Диссертация (1102573), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В теории слабой локализации параметром масштаба являетсядлина диффузии электрона за время релаксации фазы волновой функции (). Для квантовыхпоправоквзаимодействием,кпроводимости,обусловленныхэлектрон-электроннымпараметром масштаба является длина когерентности (LT). Размерность электронной системыопределяет температурную зависимость сопротивления и магнетосопротивления (1.32). Какбыло отмечено выше, в магнитном поле еще одним параметром, определяющим размерностьэлектронной системы, является магнитная длина=ℏ.В данной работе исследовалось магнетосопротивление пленок толщиной от 30 до 90 нм,в интервале магнитных полей до 6 Тл. В магнитном поле с индукцией от 0.01 Тл до 1 Тлмагнитная длина уменьшается от 256 нм до 25.6 нм. А значит соотношение между толщинойплёнки и магнитной длиной в интервале магнитных полей, в котором проводились измерения вданной работе, изменяется, как и эффективная размерность системы [129]. Эффективноеизменение размерности системы под действием магнитного поля, в частности, подтверждаетсяэкспериментальными данными угловой зависимости магнетосопротивления пленок ZnO:Ga,представленными в предыдущем параграфе данной главы.Наблюдаемоевисследованныхплёнкахмагнетосопротивлениенеудаетсяудовлетворительно описать на основе выражений для магнетосопротивления, обусловленногослабой локализацией, полученных для двумерных или трёхмерных систем (1.32) [85-89], вшироком диапазоне магнитных полей.
Так на рисунке 3.6 в качестве примера представленрезультат аппроксимации экспериментальных зависимостей магнетопроводимости выражениемдля квантовой поправки к проводимости для 2D и 3D систем для пленки R1 при 7К. Видно, чтотеоретическое выражение для квантовой поправки к проводимости ни для случая 2D, ни для85случая3Dсистемынеописываютэкспериментальнонаблюдаемуюзависимостьмагнетопроводимости в широком диапазоне магнитных полей.1000R17KОм*м2D5003D001234B, ТлРисунок 3.6 Экспериментальная зависимость магнетопроводимости (круги) пленки R1при 7К и аппроксимация выражением для квантовой поправки к проводимости для 2D (3.25)(Lφ=152 нм) и 3D системы (3.24) (Lφ=182 нм) (линии)Для описания магнетопроводимости плёнок, обусловленной слабой локализацией, припроизвольном соотношении между толщиной плёнки, магнитной длиной и длиной диффузииэлектронов за время релаксации фазы волновой функции в данной работе была решена задачарасчета магнетопроводимости, обусловленной слабой локализацией, в магнитном поле,направленном перпендикулярно поверхности пленки [129].Теория квантовых поправок к проводимости и метод расчета развиты в [85-89].
Согласно[85-89] квантовая поправка к проводимости, обусловленная слабой локализацией, описываютсяследующим соотношением.( , )=−ħ( , , ),(3.1)где С(r,r,ω) - куперон, определяющий амплитуду рассеяния электрона на примеси [87, 132,133]. Функция С(r,r,ω) является решением уравнения(−+ (−− 2 /ħ ) +) ( , , )=(),(3.2)где ω – частота внешнего поля, А – вектор-потенциал магнитного поля.Дифференциальное уравнение (3.2) совпадает с уравнением для функции Гриналинейного дифференциального оператора, решение которого при ω=0, как известно, можнопостроить в виде:ħС ( , )= ∑( ) ∗( )(3.3)где ψn(r), En - собственные функции и собственные значения соответствующегооператора. Таким образом, задача (3.1) сводится к поиску собственных функций и собственных86значений уравнения (3.2), которое формально совпадает с уравнением Шредингера дляквазичастицы с зарядом 2е и массой (2D)-1 в магнитном поле [87].ħ(−+ (−− 2 /ħ ) +)=(3.4)Отсюда получаются известные выражения (1.32) для квантовых поправок к проводимости.Для нахождения квантовой поправки к проводимости в тонкой пленке необходимо учестьграничные условия на поверхности пленки – равенство нулю нормальной компонентыобобщенного импульса на поверхности пленки.
Таким образом уравнение для нахождениясобственных функций и собственных значений и соответствующие граничные условия [129]:ħ( (−− 2 /ħ ) +) =(3.5)(− 2 /ħ)|=0(3.6)(− 2 /ħ)|=0(3.7)=−Выберем вектор-потенциал в виде= 0,,= 0. Ищем собственные функциизадачи (3.5)-(3.7) в виде( , , )=( )cos (k z)(3.8)после подстановки (3.8) в (3.5) и, учитывая граничные условия, получаем уравнениеотносительно χ(y):+ ħ ( − ħτ=−гдеħ− ħD() − ħD() (y − y ) )χ = 0ħ,(3.9)(3.10)Уравнение (3.9) формально совпадает с уравнением Шредингера для линейного осциллятора вмагнитном поле, колеблющимся с частотой=4/ħ. Поэтому собственные функции исобственные значения задачи (3.5)-(3.7) описываются соотношением [134]:,=ħ++ ħτ+ ħ4( , , )=где ( ) =где==4ħ=2()((3.11)( )cos (),(3.12))(3.13)/ħ - циклотронная частота, n, m – квантовые числа, H(y) – полиномы Эрмита,, A,B – нормировочные коэффициенты.После подстановки (3.11) и (3.12) в (3.1) выражение для квантовой поправки примет вид,:= −∫ħ∗ ħ∑(, ,ħ)ħ( )∙(3.14)ħМеняя местами суммирование и интегрирование, после интегрирования по z выражение (3.14)преобразуется к виду:87=−ħ( )∑∗ħ∗, ,ħ(3.15)ħħВоспользуемся правилом перехода от суммирования по квантовому числу kx к интегрированию:=−( )∗∫ ∑∗ħħ,ħ(3.16)ħħТак как kx входит в функцию χ(y) через y0 (формула (3.10)), то, после замены переменных(=ħ), и интегрирования по ξ получаем выражение для квантовой поправки кпроводимости в виде ряда:( )=−=где введено обозначениеħ∗ħ∑,,ħħ(3.17)ħħВ работе [135] был получен ряд (3.17), который был проанализирован для предельныхслучаев двумерной и трехмерной электронной системы, и получены соответствующиеасимптотические выражения для квантовой поправки к проводимости.
Следует отметить, чтополученный ряд расходится при больших n, поэтому данное выражение не может бытьиспользовано для описания магнетосопротивления, так как формальное обрезание данного рядапри численном расчете делает зависимость квантовой поправки от магнитного поляступенчатой и не описывает экспериментальные зависимости магнетосопротивления.Выражение для магнетосопротивления было получено в рамках подхода, аналогичногоразвитому в [132]. Следуя этому методу, преобразуем выражение для квантовой поправки кпроводимости, применив известные свойства дигамма функции (Ψ( )):Ψ( + ) = Ψ( ) + ∑(3.18)Ψ( + ) = ln(3.19)limОтсюда=−гдеħ( )=−ħħħ=(∑∑ [Ψħ→=−ħħħ+ +− Ψ(ħħ∑ ∑ħ+ )],=(3.20))Вычтем вклад в нулевом магнитном поле, чтобы получить выражение для измененияпоправки к проводимости, связанной с подавлением интерференции электронных волнмагнитным полем.
Для этого, аналогично работе [136], устремим в (3.17) B0 к нулю ипреобразуем его к виду:limħ→ħ∑ ∑→∑ħħħħħħln () (3.21)88Используя выражение (3.19), для изменения квантовой поправки к проводимости вмагнитном поле, то есть для магнетопроводимости пленки, получим выражение [129]:Δ ( )=∑ [ħ+ Ψ( + )] =ħ∑ [+ Ψ(+ )](3.22)Ряд (3.22) быстро сходится и в отличие от выражения (3.17) плавно зависит отмагнитного поля и может быть использован для описания экспериментальных данныхмагнетосопротивления. На рисунках 3.6, 3.7 представлены графики численных расчетовмагнетопроводимости по формуле (3.22) для разных/ .3012253Δσ/G0·d20154-51065700510Lφ/lBРисунок 3.6 Теоретические зависимости магнетопроводимости для толстых пленок(d>Lφ) при разном соотношении d и Lφ: 1- (Lφ /d=0.25) - (3.23); 2 - (Lφ /d=0.25) — (3.22);3 - (Lφ /d=0.25) - для 3D систем (3.24); 4 - (Lφ /d=0.5) — (3.23); 5 - (Lφ /d=0.5)- (3.22); 6 (Lφ /d=0.5) - для 3D систем (3.24); 7 - (Lφ /d=0.5) - для 2D систем (3.25) [129]Для численных расчетов суммирование ряда по m обрезалось значением= / , (d– толщина пленки, l – длина свободного пробега) в соответствии с условием применимостидиффузионного приближения.
В работе [137] было показано, что для пленок конечнойтолщины, превышающей длину диффузии за время релаксации фазы волновой функции,магнитную длину, квантовая поправка к проводимости в теории слабой локализации всегдасодержит как трехмерный, так и двумерный вклад:∆ ( )=( )+ ∆∗∆( ),(3.23)где Δσ3D(B), Δσ2D(B) –трехмерная и двумерная квантовые поправки к проводимости в теориислабой локализации [133]:=где=() ,( )=∑2[( +ħ√( )+ 1) − ( − ) ] − ( + + )(3.24)89Δ( )=где++=ħ( ),(3.25), где Ψ(x) – дигамма функция.В работе [137] было высказано предположение, что в тонкой пленке (Lφ>d) приувеличении магнитного поля вклад трехмерной поправки начинает доминировать наддвумерной составляющей [137], если магнитное поле достаточно сильное, такое, что выполненоусловие lB<d.
При этом электронная подсистема пленки изменяет размерность и пленкастановится эффективно трехмерной по отношению к теории слабой локализации [133]. С цельюпроверки, как соотносятся расчеты по формуле (3.22) с выражением, полученным в работе [137]для толстой пленки (3.23), и согласуется ли поведение зависимости, рассчитанной по формуле(3.22) с утверждением о смене размерности электронной подсистемы при изменениимагнитного поля, на рисунке 3.6 также представлены зависимости, рассчитанные по формуле(3.23) [137] и для двумерной электронной системы (3.25) [129].Δσ/G0·d651234453210024681012Lφ/lBРисунок 3.7 Теоретическая зависимость магнетопроводимости в тонкихпленках (d<Lφ) при разном соотношении d и Lφ: 1 - (Lφ /d=2) — (3.22); 2 - (Lφ /d=2) —(3.23); 3 - (Lφ /d=4) — (3.22); 4 - (Lφ /d=4) — для 2D (3.25); 5 - (Lφ /d=4) — (3.23) [129];Для толстой пленкиинтервале до/<(рисунок 3.6) выражения (3.22) и (3.23) совпадают на~ 15 для пленок с= 0.25 и на интервале до/~ 30 для пленок с= 0.5.
Таким образом, несмотря на то, что выполнено условие трехмерности пленки (<), в области малых магнитных полей доминирует двумерный вклад в магнетосопротивление[129].Для пленки c большимтрехмерный вклад начинает проявляется при большихмагнитных полях. Для тонких пленок>в области малых магнитных полей расчеты поформуле (3.22) совпадают с результатами расчета по формуле для магнетосопротивления90двумерных систем (3.25) (рисунок 3.7) [129].
С ростом магнитного поля магнитная длинауменьшается, когда lB становится сравнимой с толщиной пленки, в расчете по формуле (3.23)проявляется трехмерный вклад, что согласуется с поведением, предсказанным в работе [137].Таким образом, зависимость, заданная выражением (3.22), согласуется с выводами предыдущихработ [137,89]. Формула (3.22) была применена в данной работе для анализа значениймагнетосопротивления в исследованных пленках ZnO:Ga, синтезированных в окислительныхусловиях.3.5 Анализ магнетосопротивления тонких пленок ZnO:Ga, синтезированных вокислительных условиях, и пленок In2O3:Sn, осажденных распылением оксидныхмишенейПолученное в предыдущем разделе выражение (3.22) было использовано дляаппроксимации экспериментальной зависимости манетосопротивления пленок ZnO:Ga и ITO вдиапазоне температур 4.2 – 27К, представленной в разделе 2.4. На рисунке 3.8 представленаэкспериментальная кривая магнетопроводимости плёнки ZnO:Ga (R1) при температуре 4,2 К, атакже результатаппроксимациимагнетопроводимостивыражениями(3.22),(3.23)ивыражением (3.25) для двумерной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
