Автореферат (1103156), страница 3
Текст из файла (страница 3)
., an > 0, a1 + · · · + an = 1. К настоящему времени CES-функциизавоевали популярность в теории производства, где они заменяют функцииКобба–Дугласа. Однако важным недостатком CES-функций является то, чтоони предполагают постоянную эластичность замещения между любой паройпроизводственных факторов. К.
Сато предложил рассматривать вложенныеCES производственные функции, позволяющие учитывать различные эластичности замещения между производственными факторами в различныхгруппах.11В диссертации рассматривается класс технологий с CES функциями себестоимости q и более общий класс производственных технологий, описываемых функциями себестоимости q вида (3), удовлетворяющими условию, чтомножества уровня функции q ограничены.(7)Заметим, что класс технологий, описываемых функциями q вида (3), (7), содержит линейные функции с положительными коэффициентами, CES-функцииqα с α ∈ (0, 1] и замкнут относительно композиции по части производственных факторов.Мы рассматриваем задачи характеризации и обращения для операторовRq и Rqh , которые формулируются следующим образом:Задача 1 (характеризация).
Найти необходимые и достаточные условия нафункцию F , при которых она представима в виде F = Rqh µ для некоторыхh, q и µ.Задача 2 (обращение). Найти необходимые и достаточные условия в терминах q и h, при которых операторы Rqh и Rq обратимы, и указать формулыобращения.В параграфе 1.2 мы приводим основные результаты, касающиеся непрерывности и характеризации операторов Rq и Rqh , а в параграфах 1.3–1.5мы доказываем эти результаты.
Операторы типа преобразования Радона, какправило, удаётся успешно изучать методами гармонического анализа. В случае анализа в Rn+ вместо преобразования Фурье используются прямое и обратное преобразования Меллина, которые определяются формуламиZn(M f )(z) = (2π)− 2xz−I f (x) dx, z ∈ Cn , I = (1, . . . , 1),(8)Rn+Zn(Mc−1 ϕ)(x) = i−n (2π)− 2x−z ϕ(z) dz, x ∈ Rn+ , c ∈ Rn ,(9)c+iRnгде возведение вектора в векторную степень понимается в покомпонентномсмысле. Оператор M естественно рассматривать на пространствах Lpc (Rn+ ),c ∈ Rn , p ∈ [1, ∞], аналогичных пространствам Lp (Rn ) в случае анализа вRn+ . Lpc (Rn+ ) определяется как пространство измеримых функций с конечной12нормойkf kp,c =RRn+|f (x)|p xpc−I dx1/p,p ∈ [1, ∞),kf k∞,c = inf{K ≥ 0 : |f (x)xc | ≤ K для п.в.
x ∈ Rn+ }.Для преобразования Меллина на пространствах Lpc (Rn+ ) справедливы аналогимногих теорем для преобразования Фурье на пространствах Lp (Rn ), см. §1.4.Основным результатом, касающимся непрерывности операторов Rq и Rqhвыступает следующая теорема. Она является аналогом проекционной теоремы для классического преобразования Радона, которая связывает преобразование Фурье функции с преобразованием Фурье её преобразования Радона.Теорема 1. Пусть q удовлетворяет (3) и (7).
Пусть f ∈ LpI−c (Rn+ ) принекоторых c = (c1 , . . . , cn ) ∈ Rn+ и p ∈ [1, ∞]. Пусть h ∈ L1α (R1+ ), где α =c1 + · · · + cn . Тогда справедливы следующие оценки:kRq f kp,c ≤ Γ(α)−1 ke−q k1,c kf kp,I−c ,(10)kRqh f kp,c ≤ Γ(α)−1 ke−q k1,c khk1,α kf kp,I−c ,(11)где Γ — гамма-функция. Кроме того, если p = 1 или p = 2, то для п.в.z ∈ c + iRn справедливы равенстваn(M Rq f )(z) = (2π) 2 Γ(s)−1 (M f )(I − z) · (M e−q )(z),(M Rqh f )(z) = (2π)n+12Γ(s)−1 (M f )(I − z) · (M e−q )(z) · (M h)(s),(12)(13)где s = z1 + · · · + zn .Отметим, что формула (13) остаётся справедливой и в случае, когда оператор Rqh рассматривается на пространстве борелевских мер.Затем мы переходим к рассмотрению задачи характеризации для интегральных операторов Радона Rqh в случае функций q, удовлетворяющих условиям (3) и (7).
Положимρhq (z) = (2π)−n+12Γ(z1 + · · · + zn )Γ(z1 ) · · · Γ(zn ),(M e−q )(z) · (M h)(z1 + · · · + zn )z = (z1 , . . . , zn ).(14)Определим оператор Tqh формулой Tqh f = Mc−1 ρhq M f . Используя формулу(13), можно показать, что композиция оператора Tqh с оператором Rqh рав13няется преобразованию Лапласа. Комбинируя этот результат с теоремой характеризации для преобразования Лапласа (теоремой Бернштейна), мы получаем следующую теорему характеризации для оператора Rqh .
Напомним,что функция g : Rn+ → R называется вполне монотонной, если g ∈ C ∞ (Rn+ ) исправедливы неравенства|α| ∂(−1)|α|g(p)≥ 0,∂pαα ∈ Zn+ ,p ∈ Rn+ .(15)Теорема 2. Пусть q удовлетворяет (3) и (7) и пусть (M e−q )(z) 6= 0 п.в.при Re z = c, где c ∈ Rn+ . Пусть h ∈ L2α (R1+ ), где α = c1 + · · · + cn , и(M h)(s) 6= 0 п.в. при Re s = α. Пусть ρhq ∈ L2 (c + iRn ) ∪ L∞ (c + iRn ).При этих условиях функция f : Rn+ → R представима в виде f = Rqh µ,Rгде µ — борелевская мера на Rn+ такая что µ ≥ 0, x−c µ(dx) < ∞, тогда итолько тогда, когдаkf k2,c < ∞,kTqh f k1,c < ∞,Tqh f вполне монотонна.(16)В заключительной части §1.2 мы обращаемся к задаче характеризацииоператора Πq из формулы (5) в случае, когда q = qα , а qα определено в формуле (6).
Мы решаем задачу характеризации, указывая интегро-дифференциальныйоператор Fα , композиция которого с оператором Πqα является преобразованием Лапласа, и комбинируем этот результат с теоремой характеризации дляпреобразования Лапласа. Важным преимуществом оператора Fα по сравнению с Tqh является то, что в нём дифференцирование и интегрирование ведётся только по одной переменной. Этот результат приведён в теореме 1.4.Идея получения оператора Fα была приведена в работе [10] в случае α = 1.Эта идея была обобщена на случай произвольных α в работе [42].Во второй главе рассматриватся задача обращения для обобщённогопреобразования Радона Rq и для интегральных операторов типа Радона Rqh ,включая случай оператора прибыли Πq в обобщённой модели Хаутеккера–Иохансена.
Основные результаты главы 2 приведены в параграфе 2.1, адоказательство этих результатов проводится в параграфах 2.2–2.5.Заметим, что формулы (12) и (13) могут использоваться для обращенияоператоров Rq и Rqh . В случае оператора Rqh , например, требуется выразитьM f через M Rqh f и воспользоваться формулой обращения для преобразования Меллина M . Однако этот подход требует вычисления несобственного14интеграла и не может использоваться на практике. Если же несобственныйинтеграл заменить собственным интегралом, то мы получим приближённуюформулу обращения.
Соответствующая ошибка восстановления приводитсяв теореме 2.1.Затем мы переходим к рассмотрению вопроса характеризации тех функций q и h, для которых операторы Rq и Rqh являются обратимыми. Для получения критериев обратимости операторов Rq и Rqh мы доказываем и используем аналоги тауберовых теорем Винера для случая, когда вместо преобразования Фурье используется преобразование Меллина.
Тауберовы теоремыВинера позволяют связать полноту в Lr (Rn ) линейной оболочки множествааддитивных сдвигов вида fa = f (· − a), a ∈ Rn , некоторой функции f свеличиной множества нулей её преобразования Фурье. Мы переносими этирезультаты на случай гармонического анализа в Rn+ . Соответствующие обобщения теорем Винера приводятся в леммах 2.3 и 2.4 из §2.3.Для краткости будем говорить, что множество S является 1-тощим в плоскости H ⊂ Cn , если S ∩ H нигде не плотно в H; 2-тощим в H, если S ∩ Hимеет меру нуль в H; и ∞-тощим в H, если S ∩ H = ∅.
С помощью аналоговтеорем Винера мы доказываем следующую теорему.Теорема 3. Пусть q удовлетворяет (3) и (7). Пусть c ∈ Rn+ и p ∈ {1, 2, ∞}.Тогда Πq инъективен в LpI−c (Rn+ ) тогда и только тогда, когда Rq инъективенв LpI−c (Rn+ ). При этом Rq инъективен в LpI−c (Rn+ ) тогда и только тогда,когда множество нулей функции (M e−q )(z) является p-тощим в плоскостиRe z = c.Аналогичная теорема справедлива для операторов Rqh общего вида.В приложении к обобщённой модели Хаутеккера–Иохансена указаннаятеорема единственности характеризует отрасли, для которых агрегированная функция прибыли Πq f однозначно определяет распределение мощностейпо технологиям f .Мы также показываем, что инъективность “распространяется” по отношению к частичной композиции функций q.
Комбинируя это свойство с теоремой 3, мы показываем, что оператор прибыли Πq , отвечающий вложенной CES-функции q, является инъективным в любом пространстве LpI−c (Rn+ ),p ∈ {1, 2, ∞}, c ∈ Rn+ .В заключительной части §2.1 мы изучаем задачу обращения для оператора Πq в случае, когда q = qα , α ∈ [−∞, 1], где qα определено в формуле (6). В15теореме 2.4 мы показываем, что оператор прибыли Πq является инъективнымпри α 6= 0, а при α = 0 мы описываем его ядро.
Затем мы рассматриваемболее сложную задачу нахождения функций q = qα и f по функции прибылиΠq f . Мы указываем достаточные условия, при которых из представимостифункции F в двух разных формах F = Πq1 µ1 и F = Πq2 µ2 , где q1 = qα1 ,q2 = qα2 и q1 6= q2 , следует, что F = 0. Эти условия приведены в теореме 2.5.Основная идея получения этих условий заключается в том, что если Πq1 µ1 =Πq2 µ2 , то оператор, переводящий функцию Πq1 µ1 в преобразование Лапласанекоторой меры, также должен переводить функцию Πq2 µ2 в преобразованиеЛапласа некоторой меры. Мы показываем, что это невозможно, если мерыµ1 и µ2 достаточно быстро убывают на бесконечности.
Если же отказаться оттребования быстрого убывания мер, то можно привести пример двух разныхмер µ1 и µ2 , для которых Πq1 µ1 = Πq2 µ2 при q1 = qα1 , q2 = qα2 , α1 6= α2 . Такойпример приводится в предложении 2.2.В третьей главе мы формулируем обратную задачу Дирихле–Нейманадля калибровочно-ковариантного оператора Шрёдингера и указываем некоторые приложения этой задачи в акустической томографии сред с течениями.В параграфе 3.1 мы приводим основные определения и постановки задач.Мы рассматриваем следующее уравнение в частных производных:LA,V ψ ≡ −∆ψ − 2idXAj (x)j=1∆=∂ψ+ V (x)ψ = Eψ,∂xjx ∈ D,(17)∂∂+···+,∂x21∂x2dгде A = (A1 , .
. . , An ), Aj и V — достаточно регулярные Mn (C)-значные функции в ограниченной области D ⊂ Rd (d ≥ 2) с границей ∂D, E ∈ C, а Mn (C)обозначает множество комплексных матриц размера n × n.Оператор Дирихле–Неймана ΛA,V = ΛA,V (E) для уравнения (17) в области D сопоставляет функции f на ∂D функцию ΛA,V f на ∂D, котораяопределяется следующим образом:ΛA,V f =∂ψ∂ν+iXdj=1Aj νj f ∂D ,(18)где ν — единичный внешний вектор нормали к ∂D, а ψ определяется какрешение уравнения (17) с граничным условием ψ|∂D = f , при предположении,16что соответствующая задача Дирихле имеет единственное решение (инымисловами, E не является собственным значением Дирихле для оператора LA,Vв области D).Оператор ΛA,V инвариантен по отношению к следующим калибровочнымпреобразованиям:∂g −1g−1A→A=gAg+ig , j = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
