Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Прежде всего, разберём более простой случай, именно. Пусть E — произвольный правый модуль над унитальной алгебройM. По аналогии с (3.12) мы будем называть связностью на E со значениями в дифференциальном исчислении Ω(M) на базе M такое отображение ∇ : E → E ⊗M Ω(M),для которого выполняется условие∇(em) = ∇(e)m + edM (m).(3.15)В частности, если дифференциальное исчисление на базе M — полуклассическое,то есть Ω(M) = HomZ (ΛZ ,h (M), M), то отображение ∇ : E → E ⊗M Ω1 (M) ∼=HomZ (derh (M), E) становится связностью на E в смысле работ [18, 19].(Вместо алгебры Ли эрмитовых дифференцирований, derh (M), можно в этом случае использоватьалгебру Ли всех дщифференцирований алгебры M, и в качестве Z можно взять весьцентр алгебры M.)Как явствует из работ [19, 18], если модуль E проективный и конечно-порождённый,то на нём всегда существуют связности, если дифференциальное исчисление — полуклассическое.
Аналогичным путём можно показать (см. [22]), что на таком модуле Eбудут существовать связности со значениями в произвольном дифференциальном исчислении на базе. Мы же предъявим необходимое и достаточное условие существованиясвязности на произвольном правом модуле E и покажем, что в случае, если E — проективен и конечно-порождён, это условие автоматически выполнено.Обозначим N = E ⊗M Ω1 (M) (или, в полуклассическом случае, N =HomZ (der(M), E)). Тогда N — правый модуль над M. Рассмотрим цепной комплексMC • (E, M; N ) =C n (E, M; N ),n>0C (E, M; N ) = HomC (E ⊗ M⊗n , N )n(3.16)с дифференциаломδϕ(e ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mn+1 ) = ϕ(em1 ⊗ m2 ⊗ .
. . ⊗ mn+1 )+nX+(−1)i ϕ(e ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mi mi+1 ⊗ . . . ⊗ mn+1 )+i=1+ (−1)n+1 ϕ(e ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mn )mn+1 . (3.17)82Точно так же, как и выше доказывается, что δ 2 = 0. Рассмотрим коцепь 1 ⊗ dM ∈C 1 (E, M; N ), [1 ⊗ dM ](e ⊗ m) = e dM m (или (1 ⊗ dM )X (e ⊗ m) = eX(m), для любогоX ∈ der(M)).Предложение 3.10. δ(1 ⊗ dM ) = 0, и класс [1 ⊗ dM ] ∈ H 1 (E, M; N ) равен нулю тогдаи только тогда, когда на модуле E существует связность ∇ со значениями в Ω(M).Доказательство.
Проводится прямым вычислением: для любых e ∈ E, m1 , m2 ∈ Mδ(1 ⊗ dM )(e ⊗ m1 ⊗ m2 ) = em1 dM (m2 )−− edM (m1 m2 ) + edM (m1 )m2 = 0,так как dM (m1 m2 ) = dmc(m1 )m2 + m1 dM (m2 ) (илиδ(1 ⊗ dM )X (e ⊗ m1 ⊗ m2 ) = em1 X(m2 ) − eX(m1 m2 ) + eX(m1 )m2 = 0,так как X(m1 m2 ) = X(m1 )m2 + m1 X(m2 )). Значит δ(1 ⊗ dM ) = 0. С другой стороны,если на E существует связность ∇ ∈ Hom(E, N ) = C 0 (E, M; N ) то из (3.15) следует,что δ∇ = 1 ⊗ dM . И наоборот, если класс когомологий [1 ⊗ dM ] равен нулю, то естькоцикл 1 ⊗ dM является кограницей, то в качестве связности на E можно взять любую0-коцепь, кограница которой равна 1 ⊗ dM .Пусть M-модуль E проективен и конечно-порождён. Покажем, что построенное препятствие равно нулю.
На самом деле, мы докажем большеПредложение 3.11. Если модуль E проективный и конечно-порождённый, то длялюбого правого M-модуля N :HomM (E, N ), n = 0nH (E, M; N ) =0,n 6= 0.Доказательство. Во-первых, из формулы (3.17) очевидно, что для любого модуля E, H 0 (E, M; N ) = HomM (E, N ). Докажем, что при указанных условияхH n (E, M; N ) = 0, n > 0. Пусть для начала E = M — свободный модуль с однойобразующей.
Рассмотрим отображениеs : C n (E, M; N ) → C n−1 (E, M; N ), n > 1s(ϕ)(m0 ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mn−1 ) = ϕ(1 ⊗ m0 ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mn−1 ).(3.18)Тогдаδs(ϕ)(m0 ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mn ) ==n−1X(−1)i s(ϕ)(m0 ⊗ . . . ⊗ mi mi+1 ⊗ . . . ⊗ mn ) + (−1)n s(ϕ)(m0 ⊗ . . . ⊗ mn−1 )mn =i=0=n−1Xϕ(1 ⊗ m0 ⊗ . . . ⊗ mi mi+1 ⊗ . . . ⊗ mn )+i=0+ (−1)n ϕ(1 ⊗ m0 ⊗ . . .
⊗ mn−1 )mn83и аналогичноsδ(ϕ)(m0 ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mn ) = ϕ(m0 ⊗ m1 ⊗ . . . ⊗ mn )++n−1X(−1)i+1 ϕ(1 ⊗ m0 ⊗ . . . ⊗ mi mi+1 ⊗ . . . ⊗ mn )+i=0+ (−1)n+1 ϕ(1 ⊗ m0 ⊗ . . . ⊗ mn−1 )mn .Складывая эти два равенства получаем, что δs + sδ = id, то есть s — стягивающаяцепная гомотопия. Значит, H n (M, M; N ) = 0, n > 1.
Заметим теперь, что если модульE распадается в прямую сумму модулей: E = E1 ⊕ E2 , то соответствующий коцепнойкомплекс также распадается в прямую суммуC • (E, M; N ) = C • (E1 , M; N ) ⊕ C • (E2 , M; N ),и следовательно аналогичное разложение справедливо и для пространств когомологий:H ∗ (E, M; N ) = H ∗ (E1 , M; N ) ⊕ H ∗ (E2 , M; N ).Таким образом доказываемое утверждение справедливо для произвольных свободныхконечно-порождённых модулей Mn .Наконец, заметим, что любой морфизм модулей f : E1 → E2 индуцирует отображение коцепных комплексовf • : C • (E2 , M; N ) → C • (E1 , M; N ),fgпричём (f g)• = g • f • для любых E1 −→ E2 −→ E3 .
Следовательно, любой морфизм модулей f задаёт отображение пространств когомологий f ∗ : H ∗ (E2 , M; N ) →H ∗ (E1 , M; N ), причём (f g)∗ = g ∗ f ∗ .Пусть теперь E — проективный, конечно-порождённый модуль над M. Это значит,что существует свободный конечно-порождённый модуль Mn и пара морфизмов модулейi : E → Mn , p : Mn → E, p ◦ i = idE .Тогда для произвольного элемента h ∈ H k (E, M; N ) при k > 1 имеемh = id∗E (h) = (p ◦ i)∗ (h) = i∗ p∗ (h) = 0,так как p∗ (h) ∈ H k (Mn , M; N ) = 0 при k > 1.Займёмся теперь бимодулями. Мы будем рассматривать следующие случаи: или E =Eu — ассоциированноек векторное расслоение для некоторого квантового главного расслоения P , и тогда мы будем искать связность ∇ как отображение из E в Fu1 = N , удовлетворяющее условиям (3.12), или, для произвольного бимодуля E, мы будем искать« полу-классические связности» то есть отображения ∇ : E → HomZ (der(M), E) = N ,удовлетворяющие уравнениям (3.13).
Тогда вышеописанная конструкция может бытьобобщена на бимодули двумя способами.Во-первых, можно рассмотреть коцепной комплексMCbi• (E, M; N ) =Cbin (E, M; N ),n>0Cbin (E, M; N )= HomC X⊕i+j=n84⊗iM⊗j⊗ E ⊗ M ,N ,(3.19)с дифференциаломδbi ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ m1 ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0j ) == m1 ϕ(m2 ⊗ . . . ⊗ mi ⊗ e ⊗ m01 ⊗ .
. . ⊗ m0j )++i−1X(−1)l ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ ml ml+1 ⊗ . . . ⊗ mi ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0j )+l=1+ (−1)i ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ mi e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0j )++ (−1)i+1 ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ mi ⊗ em01 ⊗ . . . ⊗ m0j )++j−1X(−1)i+k+1 ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ mi ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0k m0k+1 ⊗ . .
. ⊗ m0j )+k=1+ (−1)n+2 ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ mi ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0j−1 )m0j , (3.20)2= 0. Вместо коцепигде i + j = n + 1. Точно так же, как и раньше проверяем, что δbi1 ⊗ dM рассмотрим коцепь1 ⊗ dM − dM ⊗ 1 ∈ Cbi1 (E, M; N ),(1 ⊗ dM − dM ⊗ 1)(m1 ⊗ e1 + e2 ⊗ m2 ) = dM (m1 )e1 − e2 dM (m2 ),(3.21)(3.22)(соответственно,(1 ⊗ dM − dM ⊗ 1)X (m1 ⊗ e1 + e2 ⊗ m2 ) = X(m1 )e1 − e2 X(m2 ),если N = HomZ (der(M), E)).Точно так же, как и раньше доказываем, что δbi (1 ⊗ dM − dM ⊗ 1) = 0, и что 0 =[1 ⊗ dM − dM ⊗ 1] ∈ Hbi1 (E, M; N ) тогда и только тогда, когда на бимодуле E существуетсвязность ∇ со значениями в N .Предложение 3.12.
Если для бимодуля E существует такой свободный конечнопорождённый бимодуль Mn , что определены морфизмы бимодулей i : E → Mn , p :Mn → E таките, что p ◦ i = idE , то для любого бимодуля NHomM,M (E, N ), n = 0nHbi (E, M; N ) =0,n 6= 0.(здесь HomM,M обозначает пространство морфизмов бимодулей).Доказательство. Совершенно аналогично доказательству предложения 3.11, тольковместо гомотопии s следует рассмотреть sbi : Cbin (M, M; N ) → Cbin−1 (M, M; N ):sbi (ϕ)(m−i ⊗ . . .
⊗ m0 ⊗ . . . ⊗ mj ) ==j+1X(−1)k+i ϕ(m−i ⊗ . . . ⊗ mk−1 ⊗ 1 ⊗ mk ⊗ . . . ⊗ mj ).k=−iесли i + j = n − 1.Мы видим, что для существования связности на би-модуле E, вообще говоря. недостаточно, чтобы он был проективным и конечно-порождённым как левый (или правый)модуль над M.85Описанный критерий существоания связностей на бимодулях не очень удобен: комплекс Cbi• (E, M; N ) очень громоздкий и вычислять его когомологии достаточно сложно.
Однако, нетрудно заметить, что он, на самом деле равен тотальному сомплексуTot(C p,q (E, M; N )), гдеC p,q (E, M; N ) = HomC (M⊗p ⊗ E ⊗ M⊗q , N )(3.23)с дифференциаламиδ 0 : C p,q (E, M; N ) → C p+1,q (E, M; N ),δ 00 : C p,q (E, M; N ) → C p,q+1 (E, M; N )задаваемыми формуламиδ 0 ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ mp ⊗ mp+1 ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0q ) == m1 ϕ(m2 ⊗ . . . ⊗ mp+1 ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0q )++pX(−1)i ϕ(m1 ⊗ . .
. ⊗ mi mi+1 ⊗ . . . ⊗ mp+1 ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0q )+i=1+ (−1)p+1 ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ mp ⊗ mp+1 e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0q )и(−1)p+1 δ 00 ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ mp ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0q ⊗ m0q+1 ) == ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ mp ⊗ em01 ⊗ m02 ⊗ . . . ⊗ m0q+1 )++qX(−1)j ϕ(m1 ⊗ . . . ⊗ mp ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0j m0j+1 ⊗ . . . ⊗ m0q+1 )+j=1+ (−1)q+1 ϕ(m1 ⊗ .
. . ⊗ mp ⊗ e ⊗ m01 ⊗ . . . ⊗ m0q )m0q+1 .Несложно проверить, что δ 0 2 = δ 00 2 = δ 0 δ 00 + δ 00 δ 0 = 0. Рассмотрим фильтрацию Frтотального комплекса Cbi• (E, M; N ) бикомплекса C p,q (E, M; N )Fr (Cbi• (E, M; N )) = Tot(C p,q (E, M; N ), p > r).Заметим, что первый член спектральной последовательности, ассоциированной с этойфильтрацией равен E1p,q = H p (C ·,q (E, M; N ), δ 0 ).
В частности, если модуль E конечнопорождён и проективен как левый M-модуль, то рассуждения, аналогичные доказательству предложения 3.11 показывают, что E10,q = HomM,· (E ⊗M⊗q , N ), и E1p,q = 0, p 6=0 (здесь HomM,· обозначает пространство морфизмов левых M-модулей). Рассмотримкоцепной комплексMC̃ • (E, M; N ) =C̃ n (E, M; N ),n>0C̃ (E, M; N ) = HomM,· (E ⊗ M⊗n , N ),n(3.24)с дифференциалом, задаваемым формулойδ̃ϕ(e ⊗ m1 ⊗ . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
