Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 15
Текст из файла (страница 15)
. , Xp+1 ) =p+1Xbi . . . , Xp+1 )+(−1)i+1 Xi ω(X1 , . . . , Xi=1+Xbi , . . . , Xbj , . . . , Xp+1 )(−1)i+j ω([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xi<jдля произвольного ω ∈ HomZ (ΛpZ (M), V ) — обобщение дифференциала dsc ). Кроме того, оказывается, что класс [d(tr(Θ∧· · ·∧Θ))] ∈ H 2n (M, V ), где H ∗ (M, V ) — когомологиидифференциального комплексаddV → HomZ (Λ1Z (M), V ) → HomZ (Λ2Z (M), V ) → .
. . ,не зависит от выбора связности ∇.С другой стороны, в §1.5 приведена конструкция характеристических классов ассоциированных векторных расслоений, основывающаяся на ковариантной производнойпроизвольной регулярной связности. Именно, там показано, что классы [trM (Dω2n )] ∈H 2n (Z(Ω(M))) не зависят от выбора регулярной связности ω.В нашем случае, ковариантное дифференцирование, построенное по регулярной связности — это все равно, что дифференцирование Dl , построенное по лифту l : derh (M) →ederh (B). С другой стороны, как показано выше, Dl определяет отображения ∇,e : Eu → HomZ (derh (M), Eu ),∇eпо которым, при помощи формулы (2.24), можно построить отображение Θ(X,Y) :Eu → Eu .Предложение 2.13.eΘ(X, Y )(f ) (e) = Dl2 (f (e)) (X, Y ),где e ∈ Hu , f ∈ Eu = Mor(u, F ).
Аналогично,hiee(Θ ∧ · · · ∧ Θ)(X1 , . . . , X2n ) (f ) (e) = Dl2n (f (e))(X1 , . . . , X2n ).Доказательство. Вычислимhiee X∇eY − ∇eY ∇eX − ∇e [X,Y ] (f ) (e) =Θ(X,Y )(f ) (e) = ∇e X (Dl (f (e))(Y )) − ∇e Y (Dl (f (e))(X)) − Dl (f (e))([X, Y ]).=∇С другой стороны,Dl (b)(X) = l(X)(b)для любого b ∈ B, X ∈ derh (M).Значит,e X (Dl (f (e))(Y )) = ∇e X (l(Y )(f (e))) = Dl (l(Y )(f (e))) (X) = l(X)(l(Y )(f (e))).∇e Y (Dl (f (e))(X)) = l(Y )l(X)(f (e)).Аналогично, ∇В итоге получаемeΘ(X,Y )(f ) (e) = {l(X)l(Y ) − l(Y )l(X) − l([X, Y ])} f (e).70(2.26)С другой стороны, по определению Dl , см.
предложение 2.12 2 Dl (b) (X, Y ) = l(X)(Dl (b)(Y )) − l(Y )(Dl (b)(X)) − Dl (b)([X, Y ]) == {l(X)l(Y ) − l(Y )l(X) − l([X, Y ])} (b),и это верно для любого b ∈ B.Таким образом, первое равенство доказано. Чтобы получить второе равенство, достаточно сравнить формулу (2.25) с тем, что получается по индукции из (2.26) припомощи формулы для дифференциала Dl .Итак, на уровне форм кривизны оба подхода дают одно и то же. Однако, в общемслучае отображение trM не будет следом градуированных морфизмов (см. §1.5), так какдля него, в общем случае, не выполняется равенство trM (AB) = (−1)∂A∂B trM (BA), ипоэтому его нельзя применить к произвольной связности ∇ : Eu → HomZ (derh (M), Eu ),в смысле работ [18], [19] и [21].
В следующей главе мы установим связь между произвольными (нерегулярными) связностями на P и связностями в смысле этих работ.71Глава 3Связности и препятствияВ этой главе обсуждается вопрос существования регулярных связностей на квантовыхглавных расслоениях. Как показано в главе 1, для тех квантовых расслоений, на которых определены регулярные связности, существует достаточно богатая теория характеристических классов, полностью аналогичная теории Чженя-Вейля в случае классических главных расслоений. Кроме того, в §1.5 приведена конструкция характеристических классов векторных расслоений, ассоциированных с данным главным расслоением.Это построение несколько более универсальна, чем конструкция Чженя-Вейля, но длянего всё-равно надо, чтобы на ассоциированных векторных расслоениях существовалитранспонируемы дифференцирования.Прежде всего мы отвечаем на вопрос о существовании регулярных связностей.
Оказывается, основываясь на произвольной связности на расслоении, можно построить когомологическое препятствие, равенство которого нулю означает положительный ответна этот вопрос. Это препятствие — класс когомологий специально построенного поалгебре hor(P ) и пространству Γinv коцепного комплекса. Более того, при помощи этого препятствия мы построим аналог гомоморфизма Вейля, принимающий значение вХохшильдовых когомологиях алгебры M, со значениями в Ω(M), или, более общо, вХохшильдовых когомологиях градуированной алгебры Ω(M).
При этом естественноеотображение HH(Ω(M), Ω(M)) → HH(M, Ω(M)) перводит образ второго из построенных отображений в образ первого.В общем случае, однако, вычислить подобное препятствие не представляется возможным. Поэтому далее мы переходим к рассмотрению аналогичных препятствий длясуществования дифференцирований на присоединённых векторных расслоениях, прежде всего, в случае полу-классического дифференциального исчисления (см. главу 2). Вэтом случае тоже удаётся построить аналогичные препятствия.
Приводятся примеры, в которых вычисляется значение построенного препятствия. Кроме того, в последнем параграфе мы описываем связь между препятствиями к существованию дифференцирований присоединённых векторных расслоений и вышеописанными классами вХохшильдовых когомологиях алгебры M(или Ω(M)).3.1Существование регулярных связностейПусть ω — некоторая связность на расслоении P с дифференциальным исчислениемΩ(P ). Пусть Γ — соответствующий модуль дифференциальных форм на квантовойструктурной группе A.
Напомним, что связность ω называется регулярной, если длялюбой горизонтальной дифференциальной формы ϕ ∈ hor(P ) = Fb−1 (Ω(P ) ⊗ 1) ⊆ Ω(P )72и любого θ ∈ Γinv выполняетсяω(θ)ϕ = (−1)∂ϕXϕk ω(θ ◦ ck ),kгдеPkϕk ⊗ ck = Fb(ϕ) иθ◦a=Xκ(a(1) )θa(2) ∈ Γinv ,θ ∈ Γinv , a ∈ A.(a)Рассмотрим тогда, для произвольной связности ω, отображение lω : Γinv ⊗ hor(P ) →Ω(P ), определяемое формулойXlω (θ ⊗ ϕ) = ω(θ)ϕ − (−1)∂ϕϕk ω(θ ◦ ck ).(3.1)kPPПредложение 3.1.
Fblω (θ ⊗ ϕ) = k,l lω (θl ⊗ ϕk ) ⊗ dl ck , где l θl ⊗ dl = $(θ). В частности, lω (Γinv ⊗ hor(P )) ⊆ hor(P ).Доказательство. Это утверждение есть в статье [6]. В силу его важности для нас вдальнейшем, мы приведём полное доказательство в этой работе. Оно состоит в прямомвычислении:X∂ϕbbF lω (θ ⊗ ϕ) = F ω(θ)ϕ − (−1)ϕk ω(θ ◦ ck ) =k= Fb(ω(θ))Fb(ϕ) − (−1)∂ϕXFb(ϕk )Fb(ω(θ ◦ ck )) =kX=ω(θl ) ⊗ dl + 1 ⊗ θXl− (−1)∂ϕX Xkϕk ⊗ ck,(1)XXk= X(ϕk ⊗ ck,(1) )(1 ⊗ θ ◦ ck,(2) ) =(ck )ω(θl )ϕk ⊗ dl ck + (−1)∂ϕk,l∂ϕ− (−1)ω(θl ◦ ck,(3) ) ⊗ κ(ck,(2) )dl ck,(4) −l,(ck )∂ϕXϕk ⊗ ck −k(ck )− (−1)Xϕk ⊗ θck −kXϕk ω(θl ◦ ck,(3) ) ⊗ ck,(1) κ(ck,(2) )dl ck,(4) −k,l,(ck )− (−1)∂ϕXϕk ⊗ ck,(1) κ(ck,(2) )θck,(3) =k,(ck )=Xlω (θl ⊗ ϕk ) ⊗ dl ck .k,lПостроим теперь обещанный коцепной комплекс.
В дальнейшем мы не раз будемиспользовать похожие конструкции, поэтому мы проведём рассуждения подробно. Рассмотрим тензорное произведениеN = hor(P ) ⊗ Γinv .73(3.2)Умножение на элементы алгебры hor(P ) задаёт на N структуру градуированного левогомодуля над hor(P ). Зададим на N структуру правого градуированного модуля надhor(P ) при помощи формулы:X(ψ ⊗ θ) · ϕ = (−1)∂ϕψϕk ⊗ θ ◦ ck .(3.3)kОчевидно, что выполняются равенства n · 1 = n, n · (ϕχ) = (n · ϕ) · χ и (ϕ · n) · χ =ϕ · (n · χ) (∀n ∈ N , ∀ϕ, χ ∈ hor(P )), то есть N становится градуированным бимодулемнад градуированной алгеброй hor(P ). Заметим, что на N справа кодействует квантоваягруппа A, при помощи отображенияXdefFN = F ∧ ⊗ $ : ϕ ⊗ θ 7→ϕk ⊗ θ ⊗ ck dl .k,lПредложение 3.2. Умножение на элементыэквивариантным отображением, то естьhor(P )вNявляетсяA-FN (ϕ · n) = (· ⊗ ·)(F ∧ ⊗ FN )(ϕ ⊗ n),FN (n · ϕ) = (· ⊗ ·)(FN ⊗ F ∧ )(n ⊗ ϕ),для любых n ∈ N , ϕ ∈ hor(P ).Доказательство. Первая формула очевидна.
Докажем вторую. Это делается прямымвычислением: пусть ψ ⊗ θ = n ∈ N , тогдаX(−1)∂ϕ FN (n · ϕ) = FNψϕk ⊗ θ ◦ ck =k=Xψm ϕk ⊗ θl ◦ ck,(3) ⊗ bm ck,(1) κ(ck,(2) )dl ck,(4) =k,l,m,(ck )=Xψm ϕk ⊗ θl ◦ ck,(1) ⊗ bm dl ck,(2) =k,l,m,(ck )= (−1)∂ϕ (· ⊗ ·)(FN ⊗ F ∧ )(n ⊗ ϕ),гдеPmψm ⊗ bm = F ∧ (ψ).В дальнейшем, для краткости, мы будем обозначать градуированную алгебру hor(P )буквой K. Для любого n > 0 рассмотрим пространстваdefn⊗nCeq(N , K) = Homeq, K),K (N ⊗ K(3.4)⊗nгде Homeq, K) — множество всех A-эквивариантных морфизмов левых KK (N ⊗ Knмодулей.
Положим для произвольного µ ∈ Ceq(N , K)δµ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 ) = µ(nk1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 )+nX+(−1)i µ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 )+i=1+ (−1)n+1 µ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ kn )kn+1 . (3.5)n+1Предложение 3.3. (i ) δµ ∈ Ceq(N , K);74(ii) δ(δµ) = 0.Доказательство. Первое утверждение является очевидным следствием предложения3.2. Докажем вторую формулу. Вычисляем:δ(δµ)(n ⊗ k1 ⊗ .
. . ⊗ kn+2 ) = δµ(nk1 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )++n+1X(−1)i δµ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )+i=1+ (−1)n+2 δµ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 )kn+2 .Сначала рассмотрим первое слагаемое. Согласно (3.5):δµ(nk1 ⊗ k2 ⊗ . . . ⊗ kn+2 ) = µ(nk1 k2 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )++n+1X(−1)i−1 µ(nk1 ⊗ k2 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . .
. ⊗ kn+2 )+i=2+ (−1)n+1 µ(nk1 ⊗ k2 ⊗ . . . ⊗ kn+1 )kn+2 .Далее, при 2 6 i 6 nδµ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+2 ) = µ(nk1 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )++i−2X(−1)j µ(n ⊗ k1 . . . ⊗ kj kj+1 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )+j=1+ (−1)i−1 µ(n ⊗ k1 ⊗ .
. . ⊗ ki−1 ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )++ (−1)i µ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ki+2 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )++n+1X(−1)j−1 µ(n ⊗ k1 . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kj kj+1 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )+j=i+1+ (−1)n+1 µ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 )kn+2 .Наконец, при i = 1δµ(n ⊗ k1 k2 ⊗ . . . ⊗ kn+2 ) = µ(nk1 k2 ⊗ k3 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )−− µ(n ⊗ k1 k2 k3 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )++n+1X(−1)i−1 µ(n ⊗ k1 k2 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+2 )+i=3+ (−1)n+1 µ(n ⊗ k1 k2 ⊗ . . . ⊗ kn+1 )kn+2 ,при i = n + 1δµ(n ⊗ k1 ⊗ .
. . ⊗ kn+1 kn+2 ) = µ(nk1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 kn+2 )++n−1X(−1)i µ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 kn+2 )+i=1+ (−1)n µ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ kn kn+1 kn+2 )++ (−1)n+1 µ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ kn )kn+1 kn+2 ,75и, при i = n + 2δµ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 )kn+2 = µ(nk1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 )kn+2 +nX+(−1)i µ(n ⊗ k1 ⊗ .
. . ⊗ ki ki+1 ⊗ . . . ⊗ kn+1 )kn+2 +i=1+ (−1)n+1 µ(n ⊗ k1 ⊗ . . . ⊗ kn )kn+1 kn+2 .Складывая все эти равенства с соответсвующими знаками, получаем ноль.Следствие 3.4. Градуированное пространствоMdef•Ceq(N , K) =C n (N , K)(3.6)n>0является коцепным комплексом с дифференциалом δ.Рассмотрим теперь отображение µω : N ⊗ K → K задаваемое формулойµω (ψ ⊗ θ) ⊗ ϕ = ψlω (θ ⊗ ϕ).(3.7)1Теорема 3.5. µω ∈ Ceq(N , K) и δµω = 0. Кроме того, класс когомологий [µω ] ∈1H (N , K) не зависит от выбора связности ω.Доказательство. Первое утверждение — очевидное следствие предложения 3.1. Докажем второе.
Пусть n = ψ ⊗ θ. Найдём δµω (n ⊗ ϕ ⊗ χ):δµω (n ⊗ ϕ ⊗ χ) = µω (nϕ ⊗ χ) − µω (n ⊗ ϕχ) + µω (n ⊗ ϕ)χ.PПусть F ∧ (χ) = n χn ⊗ fn , тогдаXµω (nϕ ⊗ χ) = (−1)∂ϕ µωψϕk ⊗ θ ◦ ck ⊗ χ =k= (−1)∂ϕ∂ϕ= (−1)XXψϕk lω (θ ◦ ck ⊗ χ) =knoX∂χψϕk ω(θ ◦ ck )χ − (−1)χn ω((θ ◦ ck ) ◦ fn ) =nk= (−1)∂ϕ ψnXoXϕk χn ω(θ ◦ ck fn );ϕk ω(θ ◦ ck ) χ − (−1)∂ϕ+∂χ ψkn,k− µω (n ⊗ ϕχ) = −ψlω (θ ⊗ ϕχ) == −ψω(θ)ϕχ + (−1)∂ϕ+∂χ ψXϕk χn ω(θ ◦ ck fn )n,kиµω (n ⊗ ϕ)χ = ψlω (θ ⊗ ϕ)χ =noX∂ϕ= ψ ω(θ)ϕ − (−1)ϕk ω(θ ◦ ck ) χ =k= ψω(θ)ϕχ − (−1)∂ϕ ψnXk76oϕk ω(θ ◦ ck ) χ.Складывая эти равенства получаем ноль.Пусть теперь ω 0 — другая связность. Найдём разность µω0 − µω . Положим λ = ω 0 −ω, λ ∈ τ (P ) ( напомним, что τ (P ) — пространство тензориальных форм расслоения P ).Тогдаµω0 − µω (n ⊗ ϕ) = ψlω0 (θ ⊗ ϕ) − ψlω (θ ⊗ ϕ) =X= ψω 0 (θ)ϕ − (−1)∂ϕ ψϕk ω 0 (θ ◦ ck )−k∂ϕ− ψω(θ)ϕ − (−1) ψXϕk ω(θ ◦ ck ) =k= ψλ(θ)ϕ − (−1)∂ϕ ψXϕk λ(θ ◦ ck ) = δ λ̃(n ⊗ ϕ), (3.8)kгде λ̃(ψ ⊗ θ) = ψλ(θ) ∈ C 0 (N , K).Следствие 3.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
