Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 16
Текст из файла (страница 16)
На главном квантовом расслоении P существуют регулярные связ1ности тогда и только тогда, когда равен нулю класс когомологий [µω ] ∈ Heq(N , K).Доказательство. Прямое утверждение — тривиальное следствие предыдущей теоремыи того, что, согласно определению, ω — регулярная связность тогда и только тогда,когда lω = 0.1Чтобы доказать обратное, заметим, что пространство Ceq(N , K) можно отождествить с пространством тензориальных форм на расслоении P, τ (P ).
Тогда из (3.8)следует, что µω + δ λ̃ = µω+λ для любой тензориальной формы λ (здесь λ̃ — элемент из1Ceq(N , K), отождествляемый с λ).Сделаем несколько замечаний. Во-первых, отображение градуированных пространств µω : N ⊗ K → K имеет степень 1, так как ω ∈ ψ 1 (P ) — псевдотензориальная•1-форма. Поэтому, если рассматривать на Ceq(N , K) градуировку, равную сумме вве2(N , K).дённой градуировки и степени отображения, то класс [µω ] будет лежать в Heq•Во-вторых, коцепной комплекс Ceq (N , K) является подкомплексом вMC • (N , K) =HomK (N ⊗ K⊗n , K)n>0(дифференциал в C • (N , K) задаётся той же формулой, что и дифференциал в•Ceq(N , K)).В-третьих, пусть I⊗1 — пространство $-инвариантных элементов в Γinv , θ ∈ I⊗1 —произвольный элемент.
Рассмотрим отображениеiθ : Ω(M)⊗n → N ⊗ K⊗n ,iθ (m1 ⊗ . . . ⊗ mn ) = (1 ⊗ θ) ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mn .nТак как любое отображение µ ∈ Ceq(N , K) A-эквивариантно, то, в частности µ отображает подпространство iθ (Ω(M))⊗n в Ω(M). В частности, коцикл µω индуцируеиотображениеθω = iθ∗ (µω ) : Ω(M) → Ω(M),θω (m) = ω(θ)m − (−1)∂m mω(θ).77(3.9)Предложение 3.7. θω — дифференцирование градуированной алгебры Ω(M) и, если ω 0— другая связность, то разность θω0 − θω — внутреннее дифференцирование алгебрыΩ(M).Доказательство.θω (m1 m2 ) = ω(θ)m1 m2 − (−1)∂m1 +∂m2 m1 m2 ω(θ) = ω(θ)m1 m2 −− (−1)∂m1 m1 ω(θ)m2 + (−1)∂m1 m1 ω(θ)m2 −− (−1)∂m1 +∂m2 m1 m2 ω(θ) = θω (m1 )m2 + (−1)∂m1 m1 θω (m2 ).Аналогично, при помощи (3.8), проверяем, что разность θω0 − θω равна внутреннемудифференцированию, порождённому элементом λ(θ).Конечно, само дифференцирование θω отнюдь не обязано быть внутренним.
Ограничение θω на M задаёт дифференцирование на M со значением в Ω1 (M), определённоес точностью до внутреннего дифференцирования.Как известно (см. [10]) фактор-пространство пространства дифференцированийнекоторой ассоциативной алгебры A со значениями в A-бимодуле M по подпространствувнутренних дифференцирований есть в точности HH 1 (A, M ), где HH ∗ (A, M ) — когомологии Хохшильда алгебры A со значениями в M .
В нашем случае алгебра A = M,M = Ω1 (M). Напомним общее определение когомологий Хохшильда унитальных алгебр.Пусть A — унитальная алгебра M — A-бимодуль. Рассмотрим коцепной комплексMHom(A⊗n , M )(3.10)CH • (A, M ) =n>0с дифференциаломδf (a1 ⊗ . . . ⊗ an+1 ) = a1 f (a2 ⊗ . . . ⊗ an+1 )+nX+(−1)i f (a1 ⊗ . .
. ⊗ ai ai+1 ⊗ . . . ⊗ an+1 )+i=1+ (−1)n+1 f (a1 ⊗ . . . ⊗ an )an+1 .Точно так же, как и выше, проверяется, что δ 2 = 0. Когомологии этого коцепного комплекса назвываются когомологиями Хохшильда алгебры A со значениями в M . Несложно проверить (см. [10]), чтоHH 0 (A, M ) = {m ∈ M |ma = am, ∀a ∈ A}и что HH 1 (A, M ) равно пространству{X : A → M |X(aa0 ) = X(a)a0 + aX(a0 ), ∀a, a0 ∈ A}— дифференцирований алгебры A со значениями в M , профакторизованному по подпространству внутренних дифференцированийad(M ) = {[m, ·] : A → M |[m, a] = ma − am, m ∈ M },иначе-говоря, HH 1 (A, M ) — пространство « внешних дифференцирований» алгебры Aсо значениями в M .78Таким образом, дифференцирование θω , θ ∈ I⊗1 можно проинтерпретировать какэлемент пространства HH 1 (M, Ω1 (M)) ⊆ HH 1 (M, Ω(M)).
На самом деле, для произвольных θ ∈ Γinv при помощи той же формулы (3.9) можно определить отображенияθω : Ω(M) → hor(P ), которые тоже будут дифференцированиями, и при замене связности к дифференцированию θωPбудет прибавляться внутреннее дифференцирование0[λ(θ), ·], (λ = ω − ω).
Пусть θ̃ = i θi1 ⊗ . . . ⊗ θin ∈ I⊗n . ПоложимX(3.11)θ̃ω =θi1 ω ⊗ . . . ⊗ θin ω : (Ω(M))⊗n → hor(P ).iТеорема 3.8. (i ) θ̃ω (Ω(M)⊗n ) ⊆ Ω(M), в частности θ̃ω (M⊗n ) ⊆ Ω(M);(ii) отображение θ̃ω , рассматриваемое как элеменнт CH n (M, Ω(M)) является коциклом;(iii) класс [θ̃ω ] ∈ HH n (M, Ω(M)) не зависит от выбора связности ω.Доказательство.
Утверждение (i ) очевидно. Докажем (ii): вычисляемδ(θ̃ω )(m1 ⊗ . . . ⊗ mn+1 ) = m1 θ̃ω (m2 ⊗ . . . ⊗ mn+1 )+nX(−1)j θ̃ω (m1 ⊗ . . . ⊗ mj mj+1 ⊗ . . . ⊗ mn+1 )+j=1+ (−1)n+1 θ̃ω (m1 ⊗ . . . ⊗ mn )mn+1 .Вспомним, чтоθ̃ω (m01 ⊗ . . . ⊗ m0n ) =Xθi1 ω (m01 ) · . . . · θin ω (m0n )i. Тогда для фиксированного i:m1 θi1 ω (m2 ) · . . . · θin ω (mn+1 ) == θi1 ω (m1 m2 ) · . . . · θin ω (mn+1 ) − θi1 ω (m1 )m2 θi2 ω (m3 ) · .
. . · θin ω (mn+1 ) == θi1 ω (m1 m2 ) · . . . · θin ω (mn+1 ) − θi1 ω (m1 )θi2 ω (m2 m3 ) · . . . · θin ω (mn+1 )++ θi1 ω (m1 )θi2 ω (m2 )m3 · . . . · θin ω (mn+1 ) == ......... ==nX(−1)i−1 θi1 ω (m1 ) · . . . · θij ω (m2 m3 ) · . . . · θin ω (mn+1 )+j=1+ (−1)n θi1 ω (m2 ) · . . . · θin ω (mn )mn+1 .Складывая эти равенства для всех i получаем δ(θ̃ω ) = 0.Докажем утверждение (iii). Для этого рассмотрим другую связность ω 0 и пустьωt = ω + tλ, λ = ω 0 − ω, t ∈ [0; 1].Тогда ωt — семейство связностей на главном расслоении P , такое, что ω0 = ω, ω1 = ω 0 .79Вычислим:dθ̃ω (m1 ⊗ . .
. ⊗ mn ) =dt tX=[λ(θi1 ), m1 ]θi2 ωt (m2 ) · . . . · θin ωt (mn ) + . . .in. . . + θi1 ωt (m1 ) · . . . · θin−1ωt (mn−1 )[λ(θi ), mn ] == δχt (m1 ⊗ . . . ⊗ mn ),гдеχt (m01 ⊗ . . . ⊗ m0n−1 ) =Xn0=λ(θi1 )θi2 ωt (m01 ) · . . . · θin ωt (m0n−1 ) + . . . + θi1 ωt (m01 ) · . . . · θin−1ωt (mn−1 )λ(θi ) .iИнтегрируя это равенство по t от 0 до 1 получаемθ̃ω0 = θ̃ω + δZ1χt dt .0Замечание.
Конструкцию когомологий Хохшильда можно распространить на случай,когда A — градуированная алгебра, а M — градуированный A-бимодуль. В этом случаеполагаютMCH n (A, M ) = Hom(A⊗n+1 , M ) =CH n,j (A⊗n+1 , M ).j∈ZЗдесьCH n,j (A⊗n+1 , M ) = Homj (A⊗n+1 , M );defHomj (A⊗n+1 , M ) = {f ∈ Hom(A⊗n+1 , M )|f меняет градуировку на j}.Дифференциал в этом случае задаётся следующей формулой, полностью аналогичной той, которой пользуются в неградуированном случае:δϕ(a1 , . . .
, an+1 ) = (−1)∂ϕ∂a1 a1 ϕ(a2 , . . . , an+1 )+nX+(−1)i ϕ(a1 , . . . , ai ai+1 , . . . , an+1 )+i=1+ (−1)n+1 ϕ(a1 , . . . , an )an+1 ,(мы полагаем ∂ϕ = j, если ϕ ∈ CH n,j (A, M )).В градуированном случае пространство HH 1 (A, M ) тоже совпадает с пространством« внешних» (градуированных) дифференцирований алгебры A.В свете всего вышеизложенного можно рассмотреть комплекс CH • (Ω(M), Ω(M))P 1n+1и для произвольного θ =∈ I⊗n+1 определить элемент ˜˜θω ∈i θi ⊗ · · · ⊗ θin,nCH (Ω(M), Ω(M)) при помощи формулыXn+1ε1˜˜θ(aθi,ω(a1 ) · . . . · θi,ω(an+1 ),ω 1 , . .
. , an+1 ) = (−1)iгде = n∂a1 + (n − 1)∂a2 + . . . + ∂an .80Теорема 3.9. (i ) δ ˜˜θω = 0;(ii) класс когомологий [ ˜˜θ]ω не зависит от выбора связности ω;(iii) отображение HH(Ω(M), Ω(M)) → HH(M, Ω(M)) перводит класс [ ˜˜θ]ω в класс[θ̃ω ].Доказательство. Совершенно аналогично доказательству теоремы 3.8.3.2Случай векторных расслоенияхПрепятствие, введённое в предыдущем параграфе вычислять чрезвычайно сложно.
Поэтому мы попытаемся здесь разобраться несколько более простой задачей: ковариантноедифференцирование, заданное произвольной регулярной связностью задаёт на каждомградуированном модуле Fu дифференциальных форм на расслоении P антидифференцирование Dω,u = Du степени 1, причём все дифференцирования из набора {Du }u∈R(G)согласованы между собой (см. теорему 1.18).
Фиксируем теперь представление квантовой группы u ∈ R(G) и попробуем ответить на вопрос: существует ли для модуляF = Fu отображение D : F → F, такое, чтоD(ϕα) = D(ϕ)α + (−1)∂ϕ ϕdM (α),D(αϕ) = dM (α)ϕ + (−1)∂α αD(ϕ),для любых ϕ ∈ F, α ∈ Ω(M). Даже в таком виде задача достаточно сложная. Чтобыещё более упростить её, рассмотрим ограничение D на E = F 0 ⊆ F.
Дифференцирование D задаёт тогда отображение ∇ : E → F 1 , такое, что∇(em) = ∇(e)m + edM (m),∇(me) = dM (m)e + m∇(e)(3.12)для любых e ∈ E, m ∈ M. В частности, в случае полу-классического дифференциального исчисления на базе, когда алгебра горизонтальных дифференциальных формна расслоении равна hor∗sc (P ), тогда F 1 = HomZ (derh (M), E) и, как показано в главе 2,условия (3.12) эквивалентны∇X (em) = ∇X (e)m + eX(m),∇X (me) = X(m)e + m∇X (e),(3.13)для любых m ∈ M, e ∈ E, X ∈ derh (M).Точно так же, как по лифту дифференцирований l : derh (M) → derh (B) можно восстановить дифференцирование алгебры hor∗sc (P ) (см.
главу 2), можно показать, что поотображению ∇ : E → HomZ (derh (M), E), удовлетворяющему условиям (3.13) можновосстановить дифференцирование D градуированного модуля F = HomZ (ΛZ ,h (M), E).Автору неизвестно, верно ли подобное утверждение в случае произвольного дифференциального исчисления. Очевидно, необходимым и достаточным условием продолжимости отображения ∇ до дифференцирования градуированного модуля F являетсякоммутативность следующей диаграммыσΩ(M) ⊗M E −−−→ E ⊗M Ω(M)∇⊗1+1⊗d∂·MydM ⊗1+(−1) ⊗∇yσΩ(M) ⊗M E −−−→ E ⊗M Ω(M),81(3.14)где σ : Ω(M) ⊗M E → E ⊗M Ω(M) — канонический изоморфизм и мы отождествляемΩ(M) ⊗M F 1 = F = Ω(M) ⊗M E (см.
§1.5). С другой стороны, из изоморфизмовF∼= Ω(M) ⊗M E и F ∼= E ⊗M Ω(M) следует, что, если такое продолжение существует,то оно единственное.Замечание. Вообще говоря, для того, чтобы справиться с вышеуказанными затруднениями, нам следовало бы рассматривать дифференцирование D, как отображениеDF → F степени 1 и работать в дальнейшем в градуированной категории. То есть, везде,где далее речь будет идти об алгебре, её надо было бы рассматривать как градуированную алгебру, соответственно модуль должен был бы каждый раз быть градуированным,и т. п., см.
Замечание в конце предыдущего параграфа. Все результаты этого параграфаможно без затруднений перенести на градуированный случай, при этом, правда, во всехформулах надо будет правильно расставить знаки. Это сильно загромождает текст, тогда как все основные идеи вполне проявляются уже в случае обычных ассоциативныхалгебр. Поэтому мы ограничимся указщанным выше упрощённым случаем.Ниже мы будем исследовать вопрос существования для произвольного бимодуля Eотображений ∇, удовлетворяющих условиям (3.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
