Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Автоморфизм A бимодуля Fu называется транспонируемым, еслиA⊥ = A > .Прежде, чем иы сформулируем следуещее утверждение, заметим, что диаграмма(1.48) позволяет определить канонический след даже если отображение A сохраняеттолько структуру левого модуля. Конечно, в этом случае след уже не обязан бытьэлементом центра алгебры Ω(M).
Следующий результат см. в [7].Предложение 1.20. Если автоморфизм B бимодуля Fu — транспонируемый, то длялюбого морфизма левых градуированных модулей A,trM (AB) = (−1)∂A∂B trM (BA).(1.49)Доказательство. В силу утверждения леммы, мы можем теперь считать, что A = ϕ⊗x,где ϕ ∈ Eū , x ∈ Fu . Тогда BA = ϕ ⊗ B(x), (−1)∂A∂B AB = B > (ϕ) ⊗ x и значит>−trM (BA − (−1)∂A∂B AB) = hϕ, B(x)i−u − hB (ϕ), xiu = 0в силу транспонируемости B.Пусть D : Fu → Fu — отображение градуированных пространств степени 1. Мыбудем говорить, что D — дифференцирование градуированного модуля Fu , если выполняются равенства:D(ψα) = D(ψ)α + (−1)∂ψ ψdM (α),D(αψ) = dM (α)ψ + (−1)∂α αD(ψ).для любых ψ ∈ Fu , α ∈ Ω(M).Для произвольного дифференцирования D модуля Fu cледующие формулы−∂ϕ−dM hϕ, ψi−u = hD⊥ (ϕ), ψiu + (−1) hϕ, D(ψ)iu ,+∂ψ>+dM hψ, ϕi+u = hD(ψ), ϕiu + (−1) hψ, D (ϕ)iu40однозначно определяют дифференцирования D⊥ , D> сопряжённого модуля Fū (мыопять пользуемся утверждением леммы 1.19).Определение 1.12.
Дифференцирование D называется транспонируемым, если D⊥ =D> .В качестве примера транспонируемого дифференцирования можно, прежде всего,привести отображение Dω,u : Fu → Fu , индуцированное ковариантной производной,ассоциированной с произвольной регулярной связностью ω на P . Это отображение отправляет морфизм ϕ ∈ Fu = Mor(u, F ∧ ) в композицию Dω ◦ ϕ. В силу диаграммы (1.34)эта композиция тоже принадлежит Fu . Очевидно, что дифференцирования (Dω,u )> и(Dω,u )⊥ оба равны Dω,ū .Пусть теперь A — произвольный автоморфизм бимодуля Fu , D — произвольное диффернцирование. Заметим, что отображение∇(A) = DA − (−1)∂A AD : Fu → Fuтоже будет морфизмом бимодулей.Предложение 1.21. Если дифференнцирование D — транспонируемо, то для любогоAtrM (∇(A)) = dM (trM (A)).(1.50)Доказательство.
Воспользуемся опять утверждением леммы 1.19. Мы можем считать,что A = ϕ ⊗ x, тогда DA = D> (ϕ) ⊗ x и (−1)∂a AD = −(−1)∂ϕ ϕ ⊗ D(x), и поэтому>−dM (trM (A)) = dM hϕ, xi−u = hD (ϕ), xiu +∂A+ (−1)∂ϕ hϕ, D(x)i−u = trM (DA − (−1) AD) = trM (∇(A))Фиксируем теперь представление квантовой группы u ∈ R(G). Для произвольногоz ∈ Z(Ω(M)) и транспонируемого дифференцирования D : Fu → Fu положимdefΘn (z, D) = trM (zD2n ) ∈ Z(Ω(M)).Теорема 1.22. (i ) dM Θn (z, D) = Θn (dM z, D), в частности, если dM z = 0 то иdM Θn (z, D) = 0;(ii) в случае, если dM z = 0, класс когомологий [Θn (z, D)] ∈ H 2n+∂z (Z(Ω(M))) не зависит от выбора транспонируемого дифференцирования D (и от выбора элементав классе когомологий [z]).Доказательство.
Утверждение (i ) следует из (1.50). Докажем (ii). Пусть dM z = 0, ипусть D0 — другое транспонируемое дифференцирование. Положим D0 − D = S : Fu →Fu и определим семейство транспонируемых дифференцирований Dt , t ∈ [0; 1], D0 =D, D1 = D0 при помощи формулыt ∈ [0; 1].Dt = D + tS,Вычислим2nXddΘn (z, Dt ) = trM (zDt2n ) =trM (zDti−1 SDt2n−1 ) =dtdti=1= trM (Dt X − (−1)∂X XDt ) = dM (trM (X)),41гдеX=nXDt2i−1 SDt2n−2i z.i=1(Здесь z рассматривается как бимодульный морфизм z : Fu → Fu .) Интегрируя по t от0 до 1, получаем, что классы когомологий [Θn (z, D)] и [Θn (z, D0 )] совпадают.
То, чтовыбор элемента в классе [z] также не влияет на класс [Θn (z, D)], следует из (i).Следствие 1.23. Для каждого целого n ≥ 1 и каждого векторного расслоения Eu ,ассоциированного с главным квантовым расслоением P при помощи представления u,такого, что существуют транспонируемые дифференцирования D модуля Fu , определены классы θnu ∈ H 2n (Z(Ω(M))), θnu = [Θn (1, D)]. В частности, если на P существуют регулярные связности, то классы θnu определены для всех u ∈ R(G).Вспомним, что, когда на P существуют регулярные связности, мы в §1.4 определили характеристические классы расслоения P при помощи обобщённого гомоморфизмаВейля W̃ , принимающего значения также в H 2∗ (Z(Ω(M))).
Связь между этими характеристическими классами и классами θnu ассоциированных векторных расслоенийустанавливается следующим образом.Прежде всего, заметим, что на матричном элементе uij представления u присоёдинённое действие ad задаётся фолрмулойad(uij ) =nuXukl ⊗ κ(uik )ulj .k,l=1Следовательно, пространство H̃u инвариантно относительно этого кодействия. Болеетого, представление ad|H̃u изоморфно тензорному произведению Hū ⊗ Hu (изоморфизмзадаётся соответствием e∗i ⊗ ej 7→ uij ). Так как I u : C → Hū ⊗ Hu — морфизм представлений, то мы заключаем, что образ сквозного отображения C → H̃u — элементa(u) = tr(Cu−1 ũ) — ad-инвариантен (ũ = (uij ) — матрица представления u).Для любого n ≥ 1 положимXãn (u) =a(1) (u) − (a(1) (u) ⊗ .
. . ⊗ a(n) (u) − (a(n) (u)) ,(a)где (a) a(1) (u) ⊗ . . . ⊗ a(n) (u) = φn−1 (a(u)) и φn определяется по индукции: φ1 = φ, φn =(φ ⊗ id ⊗ . . . ⊗ id)φn−1 – id стоит n − 1 раз. Очевидно, ãn (u) ∈ (ker )⊗inv .PПредложение 1.24. θnu = W̃ (ãn (u))Доказательство. Это — прямое следствие формул (1.38), (1.45) и (1.46).В заключение главы 1, сформулируем ещё два принадлежащих Джорджевичу утверждения, описывающие связь между дифференцированиями модулей Fu и регулярнымисвязностями на P .Теорема 1.25. (i ) Пусть {Du }u∈R(G) — такой набор дифференцирований модулей Fu ,что выполнены следующие условия:Du×v (ϕ ⊗ ψ) = Du (ϕ)ψ + (−1)∂ϕ ϕDv (ψ), D∅ = dM ,Dū \u = \u Du , Du f∗ = f∗ Dv ,42для любых u, v ∈ R(G), ϕ ∈ Fu , ψ ∈ Fv , f ∈ Mor(u, v) (мы воспользовалисьизоморфизмом Fu ⊗Ω(M) Fv ∼= Fu×v ). Тогда существует (единственное) дифференцирование D алгебры hor(P ), такое, что (D ⊗ id)F ∧ = F ∧ D, индуцируещее налюбом модуле Fu дифференцирование Du .(ii) Пусть horP — произвольная градуированная *-алгебра, такая, что hor0P = B.
Предположим, что на horP задано правое кодействие квантовой группы: FP : horP →horP ⊗ A, совпадающее на B с F . Пусть на *-подалгебре Ω(M) = FP−1 (horP ⊗ A)задан дифференциал dM , удовлетворяющий всем свойствам дифференциалов *алгебр. Обозначим через der(P ) — аффинное пространство линейных отображений D : horP → horP , таких, что∗∗D(hor∗P ) ⊆ hor∗+1P , D(ψ ) = D(ψ) , D|Ω(M) = dM ,FP D = (D ⊗ id)FP , D(ϕψ) = D(ϕ)ψ + (−1)∂ϕ ϕD(ψ).Тогда для любого подпространства L ⊆ der(P ) существуют такие дифференциальные исчисления Γ∧ на A и Ω(P ) = Ω(P, Γ∧ ) на P , что horP совпадает с алгебройгоризонтальных дифференциальных форм на P , и все D ∈ L задаются как ковариантные дифференцирования, построенные по регулярным связностям на P .43Глава 2Полуклассическая теорияВ этой главе мы описываем, во что превращается общая теория из главы 1, если в качестве дифференциального исчисления на базе использовать дифференциальную градуированную алгебру, построенную по алгебре Ли дифференцирований алгебры M.
Так, впервом параграфе мы разбираем случай « локально-тривиального» главного квантового расслоения над гладким многобразием. Мы докажем, что в этом случае образ обобщённого гомоморфизма Вейля W̃ (ср. §1.4), который в этом случае можно определитьдля произвольной, необязательно регулярной, связности состоит из характеристическихклассов « классической части» расслоения P . Далее, в параграфах 2.2 и 2.3 мы разбираем более общий случай, когда базой расслоения служит произвольная унитальнаяалгебра M.
В этом случае мы строим алгебру полуклассических дифференциальныхформ на расслоении P , hor∗sc (P ), удовлетворяющую всем условиям пункта (ii) теоремы1.25. После этого мы доказываем, что понятие связности в этом случае эквивалентнопонятию « лифта дифференцирований», а теория характеристических классов ассоциированных векторных расслоений во многом аналогична теории, развитой в работах[18], [19].Основное отличие теории, рассматриваемой в диссертации, от работ [18], [19], состоитв том, что векторные расслоения, ассоциированные с некоторым главным квантовымрасслоением, являются бимодулями над M — « алгеброй функций нак базе». Поэтому,например, связности на них не всегда существуют (см. Главу 3, а также [24]).
Кроме того, канонический след trM см. §1.5, не является следом морфизмов правых, илилевых, модулей в смысле вышеуказанных работ, так как условие trM (AB) = trM (BA)выполняется только если один из морфизмов — транспонируемый.Таким образом возникает много вопросов, прежде всего: как связаны характеристические классы векторных расслоений, построенные в Главе 1, с классами из работ [18],[19]? Конечно, предполагается, что дифференциальное исчисление, которое используется нами — полуклассическое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
