Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Оказывается, например, что регулярные связности в «полуклассической теории» являются связностями в смысле указанных работ, а формыкривизны таких связностей в смысле первой главы и в смысле этих работ — совпадают(см. Предложение 2.13).2.1Локально-тривиальные квантовые расслоенияВ случае, когда база M = C ∞ (M ), где M — некоторое гладкое (C ∞ ) компактное многообразие, можно выделить важный класс квантовых главных расслоений, называемыхлокально–тривиальными. Дадим точное определение (см.
[5]).44Определение 2.1. Локально–тривиальным квантовым главным расслоением над многообразием M с квантовой структурной группой A называется унитальная ∗-алгебраB, удовлетворяющая следующим условиям:1) Существует отображение F : B → B ⊗ A, являющееся ко–действием;2) Существует ∗–гомоморфизм i : C ∞ (M ) → B;3) Для любой точки x ∈ M существует окрестность U 3 x, для которой определен∗–гомоморфизм πU : B → C ∞ (M ) ⊗ A, такой, что πU (i(f )) = f |U ⊗ 1;4) (id ⊗ φ)πU = (πU ⊗ id) ◦ F ;5) Если q = i(φ)b ∈ B, где φ ∈ C0∞ (U ), то πU (q) = 0 ⇔ q = 0.Заметим, что из определения 2.1, конечно, следует, что B будет квантовым главнымрасслоением со структурной группой A и базой M в обычном смысле (для доказательства того, что выполняется условие (кгр2 ), достаточно рассмотреть разбиение единицы(φU )u∈U для некоторого конечного покрытия U).
Обратное утверждение, однако, неверно: существуют квантовые главные расслоения, база M которых равна C ∞ (M ) длянекоторого компактного многообразия M , но которые при этом не являются локально–тривиальными. Рассмотрим пример.Пусть A = S 1 . Как указано в §1.5, задание расслоения со сотруктурной группой Aэквивалентно заданию двух сопряженных модулей E, E над M и отображений спариванияµ : E ⊗µ E → Mµ : E ⊗µ E → M.Если M = C ∞ (M ), то можно в качестве модуля E взять Γ(ξ), где ξ — некоторое классическое линейное расслоение, E = Γ(ξ). Однако структуру бимодуля в E мы введемнемного исказив ее. Пусть ε : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) — ∗–автоморфизм алгебры M (например, индуцированный некоторым диффеоморфизмом многообразия M ).
Спаривания µи µ мы определим при помощи формулµ(ψ) = U ε−1 (µ0 (ψ)),µ(φ) = ε(U )(µ0 (ϕ))где ψ ∈ E ⊗µ E, ϕ ∈ E ⊗µ E, µ0 , µ0 — стандартные спаривания сечений линейногорасслоения ξ с сечениями двойственного расслоения ξ, а U — функция на M такая, чтоU ∗ = U,т.е. U — действительнозначная функция. Ясно, что если ε 6= id, то полученное главноерасслоение не будет локально–тривиальным. Однако и база, и даже структурная группаэтого расслоения — классические.Теперь вернемся к локально–тривиальным расслоениям.
После того, как дано определение, можно доказать следующее утверждение (см. [5]):Теорема 2.1. Любое квантовое главное расслоение со структурной группой A, получается при помощи следующей конструкции из некоторого (однозначно определенного)главного расслоения со структурной группой Gcl . ПустьPcl↓ Gcl— некоторое главное расслоение.M45∞Группа Gcl действует на алгебре Cкроме того, онаP (Pcl ) по правилу: (g·φ)(x) = φ(g·x);∞действует на алгебре A: ζg (a) = g(S(a(1) ))a(2) . Тогда B = {w ∈ C (Pcl ) ⊗ A | g(w) =w, ∀g ∈ A} = C ∞ (Pcl ) ⊗GU A.Итак, после того, как мы построили главное расслоение, надо заняться построениемдифференциального исчисления (то есть алгебры дифференциальных форм) на квантовых главных расслоениях. Конечно, можно воспользоваться общей конструкцией, описанной в главе 1 (§1.3). Однако, естественно было бы потребовать чтобы, во-первых,алгебра Ω(M), построенная по Ω(P ), совпадала с алгеброй классических дифференциальных форм на многообразии M , а во-вторых, чтобы ∗-алгебра Ω(P ) была локальнотривиальной в естетственном смысле, то есть чтобы тривиализующие отображения πUраспространялись до отображений πU∧ : Ω(P ) → Ω(M)|U ⊗ Γ∧ , где Ω(M)|U = Ω(M )|U— образ алгебры обычных дифференциальных форм на M при ограничении на U .
Какпоказано в статье [5], далеко не всякое дифференицальное исчисление Γ на квантовой группе можно использовать для этих целей: необходимое и достаточное условие,выделяющее те Γ, которые допускают такое распространение для произвольных B, ане только тривиальных B ∼= C ∞ (M ) ⊗ A (мы будем называть такие Γ допустимыми)выражается следующей формулой:(X ⊗ id)ad(a) = 0,∀X ∈ lie(Acl ),a ∈ R.Здесь lie(Acl ) — алгебра Ли группы Ли Acl .Если положить R = {a ∈ ker | (X ⊗ id)ad(a) = 0, ∀X ∈ lie(Acl )}, то (см. [5])множество R является правым ad–инвариантным идеалом в ker ε.Определение 2.2. Минимальным допустимым дифференциальным исчислением наквантовой группе A называется дифференциальное исчисление Γ1 , соответствующееидеалу R.Прилагательное « минимальный» в данном контексте подразумевает, что для любого другого допустимого модуля Γ выполнено вложение RΓ ⊆ R.
К сожалению, даже вслучае группы SUµ (2), пространство (Γ1 )inv является бесконечномерным. Кроме того,с этим дифференциальным исчислением не всегда удобно работать (например, непонятно, какие связности будут в этом случае регулярными, или мультипликативными).Поэтому нашим основным примером будет, все-таки, Γ = Γ0 ≈ ker , соответствующеенулевому идеалу R.Замечание. Минимальное допустимое дифференциальное исчисление, как нетрудновидеть, совпадает с построенным в §1.1 исчислением ΓA,A (напомним, что ΓA,A = AAclΩ(Gcl ) Acl A).Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать образ гомоморфизма Вейля в этомслучае.
В этот раз он лежит в алгебре обычных когомологий де Рама многообразияM . Как указано в §1.3, этот гомоморфизм (обобщенный) отображает пространствоad⊗ –инвариантных элементов из (ker )⊗ в когомологии H ev (M, R). Но, как известно,ker = (Γ0 )inv , так что в результате описание образа W , данное в данном разделе дляпростейшего дифференциального исчисления Γ0 , годится и для образа обобщенногогомоморфизма Вейля W̃ (ниже мы подробнее остановимся на этом вопросе).Мы будем использовать следующие обозначения:U=S{Uα } — атлас расслоения P (то есть, набор открытых множеств Uα , таких, чтоM = Uα и для каждого α определен ∗–гомоморфизм πUα : P → C ∞ (Uα ) ⊗ A).
Еслиαмы будем работать только с компактными многообразиями M , то можно считать, чтоатлас U конечен (в противном случае мы предполагаем, что он локально–конечен);46Pcl — « классическая часть P » — главное расслоение со структурной группой Gcl ;πU∧α — отображения, распространяющие на Ω(P ) отображения πUα –карты расслоения;{gU V }U ∩V 6=∅ — коцикл классической части расслоения P , т.е. U, V ∈ U, и отображенияgU V : U ∩ V → Gcl , такие, чтоgU V gV W gW U = e(e — единица группы Gcl ).Заметим, что в рассматриваемом случае алгебра горизонтальных форм может бытьописана по-другому. Именно,hor(P ) = {θ ∈ Ω(P )|πU∧ (θ) ∈ Ω(U ) ⊗ A, ∀U ∈ U}.Кроме того, можно дать и описание в локальных терминах тензориальных форм исвязностей.
Следующая теорема доказана в [5] (определения тензориальных форм исвязностей см. в §1.4).Теорема 2.2. (i ) Любая тензориальная форма ϕ степени n однозначно определяетсясвоей локальной записью:XπU∧ (ϕ(θ)) =ϕU (θk ) ⊗ ck ,kгде ω(θ) =Pnθk ⊗ ck и {ϕU : Γinv → Ω (U )}U ∈U — набор ∗–линейных отображений.kЕсли V ∈ U — другая карта, U ∩ V 6= ∅, тоXϕU (θk )|U ∩V gU V (ck ).ϕV (θ)|U ∩V =(2.1)kgU V : U ∩ V → Gcl — функция перехода для расслоения Pcl . И наоборот: любой набор{ϕU : Γinv → Ωn (U )}U ∈U , удовлетворяющий (2.1), определяет некоторую тензориальную форму степени n.(ii) Любая связность ω однозначно определяется своими локальными калибровочными потенциалами {AU : Γinv → Ω1 (U )}U ∈U :XAU (θk ) ⊗ ck + 1U ⊗ θ.πU∧ (ω(θ)) =kЕсли V ∈ U — другая карта, U ∩ V 6= ∅, тоXAV (θ)|U ∩V =AU (θk )|U ∩V gU V (ck ) + ∂ U V (θ),(2.2)kPгде ∂ U V (π(a)) =gV U (a(1) )d(gU V (a(2) )) — в случае, когда Γ — допустимое дифференциальное исчисление, это выражение не зависит от выбора представителя изa ∈ A, π(a) = θ.
И наоборот, любой набор локальных калибровочных потенциалов{AU : Γinv → Ω1 (U )}U ∈U , удовлетворяющий (2.2), определяет некоторую связность нарасслоении P .(iii) Форма кривизны связности ω определяется набором ∗–линейных отображений{FU : Γinv → Ω2 (U )}U ∈U , определяемых по формулеFU (θ) = dAU (θ) − hAU , AU i(θ),где последнее слагаемое равноhAU , AU i(π(a)) =XAU (π(a(1) ))AU (π(a(2) ))47(2.3)(ср. §1.4).(iv ) Условие регулярности связности в терминах калибровочных потенциалов{AU }U ∈U имеет вид:AU (θ ◦ a) = ε(a)AU (θ)для любого U ∈ U, a ∈ A, θ ∈ Γinv . Все регулярные связности на P мультипликативныи могут быть интерпретированы как связности на классическом главном расслоенииPcl , классической части расслоения P .Пусть теперь дифференциальное исчисление на группе A — тривиальное.
Тогда мыможем описать связности на локально–тривиальном главном расслоении более точно.Именно, верна следующая теорема.Теорема 2.3. В описанной ситуации задание связности на главном расслоении Pэквивалентно выбору линейной связности для каждого векторного расслоения, ассоциированного с P при помощи некоторого неприводимого унитарного представленияквантовой группы (заметим, что мы не говорим о регулярности связности, получающейся таким образом).Доказательство. Прежде всего, дадим описание векторных расслоений, ассоциированных с локально–тривиальным квантовым главным расслоением. Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.Лемма 2.4.
Пусть P = (B, F ) — произвольное квантовое главное расслоение, Hu> —пространство представления u, на котором A действует слева (см. §1.5). ТогдаEu = B A Hu> .Доказательство. Достаточно провести его для случая, когда представление u = uαнеприводимо. Но тогда, согласно разложению из п. (vii) теоремы 1.18!X⊕X⊕B A Hα> =Eα0 ⊗ Hα0 A Hα> =Eα0 ⊗ (Hα0 A Hα> ) = Eα .α0 ∈Tα0 ∈TПоследнее равенство следует из леммы 1.16.В нашем случае, когда расслоение P локально тривиально, согласно теореме 2.1,X⊕H̃α ) ∼B = C ∞ (Pcl ) ⊗Gcl A ∼== C ∞ (Pcl ) ⊗Gcl (α∈TX⊕X⊕∼Hα> ⊗ Hα ) ∼(C ∞ (Pcl ) ⊗Gcl Hα> ) ⊗ Hα .== C ∞ (Pcl ) ⊗Gcl (α∈Tα∈TВсе равенства записаны для бимодулей над C ∞ (M ), на которых ко-действует (справа) квантовая группа A, при этом мы активно использовали результаты §1.5. Тогда!X⊕Eα = B A Hα> =(C ∞ (Pcl ) ⊗Gcl Hα> ) ⊗ Hα A Hα> = C ∞ (Pcl ) ⊗Gcl Hα> .α∈TИтак, векторное расслоение Eα , ассоциированное с локально–тривиальным главным квантовым расслоением при помощи (неприводимого) представления uα , равноC ∞ (Pcl ) ⊗Gcl Hα> (как бимодуль над C ∞ (M )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
