Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если A — алгебра полиномиальных функций на матричной группе Ли,то в качестве Γ можно взять пространство обыкновенных полиномиальных 1-форм нагруппе, Ω1 (Gcl ). Конечно, такое дифференциальное исчисление будет биковариантным.Для произвольной квантовой группы A можно рассмотреть тогда отображениеa 7→ d(s(b)) ∈ Ω1 (Gcl )превращающее Ω1 (Gcl ) = Γcl в дифференциальное исчисление на A. Это дифференциальное исчисление, вообще говоря, не является ни лево-, ни правоковариантным.Однако, эту конструкцию можно исправить: рассмотрим отображенияXsl : a ⊗ b 7→a(1) b(1) ⊗ s(a(2) )d(s(b(2) )) ∈ A ⊗ Γcl ,(a),(b)sr : a ⊗ b 7→Xs(a(1) )d(s(b(1) )) ⊗ a(2) b(2) ∈ Γcl ⊗ A,(a),(b)sbi : a ⊗ b 7→Xa(1) b(1) ⊗ s(a(2) )d(s(b(2) )) ⊗ a(3) b(3) ∈ A ⊗ Γcl ⊗ A.(a),(b)Образы этих отображений, очевидно, будут соответственно лево-, право- и биковариантным дифференциальным исчислением на квантовой группе A.
Можно доказать, чтообраз первого отображения совпадает с пространствомdefA Acl Γcl = ker (id ⊗ s)φ ⊗ id − id ⊗ φΓcl : A ⊗ Γcl → A ⊗ Acl ⊗ Γcl ,— тензорным произведением A и Γcl над Acl . Аналогично, во втором случае образомслужит пространство Γcl Acl A, а в третьем —A Acl Γcl Acl A.Слдедующая теорема доказана в [3] и [5].Теорема 1.1. (i) Пусть Γ — левоковариантое дифференциальное исчисление. ОбозначимΓinv = {ω ∈ Γ|φΓ (ω) = 1 ⊗ ω}.Тогда справедливо разложение Γ ∼= A ⊗ Γinv .
(Для право-ковариантного дифференциального исчисления справедливо аналогичное утверждение, только Γinv следуетзаменить на аналогичное пространство inv Γ.)14(ii) Рассмотрим отображение π : A → Γ,π(a) = κ(a1) )d(a(2) )(мы пропустили очевидный знак суммы). Тогда π — эпиморфное отображениеker() на Γinv . Ядро π, RΓ — правый идеал в ker(). (Например, идеал, соответствующий Γtriv равен нулю и отображение π в этом случае принимает видπ(a) = a − (a).) Если при этом Γ — биковариантное дифференциальное исчисление, удовлетворяющее условию (1.10), тои κ(R∗Γ ) = RΓ .ad(RΓ ) ⊆ RΓ ⊗ A,Здесь ad : A → A ⊗ A — присоединённое кодействие:Xad(a) =a(2) ⊗ κ(a1) )a(3)(a)Пусть Γ — произвольное дифференциальное исчяисление на произвольной алгебреA.
Самый простой способ продолжить его до « исчисления дифференциальных формвысших порядков» — следующий. Достаточно рассмотреть фактор-алгебруΓ∧ = Γ⊗A S,где S — идеал в Γ⊗A , порождённый пространствомS2 =nXS 2 ⊆ Γ ⊗A Γ,oXdak ⊗ dbk |ak dbk = 0 .kkОчевидно, что дифференциал d : A → Γ продолжается до дифференциала d : Γ∧ → Γ∧ ,обладающего всеми свойствами дифференциала градуированной алгебры. Эту алгебрумы тоже будем называть дифференциальным исчислением на квантовой группе. Очевидно, полученное распространение универсально в следующем смысле (см. [5]):Предложение 1.2. Пусть Ω произвольная дифференциальная градуированная алгебра с дифференциалом dΩ .
Пусть ϕ : A → Ω гомоморфизм, такой, что отображениеΓ → Ω, adb 7→ ϕ(a)dΩ (ϕ(b)) корректно определено. Тогда существует единственноепродолжение ϕ∧ : Γ∧ → Ω гомоморфизма ϕ до гомоморфизма дифференциальных градуированных алгебр.В частности, из теоремы 1.1 и этого предложения следует, что для дифференциального исчисления Γ∧triv , построенного по Γtriv , определены эпиморфные отображения навсе возможные дифференциальные исчисления на квантовой группе.Если Γ — биковариантный, то из предложения 1.2 следует, что отображения φΓ и Γ φпродолжаются до аналогичных отображений φΓ∧ и Γ∧ φ. Тогда, из теоремы 1.1 следует,что существует разложениеΓ∧ ∼= A ⊗ Γ∧inv , ⊗Γ∧inv = Γ⊗inv Γinv ∩ S,причём идеал Sinv = Γ⊗inv ∩ S порождён пространством2Sinv= S 2 ∩ Γinv ⊗ Γinv ,nXoS2 =π(a(a) ) ⊗ π(a(2) )|a ∈ RΓ .(a)15Кроме того, ∗-структура на Γ продолжается до ∗-струтуре на дифференциальной градуированной алгебре Γ∧ . В терминах отображения π, дифференциал и ∗-структура наΓ∧ задаются формулами:da = a(1) π(a(2) ),d(π(a)) = −π(a(1) ) ∧ π(a(2) ),π(a)∗ = −π(κ(a)∗ ).Например, из этого следует, что Γ∧triv совпадает с кобар-резольвентой алгебры A.Наконец, заметим, что правое кодействие Γ φ при ограничении на пространство Γinvопределяет кодействие $ : Γinv → Γinv ⊗ A.
В терминах кодействия π, имеем$π = (π ⊗ id)ad.Другие примеры дифференциальных исчислений на квантовых группах можно найтив [3]. Полная классификация дифференциальных исчислений на некоторых классахквантовых групп содержится, например, в [14] и [15].Закончим параграф описанием « представлений кватовых групп». Конечно-мернымпредставлением u квантовой группы A, мы будем называть пару u = (ũ, Hu ), где ũ =(uij )i,j=1,...,nu — матрица из элементов из A, Hu = Cnu — конечно-мерное гильбертовопространстрво, на котором справа кодействует квантовая группа A, то есть определеноотображение4u : Hu → Hu ⊗ A,(4u ⊗ id)4u = (id ⊗ φ)4u ,(id ⊗ )4u = idтак что в некотором базисе e1 , .
. . , enu действие задаётся формулойXek ⊗ uki , i = 1, . . . , nu .4u (ei ) =(1.11)(1.12)(1.13)kЭлементы (uij )i,j=1,...,nu мы будем называть матричными элементами представления uв базисе e1 , . . . e2 . Из (1.11) и (1.12) следует, чтоXuik ⊗ ukj ,(1.14)φ(uij ) =k(uij ) = δij(1.15)Из определения 1.1 в частности следует, что матрица (uij )i,j=1,...,n элементов, порождающих A, задаёт представление квантовой группы A на пространстве Cn . Этопредставление мы будем называть фундаментальным.Cуммой u⊕v представлений u и v называется представление на пространстве Hu ⊕Hvзаданное матрицей размерности (nu + nv ) × (nu + nv )ũ 0.0 ṽАналогично, тензорным произведением представления u и представления v, взятых вуказанном порядке, называется предсталение u × v на пространстве Hu ⊗ Hv , определяемое матрицей размерности nu nv × nu nv с элементами uij vkl .Морфизмом представления u в представление v называется линейное отображениеf : Hu → Hv , такое, что(f ⊗ id)4u = 4v f.16Множество морфизмов представлений является векторным пространством и обозначается Mor(u, v).
Представления u и v называются изоморфными, если существует морфизм f ∈ Mor(u, v), который является изоморфизмом соответствующих векторных пространств. Если представления u и v изоморфны, то их матрицы связаны соотношениемf −1 ṽf = ũ.
Например, в отличие от классического случая, представления u × v и v × u,вообще говоря, не изоморфны, если только квантовая группа не совпадает с одной изгрупп из примера 1.1.1.Представление u называется приводимым, если в пространстве Hu существует подпространство H, отличное от Hu и ненулевое, для которого выполняется вложение4u (H) ⊆ H ⊗A. В противном случае представление u — неприводимое. Представление u— вполне приводимо, если оно изоморфно прямой сумме неприводимых представлений.Для каждого представления u квантовой группы A определено сопряжённое, иликонтрагредиентное представление, ū, действуещее на пространстве Hū = Hu∗ линейныхфункционалов на Hu . Матрица представления в двойственном базисе, ū, ū˜ определяетсяформулойūij = κ(uji ).Скалярное произведение на Hu задаёт антиизоморфизм векторных пространств ju :Hu → Hu∗ = Hū .
Операторjū ◦ ju = Cu : Hū¯ = Hu∗∗ = Hu → Huявляется морфизмом представлений, он называется каноническим морфизмом. Это —положительно-определённое линейное отображение, однозначно определяемое требованием tr(Cu ) = tr(Cu−1 ). Пусть ()u – эрмитово скалярное произведение на Hu . Тогдасправедлива следующая формула, связывающая скалярные произведения в сопряжённых представлениях(f, g)ū = (ju−1 (g), Cu ju−1 (f ))u .Для любой пары сопряжённых представлений u, ū определены канонические морфизмы представлений: спаривание γ u : Hu∗ ⊗ Hu → H∅ = C (тут ∅ – тривиальноепредставление квантовой группы A на пространстве C, матрица которого состоит изединицы группы A) и вложение единичного оператора Iu : C → Hu ⊗ Hu∗ . Аналогично,меняя местами u и ū, получаем морфизмы γu : Hu ⊗ Hu∗ → C и Iu : C → Hu∗ ⊗ Hu ; вявном виде:γ u (f ⊗ x) = f (x),nuXei ⊗ e∗i ,Iu (1) =γu (x ⊗ f ) = f (Cu (x)),nuXuI (1) =[Cu−1 ]ji e∗i ⊗ ei .i=1i,j=1Здесь e∗1 , .
. . e∗nu — двойственный базис в пространстве Hū = Hu∗ .Представления квантовой группы A образуют категорию, согласно теминологии статьи [4], такая категория называется конкретной моноидальной W ∗ -категорией. Эту категорию мы будем обозначать R(G), или R(A). В работах [2, 4] доказано следуещееутверждение:Теорема 1.3. (i ) Все представления любой квантовой группы A вполне приводимы.(ii) Любое неприводимое представление квантовой группы встречается в разложениина неприводимые представления подходящей тензорной степени фундаментального представления, или представления, сопряжённого фундаментальному.17(iii) Любое представление квантовой группы эквивалентно унитарному представлению, то есть такому представлению, матрица которого является унитарнымэлементом в тензорном произведении B(Hu ) ⊗ A, где B(Hu ) — алгебра опреаторов на гильбертовом пространстве Hu .
Для матрицы унитарного представлениявыполнено условиеu∗ij = κ(uji ).(iv ) Пусть T — множество неприводимых неэквиваленитных представлений квантовой группы A. Тогда алгебра A, как векторное пространство, распадаетсяв прямую сумму подпространств H̃u , порождённых матричными элементамиuαij представлений α ∈ T . При этом все элементы uαij между собой линейнонезависимы.(v ) Любая квантовая группа A однозначно восстанавливается по своей категориипредставлений R(A).1.2Определение квантовых расслоений. ПримерыПрежде всего дадим определения основного объекта с которым нам предстоит работать.Определение 1.3. Некоммутативным (или квантовым) главным расслоением P с базой M – унитальной, ассоциативной, но необязательно коммутативной *-алгеброй, исо структурной группой A (A — алгебра гладких функций на квантовой группе G)называется унитальная ассоциативная (но некоммутативная) *-алгебра B, для которойсуществует гомоморфизм *-алгебр F : B → B ⊗ A, такой, что(id ⊗ φ)F = (F ⊗ id)F(id ⊗ )F = id(1.16)(1.17)где φ, – соответственно коумножение и коединица квантовой группы A.
При этомдолжны быть выполнены следующие два важных условия:(кгр1 ) Существует вложение *-алгебр i : M → B, такое, чтоi(M) = {b ∈ B|F (b) = b ⊗ 1}(кгр2 ) Отображение X : B ⊗ B → B ⊗ A заданное формулойXX(c ⊗ b) =cbk ⊗ b̃k ,(1.18)kгдеPb ⊗ b̃k = F (b) ∈ B ⊗ A – эпиморфно.kРавенства (1.16) и (1.17) означают, что алгебра Хопфа A ко-действует на алгебре B(или, что « квантовая группа G действует на P »). Мы будем иногда опускать приставку« ко-» и говорить, что «. . . алгебра A действует на алгебре B.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
