Автореферат (1103156), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. . , d,(19a)jjj∂xjdX∂g −1g−1−1,(19b)V → V = gV g − g∆g − 2igAj∂xj=1jгде g – достаточно регулярная GLn (C)-значная функция в замкнутой области D, g|∂D = Idn , GLn (C) обозначает множество невырожденных матрицразмера n × n, а Idn обозначает единичную матрицу.Обратная задача Дирихле–Неймана для уравнения (17) формулируетсяследующим образом.Задача 3. Пусть задан оператор ΛA,V (E) при фиксированном E (или приE из фиксированного множества).

Найти A и V по модулю калибровочныхпреобразований (19a), (19b).Рассмотрим теперь уравнение (17) при x ∈ Rd , полагая A и V равными нулю вне области D. Мы сформулируем обратную задачу рассеяния дляуравнения (17) в Rd , к которой сводится задача 3. Для простоты обозначений предположим, что E > 0 и n = 1, так что Aj и V являются скалярнымифункциями. Мы рассматриваем классические решения рассеяния ψ + (x, k)уравнения (17), параметризованные вектором k ∈ Rd , k 2 = E, и определяемые следующей асимптотикой при фиксированном k:+ikxψ (x, k) = eei|k||x|−(d+1)/2xfk,|k|+O|x|,A,V|x||x|(d−1)/2(20)C(d) = −πi(−2πi)(d−1)/2 ,(d−3)/2+ C(d)|k||x| → ∞,где функция f = fA,V заранее неизвестна. Эта функция определена на множествеME = (k, l) ∈ Rd × Rd | k 2 = l2 = E(21)и называется амплитудой рассеяния для уравнения (17).

Функция ψ + может17быть найдена из интегрального уравнения типа Липпмана–ШвингераZψ + (x, k) = eikx +G+ (x − y, k) LA,V − L0,0 ψ + (y, k) dy,DZeiξx dξ+−dG (x, k) = −(2π),22D ξ − k − i0а амплитуда рассеяния f — из явной формулыZf (k, l) = (2π)−de−ily LA,V − L0,0 ψ + (y, k) dy.(22)(23)(24)DАмплитуда рассеяния инвариантна относительно преобразованийA → Aϕ = A + ∇ϕ,(25a)V → V ϕ = V − i∆ϕ + (∇ϕ)2 + 2A∇ϕ,(25b)где ϕ — достаточно регулярная функция на Rd с достаточным убыванием набесконечности.

Обратная задача рассеяния для уравнения (17) в Rd формулируется следующим образом.Задача 4. Пусть задана амплитуда рассеяния f на множестве ME при фиксированном E > 0 (или при E из фиксированного множества). Найти A и Vпо модулю калибровочных преобразований (25a), (25b).В §3.1 мы формулируем задачу 4 в более общем случае, когда n ≥ 1 иE ∈ C, но для этого требуется вводить дополнительные обозначения.Задача 4 при n = 1 возникает, например, в квантовой электродинамике,где f является измеряемой величиной, описывающей рассеяние заряженныхчастиц в электромагнитном поле (практически, однако, измеряется лишь |f |),а коэффициенты A и V задают конфигурацию электромагнитного поля.

Инвариантность функции f относительно преобразований (25a), (25b) являетсяотражением принципа относительности Вейля (см. [27]), согласно которомуконфигурации электромагнитного поля, соответствующие коэффициентам A,V и коэффициентам Aϕ , V ϕ , физически неотличимы. Поэтому достаточновосстанавливать одну из пар коэффициентов, связанную с исходными коэффициентами A, V соотношениями (25a), (25b). Часто на практике фиксируютпару коэффициентов Adiv , V div , удовлетворяющих условию ∇·Adiv = 0 (в терминах электродинамики это называется представлением электромагнитногополя в кулоновской калибровке).18В параграфе 3.2 мы формулируем основные результаты, касающиесяединственности решения задачи 3 в рамках одной модели акустической томографии сред с течениями.

В параграфах 3.3 и 3.4 мы доказываем этирезультаты. В рассматриваемой модели акустической томографии гармоническое по времени (e−iωt ) акустическое давление ψ в движущейся жидкости соскоростью звука c = c(x), скоростью течения v = v(x), плотностью ρ = ρ(x)и коэффициентом поглощения звука α = α(x, ω) при фиксированной частотеω ≥ 0 удовлетворяет уравнениюLω ψ ≡ −∆ψ − 2iAω (x) · ∇ψ − Uω (x)ψ = 0,ωv(x) i ∇ρ(x)Aω (x) = 2+,c (x)2 ρ(x)x ∈ D,ω2α(x, ω)Uω (x) = 2+ 2iω,c (x)c(x)α(x, ω) = ωζ(x)(26)(27)α0 (x),где D — открытая ограниченная область в Rd (d ≥ 2), занимаемая жидкостью. Заметим, что Lω = LAω ,−Uω , где оператор LAω ,−Uω определяется в формуле (17).

Из физических соображений вытекают следующие требования:c ≥ cmin > 0, ρ ≥ ρmin > 0, α0 ≥ 0, v = v, ζ = ζ в Dдля некоторых констант cmin и ρmin .(28)Обозначим через Λω = ΛAω ,−Uω оператор Дирихле–Неймана для уравнения(26) в D (см. формулу (18)). Нас интересует следующая задача.Задача 5.

Пусть задан оператор Λω при одной или нескольких частотах ω.Найти параметры жидкости c, v, ρ и α.Мы доказываем следующий общий результат об идентифицируемости параметров жидкости по граничным измерениям при трёх частотах в случае,когда поглощение зависит от частоты (т.е.

ζ 6= 0 в D).Теорема 4. Пусть D ⊂ Rd (d ≥ 2) — ограниченная односвязная область слинейно связной границей ∂D, где ∂D ∈ C ∞ (d = 2) или ∂D ∈ C 1 (d ≥ 3).(j)(j)Пусть операторы Lω и Λω соответствуют коэффициентам c(j) , ρ(j) , v (j) ,(j)α0 и ζ (j) , удовлетворяющим (28) иc ∈ W 1,∞ (D, R), ρ ∈ C(D̄) ∪ C 2 (D), v ∈ W 1,∞ (D, Rd ),α0 ∈ C(D̄), ζ ∈ C(D̄), ζ 6= 0, где d ≥ 3,19(29)либоc ∈ W 2,p (D, R), ρ ∈ W 3,p (D, R), v ∈ W 2,p (D, Rd ),α0 ∈ W 1,p (D, R), ζ ∈ C(D̄), ζ 6= 0, где p > 2, d = 2.(30)Предположим, что ω1 , ω2 , ω3 ∈ (0, +∞) — три попарно различных частоты, при которых 0 не является собственным значением Дирихле для опе(1)(2)(1)(2)раторов Lω и Lω в D. Тогда из равенства операторов Λω = Λω приω ∈ {ω1 , ω2 , ω3 } следует, что c(1) = c(2) , ρ(1) = Cρ(2) , v (1) = v (2) и α(1) = α(2) ,(j)(j)где C = const > 0 и α(j) (x, ω) = ω ζ (x) α0 (x).Для получения этой теоремы мы пользуемся результатами из статей [3],[9], [13] для восстановления коэффициентов Aω и Uω по оператору Λω прификсированном ω с точностью до подходящего калибровочного преобразования.

Затем мы показываем, что используя граничные измерения при трёхчастотах, можно избавиться от калибровочной неединственности и восстановить параметры c, v, α и ρ. При этом ρ восстанавливается с точностью доположительного постоянного множителя, который не играет роли в описанииповедения жидкости (см. формулу (27)).В теореме 3.5 мы показываем, что зависимость поглощения α от частоты ωявляется необходимым условием идентифицируемости параметров жидкости.Мы приводим два разных набора параметров жидкости c(1) , v (1) , ρ(1) , α(1) иc(2) , v (2) , ρ(2) , α(2) , где α(1) и α(2) не зависят от ω, таких, что соответствующие(1)(2)операторы Дирихле–Неймана совпадают (т.е. Λω = Λω ) при всех ω, при(1)(2)которых 0 не является собственным значением Дирихле для Lω и Lω .Мы также рассматриваем два частных случая задачи 5.

Первый случай соответствует непоглощающим жидкостям постоянной плотности (т.е.ρ ≡ const, α ≡ 0). Мы показываем, что в этом случае граничные измеренияпри одной частоте однозначно определяют остальные параметры жидкости,см. предложение 3.1. Второй случай соответствует непоглощающим жидкостям (т.е. α = 0) с не обязательно постоянной плотностью. В этом случаепоказывается, что двух частот достаточно для идентификации остальныхпараметров, см.

теорему 3.3.В четвёртой главе мы приводим формулы и уравнения, которые позволяют свести обратную задачу Дирихле–Неймана 3 к обратной задаче рассеяния 4. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, изложим содержаниеэтой главы в случае, когда E > 0.Обозначим через ΛA,V (E) оператор Дирихле–Неймана для уравнения (17)20с коэффициентами A = (A1 , . . . , Ad ) и V в области D.

Мы также рассматриваем уравнение (17) во всём пространстве Rd , продолжая коэффициентыA и V нулём вне области D. Для этого уравнения мы рассматриваем классические решения рассеяния ψ + и соответствующую амплитуду рассеянияf = fA,V . Напомним, что функции ψ + и fA,V в случае скалярных коэффициентов A1 , . . . , Ad , V определяются из формулы (20); в случае же матричныхкоэффициентов можно записать аналог формулы (20), который мы опускаемв виду его громоздкости.В параграфе 4.1 мы приводим уравнения для нахождения классических и обобщённых решений рассеяния на границе области D по оператору Дирихле–Неймана.

Мы также указываем явные формулы, позволяющиенайти классические и обобщённые амплитуды рассеяния по этим решениям.Пусть C 1,β (∂D, Mn (C)) обозначает пространство непрерывно дифференцируемых Mn (C)-значных функций на ∂D, чьи первые производные β-Гёльдернепрерывны, с нормойGrad ϕij (x1 ) − Grad ϕij (x2 )kψkC 1,β = kψkC 1 + max sup,(31)i,j x1 ,x2 ∈∂D|x1 − x2 |βx1 6=x2где ϕ(x) = ϕij (x) ∈ Mn (C), а Grad обозначает поверхностный градиент,см. [5, с.

33-39]. Обозначим через ΛA,V (x, y, E) ядро (в смысле теории распределений) оператора ΛA,V (E). Наконец, пусть E + обозначает множество техk ∈ Rd , k 2 = E, при которых уравнение (22) однозначно разрешимо относительно ψ + ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)). Справедлива следующая теорема.Теорема 5. Пусть D — ограниченная открытая область в Rd (d = 2, 3)с границей ∂D ∈ C 2 . Пусть A1 , . . .

Характеристики

Список файлов диссертации