Автореферат (1103156), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Указаны необходимые и достаточные условия единственности решенияобратной задачи Дирихле–Неймана, возникающей в модели акустической томографии движущейся жидкости.4. Получены формулы и уравнения, сводящие обратную задачу Дирихле–Неймана к обратной задаче рассеяния при фиксированной энергии.5. Предложен алгоритм приближённого решения соответствующей обратной задачи рассеяния. Приведена его линеаризованная версия в случаемалых коэффициентов.Теоретическая и практическая значимость. Первая часть настоящейработы посвящена развитию математического аппарата описания производства в отраслях в рамках формализма распределения мощностей по технологиям с учётом замещения ресурсов на микроуровне (т.е. в рамках обобщённоймодели Хаутеккера–Иохансена). Основным вкладом этой части работы можно считать следующие результаты:61. Задача характеризации тех отраслей производства, для которых возможно описание с помощью формализма распределения мощностей потехнологиям при учёте взаимного замещения ресурсов на микроуровне,сводится к явно проверяемым условиям (к теореме характеризации типа Бернштейна для обобщённого преобразования Радона).2.
Вопрос о единственности описания отрасли с помощью обобщённой модели Хаутеккера–Иохансена сводится к проверке элементарного математического условия в терминах производственной функции отраслина микроуровне. В случае единственности такого описания приводится явная формула получения микроописания отрасли (распределениямощностей по технологиям) по её макроописанию (по функции прибыли отрасли).Вторая часть настоящей работы посвящена вопросам единственности и восстановления в обратной задаче Дирихле–Неймана для калибровочно-ковариантного оператора Шрёдингера. В работе эта задача рассматривается в приложении к одной модели акустической томографии движущейся жидкости.Основным вкладом этой части работы являются следующие результаты:3. Приводятся явные формулы и уравнения, сводящие задачу восстановления параметров жидкости по граничным измерениям при фиксированной частоте к многомерной обратной задаче рассеяния при фиксированной энергии.4. Приводится алгоритм приближённого решения соответствующей обратной задачи рассеяния при фиксированной энергии по модулю подходящих калибровочных преобразований.5.
Показывается, что идентифицируемость параметров жидкости по граничным измерениям при нескольких частотах определяется частотнойзависимостью коэфициента поглощения. В случае идентифицируемостидемонстрируется, как избавиться от калибровочной неединственностии восстановить параметры жидкости, используя граничные измеренияпри нескольких частотах.Методы исследования. В диссертации используются различные методыфункционального анализа и теории уравнений в частных производных.
При7решении задач обращения и характеризации для обобщённого преобразования Радона используются методы гармонического анализа (аналога теориипреобразования Фурье) в Rn+ . При этом аналогом преобразования Фурье выступает преобразование Меллина.При решении обратной задачи Дирихле–Неймана для калибровочно-ковариантного оператора Шрёдингера, в частности, используются теория Фредгольма в банаховых пространствах, метод нелокальной задачи Римана–Гильберта и глобальные теоремы единственности для уравнения Лапласа с линейными или нелинейными возмущениями первого порядка.Научная новизна.
В диссертациии продолжается исследование обобщённой модели Хаутеккера–Иохансена, которая была предложена и начала исследоваться в работах [19, 29, 28]. Полученные теоремы обращения и характеризации для обобщённого преобразования Радона обобщают результаты изработы [10] на случай искривлённых поверхностей интегрирования, с однойстороны, и известную теорему Бернштейна–Бохнера о вполне монотонныхфункциях (см. [2]) со случая преобразования Лапласа на случай интегральных операторов типа Радона.Рассматриваемая модель акустической томографии сред с течениями вразличных частных случаях изучалась в работах [22, 17, 18] и [36]. В диссертации эта модель впервые рассматривается в случае, когда одновременноучитываются (а в некоторых из случаев, к тому же, предполагаются неизвестными) такие параметры жидкости, как скорость звука, скорость течения,плотность и коэффициент поглощения.Формулы и уравнения, сводящие обратную задачу Дирихле–Неймана кобратной задаче рассеяния, обобщают формулы и уравнения из работ [23,15, 16] на случай калибровочно-ковариантных операторов Шрёдингера.
Этирезультаты являются новыми даже в случае скалярных коэффициентов.Описываемый в диссертации алгоритм решения обратной задачи рассеяния при фиксированной энергии может рассматриваться как упрощённая иусовершенствованная версия алгоритма, упоминающегося в работе [14, с. 457]в случае самосопряжённых операторов Шрёдингера.Публикации.
По теме диссертации соискателем опубликовано 13 работ. Изних работы [41, 43, 44] опубликованы в российских журналах из перечня ВАКи не имеют соавторов. Работы [36, 32, 33, 37, 34] опубликованы в зарубеж8ных журналах, включенных в Web of Science и/или Scopus. Из них работы[32, 33] не имеют соавторов, работы [36, 37] выполнены в нераздельном соавторстве с Р. Г. Новиковым и подготовлены во время стажировок соискателяв Ecole Polytechnique (Франция), а работа [34] выполнена в нераздельном соавторстве с Г. М. Хенкиным. Кроме того, работа [31] опубликована в недавнооснованном журнале и не имеет соавторов, работы [38, 42] – тезисы докладов,а работы [39, 40] опубликованы в сборниках лучших курсовых и дипломныхработ.Апробация работы.
Основные результаты диссертации были представлены на следующих международных конференциях и семинарах:1. Конференция «МФТИ-55», 19.11-25.11.2012, г. Долгопрудный2. Семинар «Quasilinear equations and inverse problems», 2.08.2013, Москва3. Конференция «МФТИ-56», 25.11-30.11.2013, г. Долгопрудный4. Семинар «Quasilinear equations and inverse problems», 4.08.2014, Москва5. Конференция «МФТИ-57», 24.11-29.11.2014, г. Долгопрудный6. Семинар «Inverse Problems» , 2.11.2015, Göttingen University, Германия7.
Конференция «Quasilinear equations, inverse problems and their applications»,30.11-01.12.2015, Долгопрудный8. Семинар аспирантов, 22.01.2016, Ecole Polytechnique, Франция9. Конференция «Inverse problems for PDEs», 29.03-01.04.2016, Бремен, Германия10. Семинар «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», 23.05.2016, ЦЭМИ, Москва11. Семинар «Прикладные задачи системного анализа», 30.05.2016, МГУ,МоскваСодержание работыДиссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Эти пять главможно разделить на две независимые части.
Главы 1 и 2 посвящены исследованию обобщённого преобразования Радона, возникающего в обобщённой9модели Хаутеккера–Иохансена. Основные результаты главы 1 опубликованыв работах [42] и [44], а главы 2 — в работе [43].Главы 3–5 посвящены исследованию обратной задачи Дирихле–Нейманадля калибровочно-ковариантного оператора Шрёдингера и его частных случаев. Результаты главы 3 опубликованы в работах [33, 37, 31], главы 4 — вработе [32], а главы 5 — в работе [36].Ниже мы кратко изложим содержание глав 1–5.В первой главе диссертации мы определяем обобщённое преобразованиеРадона и интегральные операторы типа Радона и рассматриваем вопросы ихнепрерывности и характеризации.
В параграфе 1.1 мы приводим основные определения и постановки задач. Обобщённое преобразование Радона Rqопределяется следующей формулойZdSx(Rq f )(p) =f (x), p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Rn+ ,(1)−1|∇qp (x)|qp (1)Rn+ = {x = (x1 , . . . , xn ) | x1 > 0, . . . , xn > 0},(2)где qp (x) = q(p1 x1 , . . . , pn xn ), ∇ — стандартный градиент по переменнойx, dSx — поверхностная мера на гиперповерхности qp−1 (1) = x ∈ Rn+ |qp (x) = 1 , а функция q удовлетворяет следующим свойствам:q ∈ C 1 (Rn+ ), q > 0 и q(λx) = λq(x) при λ > 0, x ∈ Rn+ .(3)Оператор Rq является частным случаем обобщённого преобразования Радонав смысле [1].
Интегральные операторы Rqh определяются формулой(Rqh µ)(p) =Zh q(p1 x1 , . . . , pn xn ) µ(dx),p ∈ Rn+ ,(4)Rn+где h : R1+ → R. В частности, случаю h(t) = max{0, p0 − t} соответствуетфункция прибыли в обобщённой модели Хаутеккера–Иохансена:Z(Πq µ)(p0 , p) = max 0, p0 − q(p1 x1 , . . . , pn xn ) µ(dx), p0 > 0, p ∈ Rn+ . (5)Rn+В этой модели величины в формуле (5) интерпретируются следующим образом. Функция q описывает (микроуровневые) технологии производства в10терминах себестоимости единицы выпускаемой продукции, мера µ задаёт распределение мощностей по технологиям, а число p0 и вектор p представляютсобой цены за единицу выпускаемой продукции и производственных факторов, соответственно.Свойства (3) описывают неоклассические технологии производства общего вида, допускающие замещение производственных факторов.
Однакона практике технологии часто аппроксимируют стандартными функциями,идентифицируя параметры по статистическим данным. При этом выбор стандартных функций зависит от того, в какой мере производственные факторыдруг друга замещают.Наиболее используемая характеристика замещаемости ресурсов — эластичность их замещения. В общем случае её определение по статистическимданным затруднительно, и на практике делается предположение о её постоянности. Случай нулевой эластичности соответствует леонтьевским производственным технологиям, а случай единичной — производственной функции Кобба–Дугласа.
Функция Кобба–Дугласа является простейшей и наиболее используемой на практике производственной функцией, допускающейзамещение факторов, однако её область применения сильно ограничена. Кпримеру, имеются свидетельства, что в некоторых отраслях эластичность замещения труда и капитала может быть меньше одного. Как обобщение функции Кобба–Дугласа появилась так называемая производственная функция спостоянной эластичностью замещения (CES функция). CES-функциям соответствуют функции себестоимости вида q = qα , α ∈ [−∞, 1], гдеqα (x) = C (a1 x1 )α + · · · + (an xn )αq−∞ (x) = C min(a1 x1 , . . . , an xn ), α1,α ∈ (−∞, 1] \ 0,(6)q0 (x) = Cxa11 · · · xann ,и C, a1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
