Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 18
Текст из файла (страница 18)
⊗ mn+1 ) = ϕ(em1 ⊗ . . . ⊗ mn+1 )+nX+(−1)i ϕ(e ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mi mi+1 ⊗ . . . ⊗ mn+1 )+i=1+ (−1)n+1 ϕ(e ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mn )mn+1 . (3.25)86(H̃ q (E, M; N ), p = 0,0,p 6= 0Рассматриваемая спектральная последовательность вырождается на втором членеи когомологии Hbi∗ (E, M; N ) равны H̃ ∗ (E, M; N ). Найдём, во что переходит при этомизоморфизме класс 1 ⊗ dM − dM ⊗ 1.Как следует из предложения 3.11, если бимодуль E конечно-порождён и проективенкак левый модуль, то на нём существуют « левые связности» то есть существуют отображения ∇ : E → N , удовлетворяющие второму из соотношений (3.12) (или (3.13)).Тогда, очевидно, коцикл dM ⊗ 1 ∈ C 1,0 (E, M; N ) переходит в˜ ∈ C̃(E, M; N ), ∇(e˜ ⊗ m) = ∇(em) − ∇(e)m.∇(3.26)T 10,1Поэтому, так как коцикл 1 ⊗ dM ∈ C (E, M; N ) C̃ (E, M; N ) выживает без изменений в члене E 1 спектральной последовательности, получаем, что класс 1 ⊗ dM − dM ⊗ 1превращается в˜ ∈ H̃ 1 (E, M; N ).[1 ⊗ dM − ∇](3.27)˜Замечание.
На самом деле, полученный критерий равенства нулю класса [1 ⊗ dM − ∇]работает в более общем случае: достаточно, чтобы на модуле E существовала « односторонняя связность», то есть отображение ∇ : E → N , удовлетворяющее одному изусловий (3.12) (или (3.13)). В самом деле, для любого бимодуля E у которого существует « левая связность», то есть отображение ∇, удовлетворяющее второму из уравнений(3.12) (или (3.13)), можно рассмотреть комплекс C̃ • (E, M; N ) и прямым вычислением˜ = 0 и что класс [1 ⊗ dM − ∇]˜ ∈ H̃ 1 (E, M; N ) неможно проверить, что δ̃(1 ⊗ dM − ∇)зависит от выбора односторонней связности ∇.
С другой стороны, если связность ∇˜ = 0. В случае, когда суудовлетворяет обоим условиям (3.12) (или (3.13)) то 1 ⊗ dM − ∇ществует « правая связность», то есть отображение ∇, для которого выполняется первоеиз равенств (3.12) (или (3.13)), вместо комплекса C̃ • (E, M; N ) следует рассмотретьM˜C̃ n (E, M; N ),C̃˜ • (E, M; N ) =Тогда, очевидно,E2p,q=n>0C̃˜ n (E, M; N ) = Hom·,M (M⊗n ⊗ E, N )(3.28)˜ При этом роль коцепи 1 ⊗ d − ∇˜ из (3.26)и соответствующим дифференциалом δ̃.M˜˜ − d ⊗ 1, гдебудет играть ∇M˜˜˜˜ : M ⊗ E → N , ∇(m⊗ e) = m∇(e) − ∇(me).∇Так же, как и прежде, эта конструкция получается, в случае, если E — проективен иконечно-порождён как правый модуль, из анализа бикомплекса (3.23).Приведём два примераПример 3.2.1. Пусть M = Matn (C), тогда der(M) = Matn (C) = M и все дифференцирования —внутренние, а центр алгебры M изоморфен C, он состоит из скалярныхматриц. Пусть R ∈ GLn (C) — произвольная невырожденная матрица.
Рассмотрим бимодуль E над M, такой, что, как векторное пространство над C, E совпадает с Matn (C),причём структура левого модуля над M задаётся стандартным умножением матриц, аструктура правого модуля определена как · B = ARBR−1 . Мы будем искать связностив смысле (3.13). Поэтому положимN = HomC (der(M), E) ∼= HomC (Matn (C), Matn (C)) ∼=∼= Matn (C) ⊗ Matn (C) ∼= Matn (Matn (C)).87Так как модуль E — свободный модуль с одной образующей, как левый (и как правый)модуль над M, то для него, конечно, существуют односторонние (левые) связности.Например, такой связностью будет тривиальное отображение ∇ : E → N , ∇X (A) =[A, X] (здесь [, ] обычный коммутатор матриц).
С другой стороны, прямое вычислениепоказывает, что отображениеT : C̃ • (E, M; N ) → CH • (Matn (C), N ),T ϕ(A1 ⊗ . . . ⊗ An ) = ϕ(1 ⊗ R−1 A1 R ⊗ . . . ⊗ R−1 An R)задаёт изоморфизм между комплексом C̃ • (E, M; N ) и комплексом для вычисления ко˜ − 1 ⊗ dM переходит вгомологий Хохшильда CH • (Matn (C), N ). При этом коцепь ∇Φ : Matn (C) → N , ΦX (A) = [R−1 AR, X] − R−1 [A, X]R.Однако, из теоремы Мориты об эквивалентности следует, чтоHH n (Matn (C), N ) = HH n (Matn (C), Matn (Matn (C))) ∼=∼= HH (C, Matn (C)) =nMatn (C), n = 0,0,n=6 0.Значит препятствие равно нулю и связность на E существует.Пример 3.2.2. Пусть M = Matn (C ∞ (M )), где M некоторое гладкое многообразие, E = Matn (C ∞ (M )), причём структура левого модуля на E задано обычным умножением матриц, а структура правого модуля — формулой A(x) · B(x) =A(x)R(x)B(x)R−1 (x), где R(x) — семейство невырожденных матриц на многообразии.Пусть N = HomC ∞ (M ) (Vect(M ), Matn (C ∞ (M ))) ∼= Matn (Ω1 (M )), где Vect(M ) — про1странство гладких векторных полей на M , а Ω (M ) пространство гладких дифференциальных один-форм на M .Опять, так как модуль E — свободный модуль с одной образующей, как левый (иправый) модуль над M, то на нём существуют односторонние связности.
Например,такой связностью будет отображение∇ : E → N , ∇ξ (A(x)) = ξ(A(x))для любого гладкого поля ξ на M .С другой стороны, точно так же, как и выше, отображениеT : C̃ • (E, M; N ) → CH • (Matn (C ∞ (M )), N ),T ϕ(A1 (x) ⊗ . . . ⊗ An (x)) == ϕ(1 ⊗ R−1 (x)A1 (x)R(x) ⊗ . . . ⊗ R−1 (x)An (x)R(x))˜−задаёт изоморфизм между C̃ • (E, M; N ) и CH • (Matn (C ∞ (M )), N ), причём коцепь ∇1 ⊗ dM переходит вΦ ∈ CH 1 (Matn (C ∞ (M )), N ),Φξ (A(x)) = ξ(R(x))R−1 (x)A(x) − A(x)ξ(R(x))R−1 (x).Далее, согласно теореме Мориты об эквивалентностиHH ∗ (Matn (C ∞ (M )), N ) = HH ∗ (Matn (C ∞ (M )), Matn (Ω1 (M ))) ∼=∼= HH ∗ (C ∞ (M ), Ω1 (M )).88Эта эквивалентность задаётся отображением (см. [10])inc∗ : CH n (Matn (C ∞ (M )), Matn (Ω1 (M ))) → CH n (C ∞ (M ), Ω1 (M )),fnf1)11 ,⊗ . .
. ⊗ E11inc∗ F (f1 ⊗ . . . ⊗ fn ) = F (E11(3.29)fгде E11— матрица, в которой все элементы, кроме элемента (1,1) равны нулю, а этотэлемент равен f , и F (·)11 — (1,1)-элемент матрицы F (·). Нетрудно проверить, чтоinc∗ Φ = 0. Значит на E существуют связности. Например, связностью будет отображение ∇0ξ (A(x)) = ξ((A(x)) + A(x)ξ(R(x))R−1 (x).Пример бимодуля, для которого найденное нами препятствие (в случае полуклассического дифференциального исчисления) отлично от нуля можно найти в работе [24].В заключение, опишем связь между препятствиями, построенными в этом параграфеи дифференцированиями θω из предыдущего. Для этого нам потребуется следуещеепростое предложение:Предложение 3.13.
Ограничение оператора ковариантного дифференцирования Dω ,построенного по произвольной связности ω на главном расслоении P на произвольноевекторное расслоение E, ассоциированное с P , будет левой связностью (то есть длянего будет выполняться второе из равенств (3.12)).Доказательство. Напомним, что, так как Dω — A-эквивариантное отоьражение, егокомпозиция с произвольным морфизмом f : Hu → B будет морфизмом Dω f : Hu →hor(P ).
Именно эту композицию мы и называем ограничением ковариантной производной на E = Eu . Поэтому нам достаточно проверить анлогичное свойство Dω какотображения из hor(P ) в hor(P ). Пусть ψ ∈ hor(P ) — произвольный элемент, и пустьϕ ∈ Ω(M). Вычислим:Dω (ϕψ) = d(ϕψ) − (−1)∂ϕ+∂ψXϕψl ω(π(dl )) =l= dM (ϕ)ψ + (−1)∂ϕ ϕDω (ψ). (3.30)В частности, для любого m ∈ M, ψ ∈ Eu , Dω (mψ) = dM (m)ψ + mDω (ψ).Аналогично равенству (3.30) получаемDω (ψϕ) = Dω (ψ)ϕ++ (−1)∂ψ ψdM (ϕ) + (−1)∂ψXψl lω (π(dl ) ⊗ ϕ).
(3.31)lдля любых ψ ∈ hor(P ), ϕ ∈ Ω(M). В частности, из этого следует, что ковариантное˜ − 1 ⊗ dMдифференцирование Dω можно использовать для построения препятствия ∇для модуля Eu и это препятствие оказывается равно отображениюaω : Eu ⊗ M → Fu1 ,Mor(u, F ) ⊗ M = Eu ⊗ M 3 f ⊗ m 7→ aω (f ⊗ m) ∈ Fu1 = Mor(u, hor1 (P )),nuXaω (f ⊗ m) (ei ) =f (ek )lω (π(uki ⊗ m),(3.32)k=1где ei базис в Hu , а uij — матричные элементы представления u.89Рассмотрим диаграмму, определяющую « канонический след» отображения aω (ср.§1.5):id⊗aωEū ⊗M Eu ⊗M Ω(M)Eū ⊗M Eu ⊗ M −−−→xγ u ⊗id −∗yhiuM⊗MgtrM (aω )−−−−−→ M ⊗M Ω(M) = Ω(M)Предложение 3.14. tgrM (aω )(1 ⊗ m) = (tr(Cu−1 ũ))ω (m) (здесь Cu — канонический морфизм, и ũ — матрица представления u).Доказательство.
Это — прямое следствие формул (3.32), (1.46) и (1.45).90Литература[1] Woronowicz S. L.: Twisted SU (2) group. An example of noncommutative differentialcalculus. RIMS, Kyoto University 23, 117-181 (1987)[2] Woronowicz S. L. Compact Matrix Pseudogroups. Commun. Math. Phys. 111, 613-665(1987)[3] Woronowicz S. L. Differential Calculus on Compact Matrix Pseudogroups (QuantumGroups). Commun.
Math. Phys. 122, 125-170 (1989)[4] Woronowicz S. L. Tannaka-Krein Duality for Compact Matrix Pseudogroups. TwistedSU (n) groups. Invent. Math. 93, 35-76 (1988)[5] Durdevic M. Geometry of Quantum Principal Bundles I. Commun. Math. Phys. 175,457-520 (1996)[6] Durdevic M. Geometry of Quantum Principal Bundles II. Rev. Math. Phys. 9, (5) 531603 (1997)[7] Durdevic M. Characteristic Classes of Quantum Principal Bundles. Preprint, Instituteof Mathematics, UNAM, Mexico (1995)[8] Durdevic M.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
