Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Выберем в коммутативнойалгебре Z(B)∩M подалгебру Z, состоящую из эрмитовых (т.е. z ∗ = z) элементов. ПустьΛnZ,h (M) обозначает внешнюю алгебру, построенную по derh (M) и Z.Рассмотрим градуированное пространствоMHomZ (ΛnZ,h (M), B)n>0(напомним, что Λ0Z,h (M) = C, и значит, при n = 0, HomZ Λ0Z,h (M), B) = Hom(C, B) = B). Отображение F : B → B ⊗ A индуцирует отображение градуированных пространствMMF∗ :HomZ (ΛnZ,h (M), B) →HomZ (ΛnZ,h (M), B ⊗ A).n>0n>0Заметим, что существует очевидное вложение для любого n > 1:HomZ (ΛnZ,h (M), B) ⊗ A ,→ HomZ (ΛnZ,h (M), B ⊗ A).58Теорема 2.9.

Пространство hor∗sc (P ) =Lhornsc (P ), гдеn>0hornsc (P ) = F∗−1 (HomZ (ΛnZ,h (M), B) ⊗ A)является градуированной ∗–алгеброй, на которой справа кодействует квантовая группа A.Доказательство.Заметим, что формулы, аналогичные (2.12) и (2.13) превращает проLстранствоHomZ (ΛnZ,h (M), B) в градуированную ∗–алгебру. Докажем, что hor∗sc (P )n>0Lбудет ∗–подалгеброй вHomZ (ΛnZ,h (M), B) относительно введенного умножения и ∗–n>0структуры.LВ самом деле, в пространствеHomZ (ΛnZ,h (M), B ⊗ A) точно таким же способомn>0можно ввести стуктуру градуированной ∗–алгебры. Так как отображение F : B → B⊗Aявляется гомоморфизмом ∗–алгебр, то и отображение F∗ , рассмотренное выше, будетгомоморфизмом ∗–алгебр.С другой стороны, очевидно, что HomZ (ΛnZ,h (M), B) ⊗ AL— ∗–подалгебра вHomZ (ΛnZ,h (M), B ⊗ A).

Поэтому прообраз этой подалгебры отноn>0Lсительно гомоморфизма F∗ будет ∗–подалгеброй вHomZ (ΛnZ,h (M), B).n>0Докажем теперь, что на hor∗sc (P ) справа кодействует квантовая группа A. Но, всамом деле, ограничение гомоморфизма F∗ на hor∗sc (P ) задает отображениеMF∧ : hor∗sc (P ) →HomZ (ΛnZ,h (M), B) ⊗ A.n>0Покажем, что на самом делеF∧ (hor∗sc (P )) ⊆ hor∗sc (P ) ⊗ A.Для этого рассмотрим отображениеMMHomZ (ΛnZ,h (M), B ⊗ A) →HomZ (ΛnZ,h (M), B ⊗ A⊗2 ).(F ⊗ idA )∗ :n>0n>0На подалгебре!MHomZ (ΛnZ,h (M), B)⊗A⊆n>0MHomZ (ΛnZ,h (M), B ⊗ A)n>0это отображение, очевидно, совпадает с!MF∗ ⊗ idA :HomZ (ΛnZ,h (M), B) ⊗ A →n>0!MHomZ (ΛnZ,h (M), B ⊗ A)⊗ A.n>0Таким образом, чтобы доказать последнее утверждение, нам достаточно показать, что!M(F ⊗ idA )∗ (F∧ (hor∗sc (P ))) ⊆HomZ (ΛnZ,h (M), B) ⊗ A⊗2 .n>0Но F∧ = F∗ |hor∗sc (P ) , а, с другой стороны(F ⊗ idA )∗ F∗ = ((F ⊗ idA )F )∗ = ((idB ⊗ φ)F )∗ = (idB ⊗ φ)∗ F∗ .59Поэтому(F ⊗ idA )∗ (F∧ (hor∗sc (P ))) = (idB ⊗ φ)∗ (F∧ (hor∗sc (P ))) ⊆!#"M⊆ (idB ⊗ φ)∗HomZ (ΛnZ,h (M), B) ⊗ A =n>0"= ((idB )∗ ⊗ φ)!MHomZ (ΛnZ,h (M), B)#⊗A ⊆n>0"⊆#MHomZ (ΛnZ,h (M), B) ⊗ A⊗2 .n>0Итак,F∧ (hor∗sc (P )) ⊆ hor∗sc (P ) ⊗ A.То, что F∧ является гомоморфизмом градуированных ∗–алгебр, следует из аналогичных свойств отображения F∗ , равно как и выполнение свойств(F∧ ⊗ id)F∧ = (id ⊗ φ)F∧ ,(id ⊗ )F∧ = id.Определение 2.3.

Алгебру hor∗sc (P ) мы будем называть алгеброй полуклассическихдифференциальных форм на расслоении P . Аналогично, дифференциальную градуированную ∗–алгебру Ω∗Z,h (M), построенную по derh (M) и Z ⊆ Z(B) ∩ M, Z состоитиз эрмитовых элементов, мы будем называть алгеброй полуклассических дифференицальных форм на M (приставка “полу–” указывает на то, что M — некоммутативнаяалгебра), обозначается Ωsc (M).Следующая теорема описывает важнейшие свойства алгебры hor∗sc (P ).Теорема 2.10.(i) Алгебра hor∗sc (P ) представляется в виде прямой суммы правых A–комодулей, являющихся градуированными Ωsc (M)–бимодулями:MHα ,hor∗sc (P ) =α∈TгдеHα ' (Ωsc (M) ⊗M E α ) ⊗ Hα, как левый Ωsc (M)–модуль, иHα ' (E α ⊗M Ωsc (M)) ⊗ Hα, как правый Ωsc (M)–модуль. (α ∈ T — набор неэквивалентных неприводимыхпредставлений квантовой группы A, E α — векторное расслоение, ассоциированное с P при помощи представления α, Hα = Cnα — векторное пространство, накотором действует представление α).В частности, ∗–алгебра A–инвариантных элементов в hor∗sc (P ), H∅ совпадает сΩsc (M).60(ii) Справедливы следующие разложения hor∗sc (P ) в тензорные произведения:Ωsc (M) ⊗M B ∼= hor∗sc (P ) ' B ⊗M Ωsc (M),(2.15)причем левый изоморфизм является изоморфизмом левых градуированныхΩsc (M)–модулей, а правый изоморфизм — изоморфизм правых градуированныхΩsc (M)–модулей.Доказательство.(i) Воспользуемся изоморфизмомD C C ∼= D,справедливым для любого правого комодуля D над коалгеброй C.Тогда!MM∗∗∗αα∼∼hor∗ (P ) ∼horAhorH̃hor(P)H̃,===AAAscscscscα∈Tα∈Tгде H̃ α — подпространство в A, порожденное элементами uαij , i, j = 1, .

. . , nα матрицыuα , задающей представление α. Как указано в главе 1 (§1.5), H̃ α ∼= Hα> ⊗ Hα как бикомодуль над A, поэтомуhor∗sc (P ) A H̃ α ∼= hor∗sc (P ) A Hα> ⊗ Hα ,как правый A–комодуль. Очевидно, что умножение на элементы Ωsc (M) ⊆ hor∗sc (P ), задает на пространстве hor∗sc (P )A Hα> структуру градуированного бимодуля над Ωsc (M).Мы покажем, что, как левый Ωsc (M)–модуль, hor∗sc (P )A Hα> изоморфен Ωsc (M)⊗M E α ,а как правый Ωsc (M)–модуль, E α ⊗M Ωsc (M).nαPωk ⊗ ek ∈ hornsc (P ) A Hα> , где ωk ∈ hornsc (P ), ek — базис в Hα> .В самом деле, пустьЭто значит, чтоnαPk=1nαPF∧ (ωk ) ⊗ ek =k=1ωk ⊗ uαkj ⊗ ej .j,k=1Сравнивая коэффициенты при ek , получаем, чтоF∧ (ωk ) =nαXωj ⊗ uαjk .j=1Из этого следует, в частности, что, если форма ω ∈ hornsc (P ) входит в разложениененулевого элемента из hornsc (P ) A Hα> , тоF∧ (ω) ∈ hornsc (P ) ⊗ H̃α .(2.16)С другой стороны, пусть X1 , . .

. , Xn ∈ derh (M) — произвольные элементы. Из вложения (2.16) следует, чтоF (ω(X1 , . . . , Xn )) ∈ B ⊗ H̃α ,где F — кодействие A на B.Отсюда следует, чтоω(X1 , . . . , Xn ) ∈ B αдля любых X1 , . . . , Xn ∈ derh (M),61e α . Как следует из результатовгде B α ⊆ B — подпространство, такое что F (B α ) ⊆ B ⊗ Hα∼главы 1, B = E ⊗ Hα . Поэтому для ω вышеуказанного типаω ∈ HomZ (ΛnZ,h (M), B α ) ⊆ HomZ (ΛnZ,h (M), B),где, при этом, очевидноHomZ (ΛnZ,h (M), B α ) ∼== HomZ (ΛnZ,h (M), E α ⊗ Hα ) ∼∼= HomZ (ΛnZ,h (M), E α ) ⊗ Hα ⊆ hornsc (P ). (2.17)Значит,hornsc (P ) A Hα> ⊆ HomZ (ΛnZ,h (M), E α ) ⊗ Hα A Hα> ∼= HomZ (ΛnZ,h (M), E α ),так как Hα A Hα> = C.С другой стороны, в силу вложения (2.17)HomZ (ΛnZ,h (M), E α ) ⊆ hornsc (P ) A Hα> ,и, значит,hor∗sc (P ) A Hα> ∼= HomZ (Λ∗Z,h (M), E α ).Осталось доазать, чтоΩsc (M) ⊗M E α ∼= E α ⊗M Ωsc (M).= HomZ (Λ∗Z,h (M), E α ) ∼Достаточно показать, что для любого n > 1Ωnsc (M) ⊗M E α ∼= HomZ (ΛnZ,h (M), M) ⊗M E α ∼=∼= HomZ (ΛnZ,h (M), E α ),и аналогично для правого разложения (для n = 0 утверждение очевидно).

Для этоговспомним, что E α — проективный конечнопорожденный левый модуль над M, и одновременно правый конечнопорожденный проективный модуль над M, и воспользуемсяследующим хорошо известным утверждениемЛемма 2.11. Пусть E — конечнопорожденной проективный правый модуль над произвольной унитальной алгеброй M, H — произвольный бимодуль над коммутативнойалгеброй Z ⊆ Z(M). Тогда справедливо разложениеHomZ (H, E) ∼= E ⊗M HomZ (H, M).Доказательство. Пусть сначала E — произвольный правый M — модуль. Рассмотримочевидное отображениеϕE : E ⊗M HomZ (H, M) → HomZ (H, E),(ϕE (e ⊗ f ))(h) = ef (h), e ∈ E, f ∈ HomZ (H, M), h ∈ H(корректность этого определения проверяется элементарным образом).

Очевидно также, что ϕE является морфизмом правых M–модулей.Пусть ψ : E → E 0 — произвольный морфизм правых модулей над M. Формула(ψ∗ (f ))(h) = ψ(f (h))62задает морфизм ψ∗ : HomZ (H, E) → HomZ (H, E 0 ) правых M–модулей. Очевидно, чтоотображение ϕE естественно относительно ψ и ψ∗ , то есть коммутативна следующаядиаграммаϕEE ⊗M HomZ (H, M) −−−→ HomZ (H, E)ψ⊗idψyy ∗ϕ0EE 0 ⊗M HomZ (H, M) −−−→ HomZ (H, E 0 ).Наконец, ясно, что для любого свободного конечнопорожденного модуля Mn , ϕMn— изоморфизм.Пусть теперь E — проективный конечнопорожденный модуль, то есть существуетсвободный конечнопорожденный модуль Mn , и отображения модулейi : E → Mn ,p : Mn → E,такие, что p ◦ i = id.Рассмотрим диаграммуp⊗idi⊗idE ⊗M HomZ (H, M) −−−→ Mn ⊗M HomZ (H, M) −−−→ E ⊗M HomZ (H, M)ϕEϕ nϕEyy MyHomZ (H, E)i∗−−−→HomZ (H, Mn )p∗−−−→HomZ (H, E).Тогда для любого f ∈ HomZ (H, E)f = id∗ (f ) = (p ◦ i)∗ (f ) = p∗ i∗ (f ) = ϕE (p ⊗ id)ϕ−1Mn i∗ (f ),и, значит, отображение ϕE — сюръективно (заметим, что эта часть выполняется дляпроизвольного конечнопорожденного модуля E).

С другой стороны, ϕE — инъективно,так как i∗ ◦ ϕE = (i ⊗ id) ◦ ϕMn , причем ϕMn — изоморфизм, а i ⊗ id — инъективноеотображение, так как (p ⊗ id)(i ⊗ id) = id ⊗ id. Лемма доказанаТаким образом, пункт (i ) доказан.Пункт (ii) — непосредственноепункта (i) и разложения алгебры B в пряP⊕следствиеαмую сумму M–бимодулей: B =α∈T B2.3Связности в полуклассической теорииКак следует из теорем 2.9 и 2.10, алгебра hor∗sc (P ) удовлетворяет всем условиям, накладываемым на алгебру горизонтальных дифференциальных форм на квантовом главномрасслоении (см.

теоремы 1.18 и 1.25).Пусть теперь Ω(P ) — такое дифференциальное исчисление на квантовом главномрасслоении P , что алгебра горизонтальных дифференциальных форм этого дифференциального исчисления совпадает с hor∗sc (P ). Тогда, как показано в §1.4, ковариантныедифференцирования Dω , построенные по регулярным связностям ω на P , являютсяградуированными антидифференцированиями степени 1 на hor∗sc (P ), такими, чтоDω (ϕ∗ ) = Dω (ϕ)∗ ;F∧ Dω (ϕ) = (Dω ⊗ id)F∧ (ϕ),(2.18)(2.19)и Dω |Ωsc (M) = dM , где dM — дифференциал на Ωsc (M), индуцированный из Ω(P ).63Мы будем считать, что dM = dsc , гдеdsc : Ωnsc (M) → Ωn+1sc (M),— дифференциал на Ω∗sc (M) = HomZ (Λ∗Z,h (M), M), описанный в прерыдущем параграфе.В силу теоремы 1.25, верно и обратное утверждение: для любого подпространстваL в аффинном пространстве dersc (P ), состоящем из градуированных антидифференцирований D на hor∗sc (P ), таких, что выполнены условия (2.18), (2.19) и D|Ωsc (M) = dsc ,существует такое дифференциальное исчисление Ω(P ) = Ω(P, L) на главном квантовомрасслоении P , что любое дифференцирование D из L является ковариантным дифференцированием для некоторой регулярной связности на P в дифференциальном исчислении Ω(P ) (конечно, подалгебра горизонтальных дифференциальных форм в Ω(P )совпадает с hor∗sc (P )).Итак, изучим антидифференцирование порядка 1 алгебры hor∗sc (P ), удовлетворяющие уравнениям (2.18) и (2.19) и условию D|Ωsc (M) = dsc .Предложение 2.12.

Любое дифференцирование D, удовлетворяющее указанным условиям, определяет « лифт дифференцирований»: отображение Z–бимодулейl : derh (M) → derh (B),такое, чтоl(X)(m) = X(m),F (l(X)(b)) = (l(X) ⊗ id)F (b),∀m ∈ M∀b ∈ B.(2.20)(2.21)И наоборот, любое отображение l : derh (M) → derh (B), удовлетворяющее (2.20)и (2.21) однозначно определяет некоторое антидифференцирование D степени 1 градуированной ∗–алгебры hor∗sc (P ), удовлетворяющее вышеуказанным условиям.Замечание. В классическом случае, когда M и B — алгебры гладких (C–значных)функций на многообразиях M и P , дифференцирования этих алгебр соответствуютC–значным гладким векторным полям на многообразиях. В этом случае все алгебры,входящие в определения — коммутативны, и можно выбрать в качестве Z алгебру действительнозначных функций на M ; эрмитовы дифференцирования в алгебрах M и B— это гладкие действительнозначные векторные поля. В этом случае понятие « лифтадифференцирования» превращается в известное из классической дифференциальнойгеометрии понятие « лифта векторных полей» (см., например, [16]): для каждого векторного поля X на M , связность τ на главном расслоении P над M позволяет построитьe на P , такое, что (см.

Характеристики

Список файлов диссертации