Автореферат (1103156), страница 5
Текст из файла (страница 5)
, Ad , V — Гёльдер-непрерывные Mn (C)значные функции с компактным носителем в D. Предположим, что E > 0и E не является собственным значением Дирихле для операторов LA,V и−∆ в D, где A = (A1 , . . . , Ad ). Тогда справедлива формулаZ Z−df (k, l) = (2π)e−ilx (ΛA,V − Λ0,0 )(x, y, E)ψ + (y, k) dy dx,(32)∂D ∂D21где k, l ∈ Rd \ (0 ∪ E + ), k 2 = l2 = E, и уравнениеZψ + (x, k) = eikx + A+ (x, y, k)ψ + (y, k) dy,x ∈ ∂D,(33)∂DA+ (x, y, k) =ZG+ (x − z, k)(ΛA,V − Λ0,0 )(z, y, E) dz,x, y ∈ ∂D,∂Dгде k ∈ Rd \(0∪E + ), k 2 = E. Кроме того, уравнение (33) при фиксированномk является однозначно разрешимым уравнением Фредгольма второго родаотносительно ψ ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)) при любом фиксированном β ∈ (0, 1).Аналогичные формулы и уравнения справедливы для нахождения обобщённых решений рассеяния и амплитуд рассеяния.Заметим, что на практике уравнения вроде (33) особенно эффективно решаются методом последовательных приближений.
Для применения этого метода требуется, чтобы функция A+ (x, y, k) была достаточно мала. В частности, это справедливо, если коэффициенты A и V малы. Однако на практикечасто возникает случай, когда коэффициент A мал, а коэффициент V близокк некоторому известному «фоновому» коэффициенту V 0 . В параграфе 4.2мы приводим формулу (32) и уравнение (33) в этом более общем случае, чтоделает их более применимыми на практике. Вывод этих формул и уравненийпроводится в параграфах 4.3 и 4.4.Формула (32) получается из явной формулы (24) с использованием второйформулы Грина. Аналогично, уравнение (33) выводится из интегральногоуравнения (22) и второй формулы Грина.
Таким же способом доказываютсяаналоги формул (32) и (33) в случае, когда E ∈ C и присутствует ненулевой«фоновый» потенциал V 0 .Для доказательства того, что уравнение (33) является уравнением Фредгольма второго рода, мы переписываем его операторной формеψ + = eikx + G+ (ΛA,V − Λ0,0 )ψ + ,(34)ΛA,V − Λ0,0 = NA,V SA,V .(35)Здесь оператор G+ обладает ядром G+ (x−y, k), SA,V — оператор, отображающий функцию f на ∂D в решение ψ уравнения (17) в области D с граничным22условием ψ|∂D = f , оператор NA,V определяется формулойZ(NA,V ψ)(x) =∂Γ(x, y, E) LA,V − L0,0 ψ(y) dy,∂νxx ∈ ∂D,Dгде Γ — функция Грина задачи Дирихле для оператора ∆ + E в области D,а νx — единичная внешняя нормаль к ∂D в точке x.Следующие отображения являются линейными и непрерывными:SA,VNA,ViG+C 1,β (∂D) −→ C 1 (D) −→ C 2 (∂D) ,→ C 1,β (∂D) −→ C 1,β (∂D),(36)где i обозначает вложение, а пространства функций подразумеваются Mn (C)значными.
Учитывая компактность оператора i и пользуясь представлениями(34) и (35), мы получаем, что уравнение (33) является уравнением Фредгольма второго рода в C 1,β (∂D, Mn (C)).В пятой главе мы приводим два алгоритма приближённого решения обратной задачи рассеяния 4 для уравнения (17) в R2 со скалярными коэффициентами A1 , A2 , V и при фиксированной энергии E > 0.
Первый алгоритмоснован на решении нелокальной задачи Римана–Гильберта. Численные результаты, сообщённые в докладе [21], показывают, что этот метод успешноработает в случае произвольных ограниченных коэффициентов A, V с компактным носителем. Второй алгоритм получается линеаризацией первого вслучае малых коэффициентов A, V . Сходимость линеаризованного методапри E → ∞ полностью доказана, в то время как теоретическое обоснование сходимости нелинеаризованного алгоритма составит содержание однойиз будущих статей.Первый алгоритм приводится в параграфе 5.1 и выводится в параграфе 5.3. Для его формулировки нам потребуется ввести несколько обозначений. Через Adiv , V div обозначим пару коэффициентов, связанных с коэффициентами A, V калибровочным преобразованием (25a), (25b) и удовлетворяющих условию ∇ · Adiv = 0 (такая пара коэффициентов определяется единственным образом).
Первый алгоритм позволяет приближенно восстановитьAdiv , V div по амплитуде рассеяния f .Пусть E > 0 зафиксировано. Тогда амплитуда рассеяния f может рассматриваться как функция на торе T 2 = T × T , где T = {λ ∈ C | |λ| = 1}.23Определим следующие операторы, следуя [24]:λ00λ(P± (λ)u)(λ ) = −πi u(λ )χ ±i 00 −f (λ00 , λ0 )|dλ00 |,λλT Z0λλ(Q± (z)u)(λ) = πi h± (λ, λ0 )e(λ, λ0 , z)χ ±i 0 −u(λ0 )|dλ0 |,λλT√ e(λ, λ0 , z) = exp −i 2E (λ − λ0 )z̄ + (λ−1 − λ0−1 z ,Z1u(ξ)(C± u)(λ) =dξ,2πi T ξ − λ(1 ∓ 0)0Z00B(z) = C+ Q− (z) − C− Q+ (z),(37)(38)(39)(40)(41)где χ — функция Хевисайда, |dλ| = dλ/(iλ). Функции h± из формулы (38)определяются ниже.
Обозначим ∂xk = ∂/∂xk , z = x1 + ix2 , ∂z = 21 (∂x1 − i∂x2 ),∂z̄ = 21 (∂x1 + i∂x2 ), curl = (−∂x2 , ∂x1 ).Алгоритм 1. Пусть f — амплитуда рассеяния для оператора LA,V приdivфиксированной энергии E > 0. Определим Adivappr , Vappr по следующей схеме:divf −→ h± −→ µ+ −→ µ± −→ Adivappr , Vappr .(42)Функции h± , µ+ и µ± последовательно находятся из следующих уравнений(43), (44) и явной формулы (45):h± (λ, λ0 ) + (P± (λ)h± (λ, ·))(λ0 ) = f (λ, λ0 ),µ+ (z, λ) + (B(z)µ+ (z, ·))(λ) = 1,(λ, λ0 ) ∈ T 2 ,z ∈ C, λ ∈ T,µ± (z, λ) = µ+ (z, λ) + (Q± (z)µ+ (z, ·))(λ),z ∈ C, λ ∈ T.(43)(44)(45)divЗатем коэффициенты Adivappr и Vappr определяются с помощью формул Z1Adivcurl ln µ+ (z, ζ)|dζ| ,appr (x) =2T√ZEdivdiv2Vappr (x) = 2|Aappr (x)| +∂z µ− (z, ζ)dζ2π TZZ√dζ+ E∂z̄µ+ (z, ζ) 2µ+ (z, ζ)|dζ| .ζTT(46)(47)Теорема 6. Пусть E > 0 и z ∈ C зафиксированы.
Пусть f ∈ C ∞ (T 2 )1и kf kL2 (T 2 ) < 6π. Тогда уравнение (43) однозначно разрешимо относительно24h± ∈ L2 (T 2 ), а уравнение (44) однозначно разрешимо относительно µ+ (z, ·) ∈L2 (T ). Кроме того, знаменатель дроби в формуле (47) отличен от нуля приdivвсех z ∈ C, функции Adivappr и Vappr ограничены, убывают на бесконечности иdiv соответствуетудовлетворяют ∇·Adivappr = 0. Наконец, оператору LAdivappr ,Vapprамплитуда рассеяния f при энергии E.Заметим, что требования на гладкость и малость функции f в теореме 6являются завышенными. Также заметим, что вычисление функций Adivappr иdivVappr в различных точках производится независимо, что делает алгоритм 1 хорошо параллелизуемым. Кроме того, результаты, сообщённые в докладе [21],свидетельствуют о том, что при стремлении E к бесконечности коэффициdivdivdivенты Adiv.
Теоретическое обоснованиеappr , Vappr поточечно сходятся к A , Vсходимости будет проведено в одной из будущих статей.Укажем основные идеи, лежащие в основе алгоритма 1. Мы рассматриваем обобщённые решения рассеяния ψ(x, k), k ∈ KE , KE = {k ∈ C2 \ R2 |k 2 = E}, уравнения (17) в R2 , восходящие к Л. Фаддееву. Функции ψ(x, k)обладают следующей асимптотикой по k = (k1 , k2 ) при фиксированном x:± ±1±1ψ x, k(λ) = eik(λ)x µ̃±+µ̃λ+o(|λ|),01k1 (λ) = 12 E 1/2 (λ + λ−1 ),|λ|± → 0,k2 (λ) = 2i E 1/2 (λ−1 − λ),(48)(49)±где µ̃±j = µ̃j (x) — некоторые функции.
Заметим, что отображение (49) является биекцией C \ T на KE . Подставляя выражение (48) в уравнение (17),приравнивая коэффициенты при равных степенях λ и пользуясь соотношением ∇ · Adiv = 0, мы получаем выражения для коэффициентов Adiv и V div в±терминах функций µ̃±0 и µ̃1 .±Теперь необходимо найти функции µ̃±0 и µ̃1 .
Можно показать, что функция µ̃(x, k) = e−ikx ψ(x, k) равномерно ограничена по переменным x и k, а¯также удовлетворяет ∂-уравнению∂µ̃(x, k(λ) = r(x, λ)µ̃ x, k(−1/λ̄) ,∂ λ̄λ ∈ C \ T,(50)где функция r при больших E мала равномерно по x и λ. Скачки функцийµ̃± (x, k(λ)) = µ̃(x, k(λ ± 0λ)) на окружности T связаны соотношениемZµ̃+ (x, k(λ)) = µ̃− (x, k(λ)) + ρe(x, λ, λ0 )µ̃− (x, k(λ0 )) |dλ0 |, λ ∈ T,(51)T25где функция ρe выражается через амплитуду рассеяния f . Мы находим приближённые значения µ± функций µ̃± , считая, что они удовлетворяют уравнению (50) c r ≡ 0 и связаны соотношением (51). Задача нахождения такихфункций µ± известна как нелокальная задача Римана–Гильберта.±±Зная µ± , мы можем найти приближенные значения µ±0 и µ1 функций µ̃0и µ̃±1 из формулы (48), используя формулу Коши–Грина.В параграфе 5.2 мы приводим формулы второго алгоритма, которыйможет использоваться в случае малости коэффициентов A и V .
Этот алгоритм можно получить двумя разными способами. Первый способ заключается в рассмотрении линеаризованной обратной задачи рассеяния при малыхкоэффициентах A, V , когда вместо амплитуды рассеяния f рассматриваетсялинеаризованная амплитуда рассеянияZf lin (k, l) = (2π)−2 ei(k−l)x 2k · A(x) + V (x) dx, k, l ∈ R2 , k 2 = l2 = E.R2Коэффициенты A и V находятся с помощью обращения преобразования Фурье. Вывод второго алгоритма этим способом приводится в параграфе 5.4.Второй способ заключается в линеаризации первого алгоритма при малыхкоэффициентах.
Мы считаем, что имеется малый параметр ε и справедливаоценка |f (k, l)| ≤ Cε, k, l ∈ R2 , k 2 = l2 = E, C = const > 0, для амплитудырассеяния (в частности, амплитуда рассеяния удовлетворяет такой оценке,если коэффициенты A и V имеют порядок малости ε). Затем мы отбрасываем во всех формулах и уравнениях первого алгоритма слагаемые, порядоккоторых выше, чем ε. Этим способом второй алгоритм выводится в параграфе 5.5.В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации (см. раздел «основные результаты» автореферата), а также основныеперспективы разработки темы диссертации, мотивированные приложениями:1.
Применить обобщённую модель Хаутеккера—-Иохансена к исследованию производства в реальных отраслях, функционирующих в условияхглобализации. Исследовать объяснительный потенциал модели, её слабые и сильные стороны.2. Исследовать потенциал формализма распределения мощностей по технологиям для решения задачи составления межотраслевого баланса вусловиях замещения факторов.263. Адаптировать алгоритм акустической томографии для случая неполных данных. Исследовать возможность компенсировать малое числодетекторов большим числом рабочих частот.4. Обобщить алгоритм решения обратной задачи рассеяния на случай, когда известна лишь абсолютная величина амплитуды рассеяния (отсутствует информация о фазе). Соискатель начал работу над этой темойво время стажировки в университет г. Гёттинген осенью 2015 года.
Порезультатам стажировки подготовлен препринт.5. Обобщить алгоритм решения обратной задачи Дирихле–Неймана длякалибровочно-ковариантного оператора Шрёдингера на случай областей нетривиальной геометрии. В этом направлении автором опубликована работа [34], связанная с восстановлением римановой поверхностипо её оператору Дирихле–Неймана.БлагодарностьАвтор благодарен своему научному руководителю А.
А. Шананину и своемунаучному руководителю на период стажировок в Ecole Polytechnique Р. Г.Новикову за постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и замечания.Список литературы[1] Beylkin G. The inversion problem and applications of the generalizedRadon transform // Communications on Pure and Applied Mathematics. –– 1984. –– Vol. 37. –– P.
579–599.[2] Bochner S. Harmonic analysis and the theory of probability. –– Berkeleyand Los Angeles : University of California press, 1955.[3] Brown R. M., Salo M. Identifiability at the boundary for first-orderterms // Appl. Anal. –– 2006. –– Vol. 85, no. 6-7. –– P. 735–749.[4] Calderòn A. P. On an inverse boundary value problem // Seminar onnumerical analysis and its applications to continuum physics / Ed. byW. H Meyer, M. A. Raupp.
–– Rio de Janeiro : Sociedade Brasiliera deMatematica, 1980. –– P. 65–73.[5] Colton D., Kress R. Integral equation methods in scattering theory. –– NewYork : John Wiley, 1983.27[6] Eskin G., Ralston J. Inverse scattering problem for the Schrödinger equation with magnetic potential at a fixed energy // Commun. Math. Phys.
––1995. –– Vol. 173. –– P. 173–199.[7] Eskin G., Ralston J. Inverse scattering problems for Schrödinger operatorswith magnetic and electric potentials // Inverse problems in wave propagation. –– New York : Springer, 1997. –– Vol. 90 of IMA Vol. Math. Appl. ––P. 147–166.[8] Eskin G., Ralston J.
Inverse scattering problems for the Schrödinger operators with external Yang-Mills potentials // Partial differential equations and their applications (Toronto 1995). –– Providence : AMS, 1997. ––Vol. 12 of CRM. Proc. Lecture Notes. –– P. 91–106.[9] Guillarmou C., Tzou L. Identification of a connection from Cauchy dataon a Riemann surface with boundary // Geom. Funct.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
