Диссертация (1102446), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Таким− 61 −образом, возникает необходимость в удобном численном методе нахождения приближенныхрешений двумерного уравнения связанных мод, не обладающем указанными недостатками. Врамках настоящей работы для этой цели был разработан модифицированный вариант методапоследовательных приближений, хорошо известного в математическом анализе как методрешения интегральных уравнений.Сущность данного метода рассмотрим на примере решения задачи акустооптическоговзаимодействия в однородном ультразвуковом поле.

Постановка задачи при этом имеет вид:∂C0∂Cqcos θ 0 + 0 sin θ 0 = − exp[i (η x x + η z z )]C1 ,∂z∂x2∂C1∂Cqcos θ1 + 1 sin θ1 = exp[−i (η x x + η z z )]C0 ,∂x∂z2(2.25)С0 (0, z ) = a ( z ),C1 (0, z ) = 0 при θ1 < 90°,(2.26)C1 (l , z ) = 0 при θ1 > 90°.Основная идея разработанного метода заключается в том, что одновременное решениеуравнений (2.25) в нем заменяется многократным поочередным решением каждого из них поотдельности.

Рассмотрим процесс получения очередного приближенного решения. Пустьизвестно приближенное решение для m-го приближения C0( m ) , где m − четное число. Тогда,учитывая условия (2.26), можно поставить следующую задачу для второго дифференциальногоуравнения (2.25):∂C1( m +1)∂C ( m +1)qcos θ1 + 1sin θ1 = exp[−i (η x x + η z z )]C0( m ) ,2∂x∂zC1( m +1) (0, z ) = 0 при θ1 < 90°,C1( m +1) (l , z ) = 0 при θ1 > 90°..(2.27)(2.28)Для ее решения можно ввести замену переменных: x = x′ cosθ1 − z ′ sin θ1 ; z = x′ sin θ1 + z ′ cosθ1 ,причем C0( ,m1 ) ( x, z ) = C 0′,(1m ) ( x′, z ′) . В новых переменных задача (2.27), (2.28) принимает вид:∂C1′( m +1) q= exp[−i (η x cos θ1 + η z sin θ1 ) x′ − i (−η x sin θ1 + η z cos θ1 ) z ′)]C0′ ( m ) ,∂x′2C1′ ( m +1) ( z ′tgθ1 , z ′) = 0 при θ1 < 90°,C1′ ( m +1) ( z ′tgθ1 + l / cos θ1 , z ′) = 0 при θ1 > 90°.(2.29)(2.30)Видно, что задача для дифференциального уравнения в частных производных оказаласьпреобразована в задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, в котороепеременная z ′ входит как параметр.

Решение этой задачи получается путем интегрированияобеих частей равенства (2.29) по x′ при неизменном z ′ с учетом условий (2.30):− 62 −x′C1′ ( m +1) ( x′, z ′) =qexp[−i (−η x sin θ1 + η z cos θ1 ) z ′] ∫ exp[−i (η x cos θ1 + η z sin θ1 )ζ ]C0′ ( m ) (ζ , z ′)dζ , (2.31)2hн′где hн′ = z ′tgθ1 при θ1 < 90° и hн′ = z ′tgθ1 + l / cos θ1 при θ1 > 90°. Возвращаясь в выражении (2.31)к прежним переменным x, z, получаем:h( m +1)1Cвq( x, z ) = exp[−i( −η x sin θ1 + η z cos θ1 )(− x sin θ1 + z cos θ1 )] ∫ exp[−i (η x cos θ1 + η z sin θ1 )ζ ] ×2(2.32)hн× C0( m) (ζ cos θ1 − ( − x sin θ1 + z cos θ1 ) sin θ1 , ζ sin θ1 + ( − x sin θ1 + z cos θ1 ) cos θ1 )dζ ,где hн = ( z − x tgθ1 ) sin θ1 при θ1 < 90° и hн = ( z − x tgθ1 ) sin θ1 + l / cos θ1 при θ1 > 90°, аhв = x cosθ1 + z sin θ1 .Формула (2.32) позволяет вычислить функцию (m + 1)-го приближения C1( m +1) .Задавшись этой функцией, рассмотрим задачу для первого из дифференциальных уравнений(2.25):∂C 0( m + 2 )∂C ( m + 2)qcos θ 0 + 0sin θ 0 = − exp[i (η x x + η z z )]C1( m +1) ,∂x∂z2(2.33)C0( m + 2) (0, z ) = a ( z ).Аналогичнопредыдущемуслучаю,введемновые(2.34)переменныепоформуламx = x" cosθ 0 − z" sin θ 0 ; z = x"sin θ 0 + z" cosθ 0 , C0( ,m1 ) ( x, z ) = C"0( m,1) ( x" , z" ) , в которых задача (2.33),(2.34) преобразуется к следующей задаче Коши для обыкновенного дифференциальногоуравнения:∂C"(0m + 2)q= − exp[i (η x cos θ 0 + η z sin θ 0 ) x"+i (−η x sin θ 0 + η z cos θ 0 ) z" )]C"1( m +1) , (2.35)∂x"2C "1( m +1) ( z" tgθ 0 , z" ) = a ( z" / cos θ 0 ).(2.36)Решение этой задачи имеет вид:C"(0m + 2 ) ( x" , z" ) = a(z"q) − exp[i (−η x sin θ 0 + η z cos θ 0 ) z" ] ×cos θ 02x"×∫θexp[i(ηz " tgx( m +1)1cos θ 0 + η z sin θ 0 )ζ ]C"(2.37)(ζ , z" )dζ ,0откуда при переходе к переменным x, z получается:qC0( m + 2) ( x, z ) = a( z − x tgθ 0 ) − exp[i(η x sin θ 0 + η z cos θ 0 )(− x sin θ 0 + z cos θ 0 )] ×2x cos θ 0 + z sin θ 0∫θ exp[θ i(η×( z − x tgcos θ 0 + η z sin θ 0 )ζ ] ×0 ) sin 0( m +1)1×Cx(ζ cos θ 0 − ( − x sin θ 0 + z cos θ 0 ) sin θ 0 , ζ sin θ 0 + (− x sin θ 0 + z cos θ 0 ) cos θ 0 )dζ .(2.38)− 63 −Выражение (2.38) позволяет найти функцию (m + 2)-го приближения C0( m + 2) .

Повторяяописанную последовательность действий, можно найти функцию следующего приближенияC1( m +3) , затем C0( m + 4) , и т.д. В связи с тем, что интегральные уравнения (2.31) и (2.37) являютсяуравнениями с переменным верхним пределом (уравнениями типа Вольтерра), методпоследовательныхприближенийпозволяетполучитьпоследовательностьфункций,сходящуюся к точному решению исходной задачи (2.25), (2.26).

Отметим, что в качествефункцииначальногоприближенияудобновзятьфункциювидаC0( 0) = a ( z − x tg θ 0 ),представляющую собой амплитуду электромагнитной волны, которая распространяется черезобласть взаимодействия в отсутствие ультразвука.Формулы (2.32) и (2.38) являются расчетными формулами метода последовательныхприближений. Можно провести аналитическое вычисление входящих в них интегралов длянекоторого числа приближений и при этом получить выражения для приближенноговычисления искомых амплитуд. Представленные в пп. 2.2 − 2.4 точные решения уравненийсвязанных мод были получены именно таким способом. Каждое следующее приближение приэтом дает очередной член ряда, представляющего собой разложение функции Бесселя постепеням аргумента.

При этом в приближенные решения C0( m ) и C1( m ) входят члены,содержащие m-ю степень коэффициента связи qm. Пользуясь квантово-механической аналогиейпроцесса акустооптического взаимодействия, можно сформулировать физический смыслметода последовательных приближений: каждое следующее приближение соответствует учетуочередного акта фотон-фононного рассеяния. Иначе говоря, члены, содержащие qm,соответствуют вкладу в процесс взаимодействия тех фотонов, которые испытали m актоврассеяния на фононах [1, 2, 159].

Так, если ограничиться лишь однократными переходами, тополучившееся выражение для C1(1) будет соответствовать приближению малой эффективностидифракции, то есть будет пропорционально коэффициенту связи q.Разработанный метод удобен для численного решения задачи дифракции света наультразвуке. Он не содержит каких-либо ограничений на углы падения и дифракции света,коэффициент акустооптической связи и компоненты вектора расстройки. Как видно, формулы(2.32) и (2.38) не содержат специальных функций, а лишь тригонометрические. Входящие в нихинтегралы могут быть вычислены любым известным методом приближенного численногоинтегрирования.

Алгоритм численного моделирования заключается в последовательномнахождении по этим формулам функций C0( m ) и C1( m ) , дающих приближенные решениядвумерного уравнения связанных мод. Вычислительный процесс может быть остановлен тогда,когда они будут отличаться от соответствующих функций предыдущих приближений менеечем на заранее заданную величину, определяемую требуемой точностью результата. После− 64 −окончательного получения приближенного решения двумерного уравнения связанных модможно вычислить величину эффективности дифракции по формулам (2.3).В рамках настоящего исследования была разработана реализация численной моделидифракции света на ультразвуке, основанная на описанном методе последовательныхприближений. Решение задачи осуществлялось на косоугольной сетке, оси которойпараллельны лучевым векторам взаимодействующих волн. Такое решение дало возможностьнепосредственно вычислять интегралы, входящие в формулы (2.31) и (2.37), методомпрямоугольников, используя для этого лишь значения функций в узлах сетки и не прибегая кинтерполяции.

Устойчивость получаемого решения оказалась слабо зависящей от числавыбранных узлов сетки. Скорость сходимости решений оказалась существенно зависимой отвеличины коэффициента связи и соотношения углов падения и дифракции света. Тем не менее,при любых комбинациях этих параметров алгоритм позволял получить решения с любойтребуемой точностью, ограниченной лишь числом разрядов в машинном представлении чисел.Таким образом, разработанная реализация численной модели дифракции света на ультразвукена основе двумерного уравнения связанных мод характеризуется высокой точностью ибыстродействием при минимальных требованиях к ресурсам ЭВМ.

Оптимальное сочетаниеуказанных качеств позволяет определенно утверждать, что предлагаемый метод численногомоделирования процесса дифракции света на ультразвуке выгодно отличается от другихизвестных методов решения дифракционной задачи, а также от известных стандартныхпрограмм моделирования электромагнитных полей в материальных средах.Необходимо отметить, что разработанный метод последовательных приближений можетбыть использован также и для решения задачи дифракции Брэгга в пространственнонеоднородном ультразвуковом поле, соответствующей уравнениям (2.18) с граничнымиусловиями (2.2). Расчетные формулы для очередного приближения получаются аналогичноформулам (2.31) и (2.37), и приводятся без вывода:C '1( m +1) ( x' , z ' ) = exp[−i (−η x sin θ1 + η z cos θ1 ) z ' ] ×x'×q (ζ , z ' )exp[−i (η x cos θ1 + η z sin θ1 )ζ ] exp[−iΦ (ζ , z ' )]C '(0m ) (ζ , z ' )dζ ,2h 'н∫C"(0m + 2) ( x" , z" ) = a(x"×∫z " tgθ 0z") − exp[i (−η x sin θ 0 + η z cos θ 0 ) z" ] ×cos θ 0q(ζ , z" )exp[i (η x cos θ 0 + η z sin θ 0 )ζ ] exp[iΦ(ζ , z" )]C"1( m +1) (ζ , z" )dζ .2(2.39)(2.40)При необходимости можно осуществить переход к переменным x, z путем простойалгебраической замены.

Соответствующие формулы здесь не приводятся ввиду своей крайнейгромоздкости. Как и в случае однородного ультразвукового поля, функцией начальногоприближения служит функция C 0( 0) = a ( z − x tg θ 0 ) .− 65 −2.6. Пространственное ограничение области взаимодействия и его влияние на процессдифракцииПредставленный выше вывод и решения двумерного уравнения связанных мод непредполагают наложения каких-либо ограничений на взаимные направления световых пучков иультразвукового столба. При этом, как было отмечено в п.

Характеристики

Список файлов диссертации