Геометрия некоммутативных главных расслоений (1102761), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Послеэтого мы приводим два примера вычислений значения данного препятствия. Наконец,в конце этого параграфа мы описываем связь между препятствиями к существованиюдифференцирований присоединённых векторных расслоений и построенными в концепараграфа 3.1 классами в Хохшильдовых когомологиях алгебры M (предложение 3.14).8Оглавление1 Квантовые группы и главные расслоения1.1 Квантовые группы . . . . . .
. . . . . . . . . . .1.2 Определение квантовых расслоений. Примеры .1.3 Дифференциальные исчисления . . . . . . . . .1.4 Связности и гомоморфизм Вейля . . . . . . . .1.5 Векторные расслоения и классы Чженя. . . . ......1010182225332 Полуклассическая теория2.1 Локально-тривиальные квантовые расслоения . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Полуклассические дифференциальные исчисления . . . . . . .
. . . . . .2.3 Связности в полуклассической теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444454633 Связности и препятствия3.1 Существование регулярных связностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Случай векторных расслоениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7272819......................................................................Глава 1Квантовые группы и главныерасслоенияВ этой главе мы даём определения и обсуждаем основные свойства квантовых групп иквантовых главных расслоений. В теории квантовых групп нашими основными источниками являются работы Вороновича [2]-[4] .
Следует указать, что определения и результаты, которыми мы пользуемся, основаны на интерпретации квантовых групп, какнекоммутативных алгебр функций на « квантовом пространстве», а не как деформированных универсальных обёртывающих алгебр. Такое описание принято в большинстверабот, посвящённых вопросу. То, что эти два подхода эквивалентны, следует, например,из основополагающей работы [13]. Теории квантовых групп посвящён первый из пятипараграфов данной главы.
Его содержание естественно разбивается на три части. Вопервых, мы даём определение и описываем основные свойства квантовых групп, в частности мы вводим понятие классической части квантовой группы. Далее, мы описываемсвойства « дифференциальных исчислений» на квантовых группах, и излагаем основытеории представлений квантовых групп, ровно в том объёме, который нам потребуется позднее для работы с главными расслоениями. Далее мы последовательно излагаемтеорию квантовых главных расслоений, связностей на них и характеристических классов, при этом мы опираемся на работы Джорджевича [5]-[9].
Некоторые другие подходык теории квантовых главных расслоений и вообще некоммутативной дифференциальной геометрии с квантовыми структурными группами можно найти также в работах[20, 17]. Из результатов этой главы для дальнейшего особенно важны конструкция гомоморфизма Вейля (§1.4) и конструкция характеристических классов ассоциированныхвекторных расслоений (§1.5).1.1Квантовые группыВслед за [2] дадим следующее определение:Определение 1.1. Компактной матричной псевдогруппой G, или квантовой группой,называется C∗ -алгебра A, для которой определён ∗-гомоморфизм φ̂ : A→A ⊗ A и вкоторой выделена всюду плотная ∗-подалгебра A, порождённая элементами (uij )i,j=1,...nтак, что выполняются следующие условия1.
Ограничение отображения φ̂ на A задаёт отображение φ : A → A ⊗ A, при этомφ(uij ) =nXk=110uik ⊗ ukj(1.1)2. Задан ∗-гомоморфизм : A → C такой, что( ⊗ idA )φ = idA = (idA ⊗ )φ.(1.2)3. Задан антиизоморфизм κ : A → A, такой, чтоm(κ ⊗ idA )φ = = m(idA ⊗ κ)φφ(κ(u)) = (κ ⊗ κ)T (φ(u))(1.3)(1.4)где m : A ⊗ A → A – умножение, и где T : A ⊗ A → A – тасующее отображение,T (a ⊗ b) = b ⊗ a.4.
Выполняется равенствоκ(κ(u∗ )∗ ) = uдля всех u ∈ A.Равенства (1.1)–(1.4) показывают, что отображения φ, κ и задают на A структуруалгебры Хопфа. В самом деле, из равенства (1.1) и того, что A порождена элементамиuij следует, что выполняется равенство(φ ⊗ id)φ = (id ⊗ φ)φ,(1.4)то есть коумножение φ коассоциативно, и все аксиомы алгебры Хопфа выполняются (при этом отображения κ и служат, соответственно, антиподом и коединицей). Ксожалению, в общем случае не существует непрерывных отображений, распространяющих κ и на всю алгебру A, поэтому мы не можем говорить, что C∗ -алгебра A являетсяC∗ -алгеброй Хопфа.Ниже мы будем работать исключительно с алгеброй A – « алгеброй гладких функцийна квантовой группе», поэтому мы зачастую будем называть квантовой группой самуалгебру A и говорить « квантовая группа A», а не « квантовая группа G». Приведёмпримеры квантовых групп.Пример 1.1.1 (Классические матричные группы Ли).
Пусть G ⊆ GLN (C) — компактнаяматричная группа Ли. C∗ - aлгебра непрерывных функций на G, C(G) – коммутативна.Выберем в C(G) всюду плотную подалгебру A, состоящую из полиномиальных функцийот матричных элементов.Алгебра A порождена набором функций (wij )i,j=1...N на группе G, значение функцииwij на элементе g ∈ G равно элементу стоящему на пересечении i− строки и j − столбцаматрицы, задающей g.
Коумножение φ в A задаётся по правилуXf(1) (g)f(2) (h) = f (gh),(f )Pдля любых g, h ∈ G, если (f ) f(1) ⊗ f(2) = φ(f ). Из формулы для произведения матрицследует, что коумножение функций wij задаётся формулойφ(wij ) =nXwik ⊗ wkj .k=1Антипод κ определяется как значение функции на обратном элементе:κ(f )(g) = f (g −1 ),11а коединица в A — это значение функций из A на единице группы G.Несложно проверить, что выполняются все условия из определения 1.1. Полученная таким образом квантовая группа – G задаётся коммутативными алгебрами A, A.Верно и обратное, любая квантовая группа G, у которой алгебра A — коммутативная,совпадает с некоторой квантовой группой из описанных в этом примере (см. [2]).В дальнейшем мы будем работать исключительно с « алгебрами гладких функцийA», поэтому в оставшихся примерах мы ограничимся описаниями алгебр A.Пример 1.1.2 (Квантовая группа SUµ (2)).
Матрица образующих элементов u имеет видα −µγ ∗u=,(1.5)γα∗где µ ∈ (−1; 1) \ {0} — парамеметр. Соотношения, которым удовлетворяют элементы{α, α∗ , γ, γ ∗ }:αα∗ + µ2 γγ ∗ = 1, α∗ α + γ ∗ γ = 1,αγ = µγα, αγ ∗ = µγ ∗ α, γγ ∗ = γ ∗ γ.Коединица задаётся формулами: (α) = 1, (γ) = 0. Антипод κ определяется наобразующих элементах uij формулойκ(uij ) = u∗ji ,(1.6)или, в терминах {α, α∗ , γ, γ ∗ }:κ(α) = α∗ ,κ(−µγ ∗ ) = γ ∗ ,κ(γ) = −µγ,κ(α∗ ) = α.Пример 1.1.3 (Квантовые группы SUµ (n)).
Пусть µ ∈ (−1; 1)\{0} — произвольное число.Тогда Sµ U (n) —-это алгебра, порождённая элементами (uij )i,j=1,...,n удовлетворяющимисоотношениямnnXX∗uij ukj = δkj · 1,u∗ji ujk = δik · 1,j=1nXj=1ui1 j1 · . . . · uin jn Ej1 ...jn = Ei1 ...in · 1,i1 , . . . , in = 1, . . . , n,j1 ,...,jn =1где Ei1 ...in = (−µ)I(i) , I(i) — число инверсий в последовательности i1 , . . . in . Опять антипод определяется формулой (1.6), а коединица — (uij ) = δij .Пример 1.1.4 (Универсальная квантовая группа UF (n)).Пусть F — положительно-определённая матрица в GLn (C), такая, что tr(F ) =tr(F −1 ).
Тогда мы можем рассматривать алгебру UF (n), порожденую элементами матрицы u = (uij )i,j=1,...,n и соотношениямиnXj=1nXuij u∗kjnX= δik · 1,j=1nXu∗ij uFkj = δik · 1,j=1u∗ji ujk = δik · 1,uFji u∗jk = δik · 1,j=1где uF = F uF −1 . Антипод задаётся формулой (1.6), а коединица — правилом (uij ) = δij .12Пусть теперь A — произвольная квантовая группа. Рассмотрим множество ∗характеров алгебры A (то есть множество ∗-гомоморфизмов алгебры A в C). ФормулаXχ1 · χ2 (a) =χ1 (a(1) )χ2 (a(2) ),a ∈ A,(1.7)(a)задаёт умножение в множестве характеров (мы воспользовались записьюXφ(a) =a(1) ⊗ a(2) ,(a)предложенной в [12]).
Как доказано в [2], эта операция превращает множество характеров на A в компактную подгруппу в унитарной группе U (n), n — размерность матрицыu из определения 1.1.Определение 1.2. Эта группа называется классической частью квантовой группыA и обозначается Gcl , или Acl (второе обозначение мы будем часто использовать приразговоре о полиномиальных функциях на Gcl ).Во многих случаях можно явно указать, какая группа будет классической частьютой или иной квантовой группы.
Так, например, в рассмотренных выше примерах, классическими частями будут: в первом примере — сама группа G, в случае SUµ (2) — S 1 ,в случае квантовой группы SUµ (n) — n − 1-мерный тор T n−1 . Классическая часть универсальной квантовой группы UF (n) зависит от структуры корневых пространств оператора F , см. [5]. Наконец, укажем, что алгебру Ли lie(Acl ) можно рассматривать, какмножество таких линейных отображений A → C, что∀a, b ∈ A.X(ab) = X(a)(b) + (a)X(b),Заметим, что формулаa ∈ A, χ ∈ Gcls(a)(χ) = χ(a),задаёт отображение s : A → Acl .
Нетрудно проверить, что это отбражение являетсясюръективным морфизмом алгебры Хопфа A на алгебру полиномиальных функций наGcl , см. первый пример.Теперь мы вкратце расскажем о том, что мы будем называть дифференциальнымисчислением на квантовой группе. Пусть, для начала, A — произвольная унитальнаяалгебра. Мы будем называть дифференциальным исчислением на алгебре A такой бимодуль Γ над A, для которого существует отображениеd : A → Γ,d(ab) = d(a)b + ad(b), ∀a, b ∈ A.При этом, любой элемент η ∈ Γ должен быть представим в виде η =Pkak dbk .Пример 1.1.5.
Рассмотриим множествоA2 ⊆ A ⊗ A, A2 =nXkak ⊗ bk |Xoak b k = 0 .kОтображение d задаётся формулой dx = 1⊗x−x⊗1. Несложно проверить, что все условия выполнены. Это дифференциальное исчисление мы будем называть тривиальными обозначать Γtriv , или Ω0triv (A).13В случае, когда A = A — квантовая группа, мы будем накладывать на дифференциальное исчисление Γ несколько дополнительных условий. Именно, мы требуем, чтобыформулыXXφΓ (ak dbk ) =ak,(1) bk,(1) ⊗ ak,(2) dbk,(2) ,(1.8)kk,(ak ),(bk )Xak dbk ) =Γ φ(kXak,(1) dbk,(1) ⊗ ak,(2) bk,(2) ,(1.9)k,(ak ),(bk )корректно задавали отображения φΓ : Γ → A ⊗ Γ и Γ φ : Γ → Γ ⊗ A, и чтобы формула(adb)∗ = d(b∗ )a∗(1.10)корректно определяла *-структуру на Γ.
Дифференциальное исчислением, удовлетворяющее всем этим условиям мы будем называть биковариантным. Если же выполняется толлько одно из условий (1.8) или (1.9) (и условие (1.10)), то такое дифференциальноеисчисление мы будем называть лево- (соотв. право-) ковариантным.Пример 1.1.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
