Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 14
Текст из файла (страница 14)
[16]).единственным образом определенное векторное поле Xe =Xe (Rg : P → P — отображение, задаваемое как правое действие1. ∀g ∈ G, dRg (X)G на P при помощи элемента g, dRg — дифференциал этого действия);e2. Пусть π : P → M — проекция. Из 1) следует, что π∗ (X(p))не зависит от выбора−1p ∈ π (x) для любого x ∈ M ; более того, должно быть выполнено следующеееусловие:eπ∗ (X(p))= X(π(p)).e для любой (действительнозначной) функции f на M , и X^3. (fgX) = π∗ (f )X+Y =eeX +Y.64Для того, чтобы по классической связности τ на главном расслоении P построить такое отображение, достаточно вспомнить, что связность в классическом случае есть G–инвариантное распределение горизонтальных подпространств в касательном расслоении к P . Очевидно, что и наоборот, любое отображение векторных полей на M вe удовлетворяющее условиям 1) — 3), задает связностьвекторные поля на P , X 7→ X,на главном расслоении P (горизонтальное подпространство в точке p ∈ P состоит изeвекторов X(p)для всемозможных векторных полей X на M ).Доказательство.
Пусть D : hor∗sc (P ) → hor∗sc (P ) — дифференцирование, удовлетворяющее условиям (2.18), (2.19) и d|Ωsc (M) = dsc . Рассмотрим ограничение D0 отображенияD на hor0sc (P ) = B. Тогда D0 : B → hor1sc (P ) ⊆ HomZ (Λ1Z,h (M), B) = HomZ (derh (M), B).Пусть X ∈ derh (M) — произвольное дифференцирование. Определим отображениеe : B → B по правилу X(b)eX= (D0 (b))(X) для любого X ∈ derh (M), b ∈ B.e определяет лифт дифференцирований.Мы докажем, что соответствие X 7→ XВ самом деле, для любых b1 , b2 ∈ B, X ∈ derh (M),e 1 b2 ) = (D0 (b1 b2 ))(X) = (D0 (b1 )b2 + b1 D0 (b2 ))(X) =X(be 1 )b2 + b1 X(be 2 ),= (D0 (b1 ))(X) · b2 + b1 · (D0 (b2 ))(X) = X(be — дифференцирование алгебры B, кроме того,и, значит, Xe ∗ ) = (D0 (b∗ ))(X) = (D0 (b)∗ )(X) = [(D0 (b))(X)]∗ = X(b)e ∗X(be ∈ derh (M).для любого b ∈ B, и поэтому XДалее,fe(zX)(b)= (D0 (b))(zX) = z(D0 (b))(X) = z X(b)для любого X ∈ derh (M), z ∈ Z, b ∈ B, и поэтому отображение l : derh (M) → derh (B),e является морфизмом Z–(би)модулей.X 7→ X,le удовлетворяет условию (2.21).
Вычисляем:Проверим, что отображение X 7−→ XeF (X(b))= F ((D0 (b))(X)) = (F∧ D0 (b))(X) =X(D0 (b(1) ) ⊗ b(2) )(X) =(b)=Xe ⊗ id)F (b),D0 (b(1) )(X) ⊗ b(2) = (X(b)то есть выполнено условие (2.20). И, если m ∈ M, тоeX(m)= D0 (m)(X) = dsc (m)(X) = X(m)(последнее равенство вытекает из определения дифференциала dsc ).Итак, любое дифференцирование алгебры hor∗sc (P ) определяет “лифт” l : derh (M) →derh (B).
Пусть, наоборот, задан некоторый “лифт” l, т.е. задано отображение Z–(би)модулейl : derh (M) → derh (B),удовлетворяющее условиям (2.20), (2.21). Мы построим дифференцирование степени 1алгебры hor∗sc (P ), продолжающее dsc на Ωsc (M) ⊆ hor∗sc (P ) и удовлетворяющее условиям (2.18), (2.19).65Именно, положимDl (ω)(X1 , . . . , Xn+1 ) =n+1Xbi , . . . , Xn+1 ))+(−1)i+1 l(Xi )(ω(X1 , . . .
, Xi=1+Xbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ),(−1)i+j ω([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xi<jгде ω ∈ hornsc (P ) — произвольный элемент, X1 , . . . , Xn+1 ∈ derh (M) — дифференцирования. Тогда Dl (ω) ∈ Hom(Λn+1Z,h , B) (так как, очевидно,Dl (ω)(X1 , . . . , Xi , . . . , Xj , . . . , Xn+1 ) = −Dl (ω)(X1 , . . . , Xj , . . . , Xi . . . , Xn+1 )для любых i, j).Покажем, что на самом делеn+1Dl (ω) ∈ horn+1sc (P ) ⊆ HomZ (ΛZ,h (M), B).Но, во–первых,Dl (ω)(zX1 , . . . , Xn+1 ) = l(zX1 )ω(X2 , . . . , Xn+1 )+++n+1Xbi , .
. . , Xn+1 )+(−1)i+1 l(Xi )ω(zX1 , . . . , Xi=2n+1Xbi , . . . , Xn+1 )+(−1)i+1 ω([zX1 , Xi ], X2 , . . . , Xi=2+Xbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ).(−1)i+j ω([Xi , Xj ], zX1 , . . . , X1<i<j6n+1Воспользуемся тем, что ω и l — Z–линейные отображения, и формулой[zX, Y ] = z[X, Y ] − Y (z)X,и, значит,Dl (ω)(zX1 , . . . , Xn+1 ) = zl(X1 )ω(X2 , . . . , Xn+1 )+n+1nXbi , . . . , Xn+1 )++(−1)i+1 l(Xi )(z)ω(X1 , . . . , Xi=2ob+zl(Xi )ω(X1 , . . . , Xi , . .
. , Xn+1 ) ++n+1Xnbi , . . . , Xn+1 )+(−1)i+1 −Xi (z)ω(X1 , X2 , . . . , Xi=2obi , . . . , Xn+1 ) ++zω([X1 , Xi ], X2 , . . . , XXbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 )+(−1)i+j zω([Xi , Xj ], X1 , . . . , X1<i<j6n+1(мы используем тот факт, что X(z) ∈ Z для любого z ∈ Z и X ∈ derh (M); напомним, что алгебра Z состоит из эрмитовых элементов центра ∗–алгебры M). С другой66стороны, l(Xi )(z) = Xi (z), так как z ∈ M. Значит,Dl (ω)(zX1 , . .
. , Xn+1 ) = zl(X1 )ω(X2 , . . . , Xn+1 )++n+1Xbi , . . . , Xn+1 )+(−1)i+1 Xi (z)ω(X1 , . . . , Xi=2n+1X+z+i=2n+1Xbi , . . . , Xn+1 )+(−1)i+1 l(Xi )ω(X1 , . . . , Xbi , . . . , Xn+1 )+(−1)i+2 Xi (z)(X1 , . . . , Xi=2X+zbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ) =(−1)i+j ω([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xi<j= zDl (ω)(X1 , . . . , Xn+1 ).Итак, Dl (ω) ∈ HomZ (Λn+1Z,h (M), B).Покажем, что Dl (ω) ∈ horn+1sc (P ). Для этого достаточно доказать, что для любыхX1 , . .
. , Xn+1 ∈ derh (M)X{F∗ (Dl (ω))}(X1 , . . . , Xn+1 ) =Dl (ω(1) )(X1 , . . . , Xn+1 ) ⊗ ωe(2) ,(ω)гдеP(ω)ω(1) ⊗ ωe(2) = F∧ (ω). Тем самым мы сразу докажем, что Dl удовлетворяет усло-вию (2.19). Но, в самом деле,{F∗ (Dl (ω))}(X1 , . . . , Xn+1 ) = F (Dl (ω)(X1 , . . . , Xn+1 )) ==n+1Xbi , . . . , Xn+1 )))+(−1)i+1 F (l(Xi )(ω(X1 , . . . , Xi=1+Xbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 )) =(−1)i+j F (ω([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xi<j=n+1Xbi , .
. . , Xn+1 ))+(l(Xi ) ⊗ id)F (ω(X1 , . . . , Xi=1+XXbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ) ⊗ ω(−1)i+j ω(1) ([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xe(2) =i<j (ω)=n+1 XXbi , . . . , Xn+1 ) ⊗ ω(−1)i+1 l(Xi )ω(1) (X1 , . . . , Xe(2) +i=1 (ω)+XXbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ) ⊗ ω(−1)i+j ω(1) ([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xe(2) =(ω) i<j=XDl (ω(1) )(X1 , . . . , Xn+1 ) ⊗ ωe(2) = {(Dl ⊗ id)F∧ (ω)} (X1 , . .
. , Xn+1 ).(ω)67Наконец, условие (2.18) проверяется прямым вычислением:n+1X∗Dl (ω )(X1 , . . . , Xn+1 ) =bi , . . . , Xn+1 )+(−1)i+1 l(Xi )(ω ∗ )(X1 , . . . , Xi=1+Xbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ) =(−1)i+j ω ∗ ([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xi<jn+1X=bi , . . . , Xn+1 ))∗ +l(Xi ) (ω(X1 , . . . , Xi=1+Xi+j(−1)∗bbω([Xi , Xj ], X1 , .
. . , Xi , . . . , Xj , . . . , Xn+1 ) =i<j= (Dl (ω)(X1 , . . . , Xn+1 ))∗ ,для любых X1 , . . . , Xn+1 ∈ derh (M).Итак, Dl : hor∗sc (P ) → hor∗sc (P ) — эрмитово A–эквивариантное отображение. То,что Dl — градуированное дифференцирование, доказывается точно так же, как и аналогичное утверждение о свойствах дифференциала dsc . А так как l(X)(m) = X(m),ограничение Dl на Ωsc (M) совпадает с dsc .Наконец, из разложения п. (ii) теоремы 2.10 следует, что любое градуированное антидифференцирование на hor∗sc (P ) однозначно восстанавливается по своему ограничениюна hor0sc (P ) = B и на Ωsc (M).Замечание.
Из доказанного следует, что, по аналогии с классическим случаем (см. Замечание, предшествующее доказательству данной Теоремы), мы могли бы сразу определить связность на главном квантовом расслоении P как лифт дифференцированийl : derh (M) → derh (B), для которого выполнены все вышеперечисленные условия. Вэтом случае предложение 2.12 устанавливает связь между таким определением связности и данным в главе 1 определением.Будучи частным случаем регулярной связности, лифт дифференцирований на главном квантовом расслоении может не существовать (подробнее мы на этом останавливаемся в Главе 3).
Чтобы лучше понять, почему так может происходить, изучим отображение, индуцируемое Dl на ассоциированных векторных расслоениях.Напомним, что ассоциированные векторные расслоения Eu — это пространства морфизмов Mor(u, F ). Если f : Hu → B — морфизм из Eu , то Dl ◦ f : Hu → hor1sc (P ) тожеявляется морфизмом A–комодулей, то естьF∧ ◦ Dl ◦ f = (Dl ◦ f ⊗ id)∆u .Но hor1sc (P ) ⊆ HomZ (derh (M), B), поэтому, вычисляя значение (Dl ◦ f )(e) на дифференцировании X, где e ∈ Hu , получаем, что соответствие((Dl ◦ f )(·)) (X) : Hu → Bявляется A–эквивариантным, и следовательно принадлежит Eu . Значит отображениеDl можно интерпретировать как отображение из Eu 3 f в HomZ (derh (M), Eu ):e X f = ((Dl ◦ f )(·)) (X) : Hu → B,∇вместо точки следует подставлять элементы из пространства Hu .
Это отображение изHu в B будет морфизмом представлений, и, следовательно, элементом из Eu . Отображеe : Eu → HomZ (derh (M), Eu ) удовлетворяет следующим соотношениям: для любогоние ∇68m∈Me X (f · m) = (∇e X f ) · m + f · X(m),∇e X (m · f ) = X(m) · f + m∇e X f.∇(2.22)(2.23)В самом деле,e X (f m)(e) = ((Dl ◦ f m)(e)) (X) = (Dl (f (e)m)) (X) =∇= ((Dl (f (e)))m) (X) + (f (e)dsc (m))(X) == (Dl (f (e))(X)) m + f (e)(dsc (m)(X)) =e X f )(e) · m + f (e)X(m),= (∇для любого m ∈ M, e ∈ Hu . Аналогично доказывается соотношение (2.23).В работах [18] и [19] (см.
также [21]) определяются связности на проективных правыхмодулях над произвольной унитальной алгеброй M. Именно: связностью на модуле Eназывается отображение ∇ : E → HomZ (der(M), E), такое, что∇X (e · m) = ∇X (e) · m + e · X(m)(Z — центр M)В этих работах показано, что такого рода связности существуют на всех проективныхконечно–прожденных модулях E над M. В нашем случае бимодуль Eu проективен иконечнопорожден как левый и как правый модуль над M. Из этого следует, что всегдасуществуют отображения ∇ : Eu → HomZ (derh (M), Eu ), удовлетворяющие отдельно илисоотношению (2.22) или (2.23).
Однако, как будет показано в главе 3 (а также в [24]), вобщем случае может не существовать отображений, удовлетворяющих и (2.22), и (2.23).В заключение скажем несколько слов о том, что такое кривизна связности на ассоциированном векторном расслоении и о характеристических классах.Именно, в работе [18] кривизна связности определяется как автоморфизм модуля E:Θ(X, Y ) : E → E, зависящий от пары дифференцирований X, Y ∈ der(M),Θ(X, Y ) = ∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] .(2.24)Очевидно, что Θ(X, Y ) = −Θ(Y, X). Далее формула(Θ ∧ · · · ∧ Θ)(X1 , X2 , . . . , X2n−1 , X2n ) =1 X(−1)ε(σ) Θ(Xσ(1) , Xσ(2) ) · · · Θ(Xσ(2n−1) , Xσ(2n) ) (2.25)= n2 σ∈Σ2nопределяет автоморфизм (Θ ∧ · · · ∧ Θ)(X1 , X2 , . . .
, X2n ) : E → E, кососимметрическимобразом зависящий от дифференцирований X1 , . . . , X2n . В этих работах также доказывается, что след автоморфизмов(Θ ∧ · · · ∧ Θ)(X1 , . . . , X2n ),построенный по произвольному следу tr : M → V , где V — произвольный der(M)–модуль, и Z–бимодуль, для которого выполняется равенство X(zv) = X(z)v +zX(v), X ∈ der(M), z ∈ Z, v ∈ V , удовлетворяет соотношениюd(tr(Θ ∧ · · · ∧ Θ))(X1 , . . . , X2n+1 ) = 069(тутd(ω)(X1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
