G(m) принимает вид распределения Гаусса (2.15):m2 23( N, m) 4 3( N,0)exp 165.8 2N 79(6.55)Значение равновесного магнитногомомента 11 12 11 2 3 20 при температуре Тбыло получено в задаче 2.5 (2.54). В об0щем случае:21 1 321 4 3 23 5 0 6 47 4B5 8а в частном случае, при m0B/(kВT) = 1:21 2 310 124B5(6.56)Рис.
6.19Парамагнитная система N спинов, обла0дающих магнитными моментами m0, на0ходится при температуре Т во внешнемпостоянном магнитном поле с индукци0ей BГЛАВА 6. ЭНТРОПИЯ. ВТОРОЕ И ТРЕТЬЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ185Подставляя (6.55) в (6.54) при значении 11 (6.56), получаем энтропиюбольшой (N ? 1) спиновой системы при условии m0B/(kВT) = 1:2S(T, B) 4 kВ ln 5(0) 62kВ 2 10 B 3k 21 B 34 S0 6 N В 7 0 8 .N2N 79 kВT 82 9 kВT (6.57)Замечание. В общем случае энтропия складывается из немагнитной имагнитной частей. Энтропия S0 для реальных парамагнитных систем (солей)также является функцией температуры, так как зависит от тепловых колеDбаний решетки и от взаимодействия между магнитными моментами.2k 21 B 3Ответ: S(T, B) 4 S0 5 N В 6 0 7 .2 8 kBT 93адача 6.21.
Парамагнитную спиновую систему — соль железоаммониеDвых квасцов — при температуре T1 = 1 К изотермически (процесс 1–2) наDмагничивают, увеличивая индукцию магнитного поля до В2 = 10 кГс. Затемпроводят адиабатический процесс (2–3) размагничивания. Полагая величиDну остаточной индукции поля B3 = 100 Гс, определить температуру соли Т3 вконце процесса размагничивания.Замечания.1. Адиабатическое размагничивание — это метод охлаждения для полуDчения температур ниже 1 К (до 10–1–10–3 К).2. Парамагнитная соль находится в жидком гелии, а охлаждение до ~1 Кот температуры жидкого Не 4,2 К производится путем откачки паров гелия,т. е.
путем уменьшения давления насыщенных паров гелия.3. Квасцы — это кристаллогидраты (продукты присоединения молекулводы к атомам или ионам) двойных сульфатов, имеющие общую формулуM[Э(SO4)2] × 12H2O, где М — одновалентный катион, Э — трехвалентный меDталл. Железоаммониевые квасцы NH4Fe(SO4)2×12H2O — фиолетовые кристалDлы, имеющие плотность 1,71 г/см3 и температуру плавления 40°С. В раствоDре практически нацело диссоциируют на составляющие ионы: катионы NH41и Fe3+ и анионы SO241 .Решение.
На S–TDдиаграмме качественно изобразим оба процесса, осноDвываясь на следующих рассуждениях.В процессе 1–2 энтропия уменьшается, так как магнитное поле упорядоDчивает систему. Чтобы энтропия оставалась постоянной в адиабатическомпроцессе 2–3, увеличение беспорядка при уменьшении магнитного полядолжно компенсироваться уменьшением беспорядка за счет понижения темDпературы. Зависимость молярной энтропии Sm(T) железоаммониевых квасDцов от температуры при разных значениях индукции магнитного поля изоDбражена на рис. 6.20, где заштрихована область, соответствующая преоблаDданию вклада в энтропию тепловых колебаний.Рассчитаем Т3 в рамках модели спиновой системы, рассмотренной в преDдыдущей задаче. Постоянство энтропииS(T, B) 4 S0 5 N186kВ22 10 B 368 kВT 792МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХв процессе 2–3 приводит к соотношениюB2 B31,T1 T3где В3 — остаточная индукция магнитного поляв образце, обусловленная магнитным взаимо/действием моментов друг с другом.Численная оценка температуры T3:T3 = T1B3/B2 = 0,01 К.Замечание.
В приведенном примере частич/ки парамагнитной соли обладали магнитнымимоментами, обусловленными электронами и ихсобственными магнитными моментами. Одна/ко, если вместо магнитных моментов электро/нов использовать магнитные моменты ядер, тов процессе ядерного магнитного размагничива/ния можно достигнуть предельно низких тем/ператур ~10–7 К.Ответ: T3 = T1B3/B2 = 0,01 К.Рис. 6.20Зависимость молярной энтропииSm железоаммониевых квасцовот температуры при изотерми/ческом намагничивании (про/цесс 1–2) и адиабатическом раз/магничивании (процесс 2–3). Навставках показано направлениемагнитных моментов в состоя/ниях 1 и 2 (в рамках идеализи/рованной модели, когда каждыймомент может быть направленлибо вверх, по направлению ин/дукции В, либо вниз — противнаправления В)Приложение 6.1.ОБ ЭНТРОПИИ И СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЯХБИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМВ гигантской фабрике естественных процессов прин/цип энтропии занимает место директора, который пред/писывает вид и течение всех сделок.
Закон сохраненияэнергии играет лишь роль бухгалтера, который приво/дит в равновесие дебет и кредит.Р. ЭмденЭпиграфом служит вывод, который приводит Роберт Эмден в своей за/метке «Why do we have Winter Heating?» (Nature, 141, 908, 1938). Приведемнекоторые рассуждения из этой заметки: «На вопрос — почему мы топимзимой? — неспециалист ответит: чтобы сделать комнату теплее; знаток тер/модинамики выразится, возможно, таким образом: чтобы подвести недо/стающую энергию. В таком случае правым окажется профан, а не ученый.<...> В соответствии с фактическим положением вещей предположим, чтодавление воздуха в комнате всегда равно атмосферному.
Энергия единицымассы воздуха в комнате равнаu 1 CV Tи, следовательно, энергия единицы объема равнаu1 1 CV 2Tили, при учете уравнения состояния (М — молярная масса):C Mu1 1 Vp.RГЛАВА 6. ЭНТРОПИЯ. ВТОРОЕ И ТРЕТЬЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ(6.58)187Следовательно, количество энергии в комнате не зависит от температуры, полностью определяясь барометрическим давлением. Вся энергия,которую мы вводим в комнату при отоплении, уходит через поры в стенахнаружу.Почему же все2таки мы топим? — По той же самой причине, по которойжизнь на Земле была бы невозможна без солнечного излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
