Диссертация (1102446), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

1.1, известное одномерное уравнениесвязанных мод позволяет корректно описывать акустооптическое взаимодействие лишь вслучаях, близких либо к поперечному, либо к коллинеарному режимам. Таким образом,двумерный метод описания дифракции света на ультразвуке обладает большей общностью, чемодномерный метод. Очевидно, что в пределах применимости одномерной теории результатырешения дифракционной задачи при помощи одномерного и двумерного уравнений связанныхмод должны совпадать. Поэтому важно определить те условия, в которых двумерное описаниедифракции света на ультразвуке позволяет получить принципиально новые результаты посравнению с одномерным.Для того чтобы отличить задачи, для решения которых достаточно возможностейодномерного метода, от существенно двумерных задач, необходимо учитывать следующиеобстоятельства.

Как известно, вывод и решение одномерного уравнения связанных модпроводятся в предположении, что плоская световая волна испытывает дифракцию набесконечно длинном ультразвуковом столбе. Следовательно, применение одномерной теориидля описания дифракции ограниченных световых пучков следует считать тем болееоправданным, чем больше апертура падающего светового пучка b (см.

рис. 2.1). Вместе с тем,как отмечалось в пп. 1.3-1.4, двумерное уравнение связанных мод описывает изменениекомплексных амплитуд световых волн каждой из дифракционных порядков вдоль направлениялучевого вектора данной волны. При этом, одномерное уравнение связанных мод описываетизменение амплитуд лишь вдоль одного направления, перпендикулярного к ультразвуковомустолбу (ось x на рис.

2.1), так как оно содержит лишь полные производные вида dC p / dx.Поэтому двумерное описание дифракции света на ультразвуке должно быть тем ближе кодномерному, чем ближе лучевые векторы взаимодействующих световых волн друг к другу и кнаправлению перпендикуляра к границе ультразвукового столба.Рассмотрим построение количественного критерия, определяющего двумерный характерзадачи, в случае брэгговской дифракции светового пучка ограниченного сечения на бесконечнодлинном ультразвуковом столбе. При этом область взаимодействия оказывается ограниченнойв пространстве по двум координатам за счет влияния конечной апертуры падающего пучкасвета b и конечной ширины ультразвукового столба l (см.рис. 2.4).

Как было отмечено в п. 1.4,характерным размером области акустооптического взаимодействия является ее размер вдоль− 66 −zУльтразвуковойстолбПадающийсветовойпучокbЛучевой вектор1-го порядкадифракцииC0xBθ1Aа)θ0lN>1б)N<1в)Рис. 2.4. Параметр геометрической конфигурации взаимодействия.− 67 −лучевого вектора светового пучка дифракционного порядка. Из рис. 2.4а, видно, что лучи 1-гопорядка дифракции проходят внутри апертуры падающего светового пучка путь, равныйAB = b /sin(θ1 − θ0), а внутри ультразвукового столба − путь, равный AC = l /cosθ1.

Сравнениедлин указанных путей позволяет определить основной фактор, влияющий на пространственноеограничение области взаимодействия. Если b /sin(θ1 − θ0) > l /cosθ1, то большая часть лучей 1-гопорядка дифракции покидает ультразвуковой столб раньше, чем они выходят из створа,определяемого апертурой падающего пучка света (см. рис. 2.4б) Поэтому областьвзаимодействия ограничена для этих лучей конечной шириной ультразвукового столба, как ипри одномерном рассмотрении.

В противоположном случае, то есть при b /sin(θ1 − θ0) < l /cosθ1,большая часть лучей 1-го порядка дифракции покидает апертуру падающего светового пучкараньше, чем ультразвуковой столб (см. рис.2.4в). Пространственное ограничение областивзаимодействия для них при этом определяется именно апертурой падающего светового пучка.Дляпрактическихоценокудобноиспользоватьвведенныйвп.2.4параметрконфигурации взаимодействия N, определяемый формулой (2.15) и равный отношению длинотрезков AB/AC.

Как будет показано далее, указанный параметр позволяет определить, какой изфакторов пространственного ограничения области взаимодействия оказывает определяющеевлияние на процесс дифракции. При |N| >> 1 таким фактором является конечный размерультразвукового столба l, и результаты решения задачи в рамках двумерного метода сводятся крезультатам решения известного одномерного уравнения связанных мод. Если же |N| << 1, тообласть взаимодействия ограничена, в основном, апертурой светового пучка, а при |N| ~ 1 обафактора оказывают сравнимое влияние на процесс акустооптического взаимодействия. Впоследних двух случаях одномерное рассмотрение неприемлемо, поскольку приводит кпринципиально ошибочным результатам.Рассмотрим ряд численных примеров, показывающих принципиальные отличиядвумерного описания процесса дифракции света на ультразвуке от одномерного.Нахождение полосы частот ультразвука, в которой наблюдается эффективноеакустооптическое взаимодействие, является важной задачей, решаемой в прикладнойакустооптике.

Если обозначить расстройку частоты ультразвука от синхронизма как ∆f , тоширина частотной полосы определяется удвоенной величиной этой расстройки, при которойэффективность дифракции падает в два раза, то есть δf = 2∆f 1/2. Известное из одномернойтеории акустооптического взаимодействия выражение для частотной полосы, не учитывающееснос энергии ультразвука, имеет вид δf = 1,78nV 2 / λlf . Наличие сноса энергии ультразвуковойволны приводит к изменению этой величины.

В рамках одномерной теории такое изменениеобычно учитывается заменой размера области взаимодействия l в выражениях, описывающихдифракцию, на другую величину, называемую эффективной длиной взаимодействия и− 68 −зависящую от угла сноса ультразвука [35, 39-42, 44]. Рассмотрение акустооптическоговзаимодействия как двумерного процесса позволяет показать ограниченную применимостьподобного подхода.На рис. 2.5 представлены зависимости частотного диапазона акустооптическоговзаимодействия от частоты синхронизма при дифракции света на ультразвуке в среде ссильным сносом энергии ультразвука. Числовые параметры, для которых производился расчет,соответствуют изотропной дифракции света на ультразвуковой волне с максимальным угломсноса ультразвуковой волны в кристалле парателлурита, равным 74о.

Для каждого значениячастоты синхронизма вычислялся соответствующий этой частоте угол Брэгга, а далее онпересчитывался в углы падения и дифракции света. Пунктирной линией изображеназависимость, вычисленная по существующей одномерной теории [40-41]. Видно, что вблизичастоты f * = 2nVcosψ /λ, когда θ1 → 90о, частотная полоса взаимодействия стремится к нулю.Физическая неадекватность подобного результата означает, что условия задачи в этом случаевыходят за границы применимости одномерной теории, что было впервые отмечено в работе[40].

Серия сплошных кривых на том же графике дает зависимости полосы взаимодействия отчастоты синхронизма, полученные при решении двумерного уравнения связанных мод.Вычисление проводилось в случае дифракции светового пучка прямоугольного сеченияшириной b (см. выражение (2.4)) в приближении малой эффективности дифракции сиспользованием формулы (2.16). Видно, что вблизи частоты f * полоса взаимодействиясущественно определяется именно апертурой светового пучка.

Одномерная теория, имеющаядело с плоскими волнами, не позволяет корректно учесть этот параметр, и поэтомувычисленный по ней частотный диапазон стремится к нулю при приближении к точке f = f *.Вместе с тем, при достаточно низких или, наоборот, высоких частотах ультразвука результатырасчетов, сделанных на основе двумерного и одномерного уравнения связанных мод,практически совпадают.Как было отмечено, возможность применения одномерной теории определяетсяпараметром конфигурации взаимодействия N, даваемым формулой (2.15).

При малых частотахультразвука справедливо соотношение N >> 1, при этом область взаимодействия ограничена впространстве за счет конечный размер ультразвукового столба l. Поэтому результаты решениязадачи в рамках двумерного метода сводятся к результатам решения известного одномерногоуравнения связанных мод. При увеличении частоты ультразвука и угла Брэгга величина Nуменьшается, то есть роль апертуры светового пучка в пространственном ограничении областивзаимодействия становится все более заметной.

Для наглядности участки кривых на рис. 2.5, накоторых выполняется неравенство |N| < 1, проведены утолщенными линиями. При достижениичастотой ультразвука значения f = f * параметр N обращается в нуль, а при дальнейшем− 69 −δf,кГц400035003000250020001500b=l1000b = 10lb = 2l5000b = 5l1002003004005006007008009001000f,МГцРис. 2.5. Зависимость полосы акустооптического взаимодействия от частоты ультразвуковойволны при дифракции прямоугольного светового пучка с различной апертурой (сплошныекривые) и плоской световой волны (пунктирная кривая).

Участки кривых, на которых параметрконфигурации взаимодействия |N| < 1, изображены утолщенными линиями.Параметры расчета: n = 2,32, λ = 3,39 мкм, V = 716 м/с, ψ = 72,2о, l = 1 мм и f * = 300 МГц.− 70 −увеличении частоты он становится отрицательным. С увеличением модуля |N| кривые,вычисленные согласно двумерной теории, вновь сближаются друг с другом и с кривой,полученной из одномерной теории. Максимальное значение частоты ультразвука, при которойеще возможна дифракция на данной ультразвуковой волне, соответствует обратномуколлинеарному рассеянию.

Характеристики

Список файлов диссертации