Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(i ) Отображение векторных пространств mω – биективно;(ii) диаграммаm−−−ω→vh(P )byFvhΩ(P ) ∧yFm ⊗idωvh(P ) ⊗ A −−−−→ Ω(P ) ⊗ Aкоммутативна.Теперь, при помощи отображения mω мы можем определить горизонтальное проектирование hω дифференциальных форм на расслоении P :hω = (id ⊗ pr0 )m−1ω : Ω(P ) → hor(P ).(1.31)Из теоремы 1.7 следует, что отображение hω — A -ковариантно, то есть коммутативнаследующая диаграмма:hωΩ(P )−−−→hor(P ) ∧ ∧(1.32)yFyFh ⊗idωΩ(P ) ⊗ A −−−→ hor(P ) ⊗ A.Кроме того, очевидно, что (hω )|hor(P ) = id.Определение 1.6. Ковариантной производной на квантовом главном расслоении P ,ассоциированной со связностью ω, называется отображениеdefDω = hω ◦ d : Ω(P ) → hor(P )(1.33)(d — дифференциал в Ω(P )).Следующая теорема даёт список основных свойств ковариантного дифференцирования, см.
[6]:Теорема 1.8. (i ) Dω (Ωn (P )) ⊆ horn+1 (P );(ii) диаграммаΩ(P ) ∧yFD−−−ω→D ⊗idhor(P ) ∧yFΩ(P ) ⊗ A −−ω−−→ hor(P ) ⊗ Aкоммутативна;(iii) (Dω )|Ω(M) = d|Ω(M) = dM ;27(1.34)(iv ) ограничение отображения Dω на подалгебру hor(P ) задаётся формулойXDω (ϕ) = dϕ − (−1)∂ϕϕk ω(π(ck ))(1.35)kгдеPkϕk ⊗ ck = F ∧ (ϕ) и ∂ϕ = deg ϕ.Пусть теперь α ∈ ψ(P ) — произвольная псевдотензориальная форма.
В силу коммутативности диаграмм (1.32) и (1.34), композиции отображения α c hω и Dω будуттензориальными формами на расслоении P . Эти тензориальные формы мы будем обозначать hω (α) и Dω (α).Определение 1.7. Формой кривизны связности ω называется тензориальная 2-формаdefRω = Dω (ω).(1.36)Пусть Ω — произвольная ассоциативная алгебра и пусть α, β : Γinv → Ω — произвольные линейные отображения. Тогда мы можем определить отображения[α, β]q , hα, βi : Γinv → Ωпри помощи формул[α, β]q (θ) =Xα(θl )β(π(dl )),lhα, βi = m(α ⊗ β)ι (d(θ)),где m – умножение в Ω, а d : Γinv → Γ⊗2inv – ограничение на Γinv дифференциала на Γ.Заметим, в частности, что отображение hα, βi определено неканонически, оно зависитот выбора сечения ι.
Сформулируем очередную теорему.Теорема 1.9. (i ) Пусть ϕ ∈ τ (P ) – произвольная тензориальная форма. Тогда ковариантная производная от ϕ равнаDω (ϕ) = d ◦ ϕ − (−1)∂ϕ [ϕ, ω]q .(ii) Форма кривизны связности ω равнаRω = d ◦ ω − hω, ωi.(iii) Справедливо следуещее равенство (обобщённое тождество Бьянки):Dω (Rω ) − {hω, Rω i − hRω , ωi − [Rω , ω]q } = hω, hω, ωii − hhω, ωi, ωi.(1.37)Кроме того, правая часть равенства (1.37) равна нулю, если связность ω мультипликативна.Мы видим, что в общем случае значение формы кривизны зависит от выбора сечения ι, если связность не является мультипликативной. Однако, это затруднение можнообойти, если рассмотреть отображение R̃ω : ker → hor(P ), "накрывающее"форму кривизны:XR̃ω (a) = dω(π(a)) −ω(π(a(1) ))ω(π(a(2) )).(a)Ясно, что в случае, когда связность ω – мультипликативная, R̃ω (a) = Rω (π(a)).28Предложение 1.10.
Справедливо равенствоXDω2 (ϕ) = −ϕk R̃ω (ck − (ck ))(1.38)kдля любой горизонтальной дифференциальной формы ϕ ∈ hor(P ).Доказательство. Воспользуемся формулой (1.35):Xϕk ω(π(ck )) =Dω2 (ϕ) = Dω (dϕ − (−1)∂ϕk∂ϕ= −(−1)Xdϕk ω(π(ck )) + (−1)∂ϕ ϕk dω(π(ck )) −k− (−1)∂ϕ+1Xdϕk ω(π(ck ))−kX∂ϕ+1∂ϕ+1ϕk ω(π(ck,(3) ))ω(π(ck,(1) κ(ck,(3) )ck,(4) )) =− (−1)−(−1)k,(ck )X Xdω(π(ck )) − ω(π(ck,(1) ))ω(π(ck,(2) )) .=−ϕkk(ck )Осталось заметить, что выражение, стоящее в фигурных скобках в последней суммеравно R̃ω (ck − (ck )).Отсюда, в частности, следует, что для мультипликативной связности выполняетсяравенствоXDω2 (ϕ) = −ϕk Rω (π(ck ))).(1.380 )kХотя мультипликативность — очень важное свойство связностей на квантовых главныхрасслоениях, его недостаточно, чтобы можно было развивать теорию харктеристических классов, аналогичную классической.
В нижеследуещем определении мы формулируем дополнительные ограничения на ω, выделяющие класс связностей, по своимсвойствам приближающихся к связностям на обычных главных расслоениях.Определение 1.8. Связность ω на главном квантовом расслоении называется регулярной, если для любой горизонтальной дифференциальной формы ϕ ∈ hor(P ) и любогоэлемента θ ∈ Γinv выполнено равенствоXω(θ)ϕ = (−1)∂ϕϕk ω(θ ◦ ck )(1.39)kили, эквивалентноϕω(θ) = (−1)∂ϕXω(θ ◦ κ−1 (ck ))ϕk(1.390 )kСформулируем в виде теоремы список основных свойств регулярных связностей:Теорема 1.11 (см. [6]). Пусть ω – регулярная связность, тогда(i) для любой горизонтальной дифференциальной формы ϕ на расслоении выполняетсяравенствоDω (ϕ∗ ) = Dω (ϕ)∗ ;29(ii) для любых ϕ, ψ ∈ hor(P ) выполняется равенствоDω (ϕψ) = dω (ϕ)ψ + (−1)∂ϕ Dω (ψ)Такимобразом,отображениедифференцированием алгебры hor(P ).Dω|hor(P )являетсяэрмитовыманти-(iii) Для любой горизонтальной дифференциальной формы ϕ на расслоении P и любогоa ∈ ker выполняются равенстваXR̃ω (a)ϕ =ϕk R̃ω (ack )(1.40)kили, эквивалентно,ϕR̃ω (a) =XR̃ω (aκ−1 (ck ))ϕk(1.400 );k(iv ) для любой тензориальной формы λ на P , независимо от выбора сечения ι выполняется равенство[λ, ω]q = − hλ, ωi − (−1)∂λ hω, λi ,в частности, обобщённое тожество Бьянки (1.37) принимает видDω (Rω ) = hω, hω, ωii − hhω, ωi, ωiа композиция Dω c отображением R̃ω равна нулю.Если, кроме того, связность ω мультипликативная, то(v ) отображение mω является изоморфизмом ∗-алгебр;(vi) горизонтальное проектирование hω является гомоморфизмом ∗-алгебр и для любых двух дифференциальных форм α, β ∈ Ω(P ) выполняется равенствоDω (αβ) = Dω (α)hω (β) + (−1)∂α hω (α)Dω (β);(vii) отображения hω и Dω — эрмитовы, то есть для любой формы α ∈ Ω(P )hω (α∗ ) = hω (α)∗ и Dω (α∗ ) = Dω (α)∗ ;(viii) форма кривизны связности ω корректно определена и для любой горизонтальной дифференциальной формы ϕ на P и любого θ ∈ Γinv выполнены следующиеравенстваXRω (θ)ϕ =ϕk Rω (θ ◦ ck )(1.41)kили, эквивалентно,ϕRω (θ) =XRω (θ ◦ κ−1 (ck ))ϕk(1.410 );k(ix ) тождество Бьянки (1.37) принимает классический видDω (Rω ) = 0(1.42)Наконец, если хоть одна регулярная связность на P мультипликативна, то и всеостальные регулярные связности на P тоже мультипликативны.30Пусть на P существуют регулярные связности.
Фиксируем одну из таких связностейω. Будем временно считать, что она мультипликативна (например, можно предположить, что дифференциальное исчисление на группе тривиально, то есть, что идеал Rравен нулю). В этом случае можно построить отображение, аналогичное классическомугомоморфизму Вейля.⊗⊗Именно, пусть I⊗ ⊆ Γ⊗inv — пространство $ – инвариантных элементов в Γinv . Обозначим через Rω⊗ : Γ⊗inv → hor(P ) отображение, задающееся формулойRω⊗ (θ1 ⊗ . . . ⊗ θn ) = Rω (θ1 ) · . .
. · Rω (θn ).PТеорема 1.12 (см. [6],[7]). Пусть θ̃ = i θi1 ⊗ . . . ⊗ θin ∈ I⊗ — произвольный элемент.Тогда(i) Rω⊗ (θ̃) ∈ Ω(M)(ii) dM (Rω⊗ (θ̃) = 0(iii) класс когомологий[Rω⊗ (θ̃)] ∈ H 2n (Ω(M))не зависит от выбора регулярной связности ω.Доказательство. Для полноты картины мы приведём его полностью. Оно копируетклассические рассуждения теории Чженя-Вейля (см., например, [16]).Прежде всего, первое утверждение теоремы очевидно, так как форма кривизны связности — эквивариантное отображение.
Далее, воспользуемся тем, что на Ω(M) ковариантное дифференцирование совпадает с дифференциалом dM , тогдаdM (Rω⊗ (θ̃)) = Dω (Rω⊗ (θ̃)) =X={Dω (Rω (θi1 )) · . . . · Rω (θin ) + . . . + Rω (θi1 ) · . . . · Dω (Rω (θin ))} = 0.i(Мы воспользовались тем, что Dω — антидифференцирование алгебры hor(P ) и тождеством Бьянки (1.42).)Пусть теперь ω 0 — другая регулярная мультипликативная связность. Положимωt = ω + t(ω 0 − ω), t ∈ [0; 1].Для любого t ∈ [0; 1] псевдотензориальная форма ωt является регулярной мультипликативной связностью на P, ω0 = ω, ω1 = ω 0 . ВычислимddRωt =[dωt − hωt , ωt i] =dtdt= dϕ − hϕ, ωi − hω, ϕi − 2thϕ, ϕi == dϕ − hω + tϕ, ω + tϕi = Dωt (ϕ),31где ϕ = ω 0 − ω (мы активно пользовалис результатами теоремы 1.11). Поэтомуd ⊗(R (θ̃)) =dt ωt=Xn(Dωt (ϕ))(θi1 )Rωt (θi2 ) · . .
. · Rωt (θin ) + . . . +iRωt (θi1 )o(n−1)Rωt (θi)(Dωt (ϕ))(θin )· ... ·=X = Dωtϕ(θi1 )Rωt (θi2 ) · . . . · Rωt (θin ) + . . . ++i(n−1)+ Rωt (θi1 ) · . . . · Rωt (θi)ϕ(θin ) = dM (ψt (θ̃)),гдеψt (θ̃) =Xϕ(θi1 ) · . . . · Rωt (θin ) + . . . + Rωt (θi1 ) · . . . · ϕ(θin ) .iИнтегрируя теперь последнее равенство по t от 0 до 1 получаем:Rω0 (θ̃) = Rω (θ̃) + dMZ1ψt (θ̃) .0Сделаем несколько замечаний относительно образа и области определения отображения Rω⊗ .Во-первых, в силу коммутационных соотношений (1.41), (1.410 ) элемент Rω⊗ (θ̃) длялюбого θ̃ ∈ I⊗ лежит в градуированном центре Z(Ω(M)) алгебры Ω(M), являющемсяградуированной дифференциальной *-подалгеброй в Ω(M).
Более того, из рассуждений, использованных при доказательстве пункта (iii) видно, что класс когомологий[Rω⊗ (θ̃)] ∈ Z(Ω(M)) корректно определён.⊗2Во-вторых, пусть σ : Γ⊗2inv → Γinv опрератор « некоммутативной перестановки»:Xηl ⊗ θ ◦ dl ,σ(θ ⊗ η) =lгде θ, η ∈ Γinv ,следует, чтоPlηl ⊗ dl = $(η). Из тех же перестановочных соотношений (1.41), (1.410 )Rω⊗ σ(θ ⊗ η) = Rω⊗ (θ ⊗ η),а значит, в качестве области определения .отображения Rω⊗ можно взять I(Σ) — образI⊗ при естественной проекции на Σ = Γ⊗inv hIm(id − σ)i — « алгебру полиномиальныхфункций на алгебре Ли квантовой группы».Наконец, если регулярная связность ω не является мультипликативной (а следовательно на расслоении P вообще нет регулярных мультипликативных связностей), товместо отображения Rω⊗ надо рассматривать аналогичное отображениеR̃ω⊗ : (ker )⊗inv → hor(P )⊗где (ker )⊗inv — множество ad -инвариантных элементов,Xad : A → A ⊗ A, ad(a) =a(2) ⊗ κ(a(1) )a(3)(a)32— присоединённое действие квантовой группы на себе.
Очевидно, что ad(ker()) ⊆ ker ⊗A. Следующая теорема является несложной переформулировкой Теоремы 1.12.Теорема 1.13. Образ отображения R̃ω⊗ лежит в пространстве замкнутых форм нав Ω(M), и соответствующие классы когомологий не зависят от выбора регулярнойсвязности.Кроме того, из коммутационных соотношений (1.40) и (1.400 ) следует, что, на самомделе, образ отображения R̃ω⊗ лежит в Z(Ω(M)) и чтоR̃ω⊗ σ̃(a ⊗ b) = R̃ω⊗ (a ⊗ b),гдеσ̃(a ⊗ b) =Xb(2) ⊗ aκ(b(1) )b(3) .(b)Обозначим фактор-алгебру, соответствующую перестановке σ̃, через Σ̃, а проекцию⊗(ker )⊗inv при отображении (ker ) → Σ̃ — через I(Σ̃).Определение 1.9. ОтображениеW : I(Σ) → H ∗ (Z(Ω(M))), W (pr(θ̃)) = [Rω⊗ (θ̃)],где ω — произвольная регулярная мультипликативная связность на P , а pr : I⊗ →I(Σ) — естественная проекция, мы будем называть гомоморфизмом Вейля (то, что этоотображение является гомоморфизмом градуированных ∗-алгебр — очевидно).Аналогично, отображениеW̃ : I(Σ̃) → H ∗ (Z(Ω(M))), W̃ (pr(ã)) = [R̃ω⊗ (ã)],где ω — произвольная регулярная связность на P , мы будем называть обобщённымгомоморфизмом Вейля.Ниже мы, всё же, будем обычно рассматривать W и W̃ как отображения соответ⊗ствующих подалгебр в Γ⊗inv и (ker ) .1.5Векторные расслоения и классы Чженя.Пусть P = (B, F ) — квантовое главное расслоение с базой M и структурной группойA.
Пусть u = (ũ, Hu ) — представление квантовой группы A.Дадим определение векторного расслоения, ассоциированного с P при помощи представления u.Определение 1.10. Векторным расслоением, ассоциированным с главным квантовымрасслоением P при помощи представления u называется пространство морфизмов представленийnoMor(u, F ) = A ∈ HomC (Hu , B)|F ◦ A = (A ⊗ id)4u .Мы будем обозначать это пространство Eu .Вообще, если M, N — произвольные правые A-комодули, тоnodefMor(M, N ) = A ∈ HomC (M, N )|4N ◦ A = (A ⊗ id)4M33(1.43)Заметим теперь, что очевидные формулы(A · m)(e) = A(e)m, (m · A)(e) = mA(e), m ∈ M, A ∈ Eu , e ∈ Huзадают на Eu структуру M -бимодуля.Сформулируем теперь, в виде теоремы, список основных свойств ассоциированныхвекторных расслоений (см. [6]):Теорема 1.14. (i) Для любого представления u пространство Eu — ненулевой бимодуль над M, причём Eu проективен и как левый, и как правый модуль над M;(ii) E∅ = M;(iii) для любых двух представлений u и vEu⊕v = Eu ⊕ Ev ,Eu×v = Eu ⊗M Ev ,причём второй изоморфизм задаётся умножением в B:θuv (ϕ ⊗ ψ) (x ⊗ y) = ϕ(x)ψ(y),где x ∈ Hu , y ∈ Hv , ϕ ∈ Eu , ψ ∈ Ev ;(iv ) существует антиизоморфизм M-бимодулей \u : Eu → Eū , определяемый при помощи диаграммы:ϕHu −−−→ Bj∗yuy\u ϕHu∗ −−−→ B;(v ) любой морфизм представлений f ∈ Mor(u, v) индуцирует обратное отображениебимодулейf∗ : Ev → Eu ,в частности, отображения γ u , γu , Iu , I u индуцируют (в свете отожествленийпункта (iii) вложения бимодулейγ∗u : M → Eū ⊗M Eu ,γu∗ : M → Eu ⊗M Eū ,hi+u : Eu ⊗M Eū → M,hi−u : Eū ⊗M Eu → M;и спариванияв явном виде, для ϕ ∈ Eu , ψ ∈ Eūhϕ, ψi+u =nuXϕ(ei )ψ(e∗i ),(1.44)[Cu−1 ]ji ψ(e∗i )ϕ(ej );(1.45)i=1hψ, ϕi−u =nuXi,j=1(vi) алгебра B раскладывается в прямую сумму M - бимодулейX⊕B=Bα ,α∈Tгде T — множество всех неприводимых представлений квантовой группы A,Bα ∼= Eα ⊗ Hα .34Заметим, что из свойств (iv ) и (v ) следует, что формулы(x, y)+ = hx, \u (y)i+u,−(x, y) = h\u (y), xi−uзадают на Eu 3 x, y невырожденные полуторалинейные спаривания (как левого и правого M–модуля соответственно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
