Диссертация (1102446), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

В качестве основного математического аппарата для решениязадачи дифракции света на ультразвуке выбран метод медленно меняющихся амплитуд.2) Получено двумерное уравнение связанных мод, описывающее дифракцию света наультразвукеприпроизвольныхнаправленияхраспространениясветовыхпучковипроизвольной геометрической форме области взаимодействия. Показано, что данное уравнениеописывает изменение амплитуды электромагнитной волны каждого из дифракционныхпорядков в направлении лучевого вектора света.

Уравнение получено в вариантах,соответствующих оптически изотропным и анизотропным средам, а также пространственнооднородным и неоднородным акустическим полям.3) Проведено сравнение двумерного уравнения связанных мод с известным одномернымуравнением связанных мод.

Показаны принципиальные различия между двумерным иодномерным подходами к решению задачи дифракции света на ультразвуке.− 46 −Глава 2. Решение двумерного уравнения связанных мод в случае дифракции Брэгга2.1. Постановка задачи дифракции БрэггаВажным частным случаем акустооптического взаимодействия, для которого удаетсяполучить полное решение двумерного уравнения связанных мод аналитическим путем,является режим дифракции Брэгга.

Как известно, данный режим акустооптическоговзаимодействия наблюдается при дифракции света на достаточно широких ультразвуковыхстолбах при высокой частоте ультразвука [1, 9, 10]. Характерной чертой дифракции Брэггаявляется то, что переход из 0-го в +1-й (или в −1-й) порядок близок к синхронизму, а всеостальные переходы характеризуются значительной расстройкой или вовсе невозможны.Поэтому при рассмотрении дифракции Брэгга можно считать, что существует всего лишь двадифракционных порядка, а амплитуды всех остальных порядков положить равными нулю.Далее для определенности будет рассматриваться дифракция в +1-й порядок; при этомдифракция в −1-й порядок может быть исследована аналогичным образом. Все соотношенияявляются справедливыми как для оптически изотропных, так и анизотропных сред.В системе уравнений связанных мод (1.15) (или (1.29) в анизотропной среде)сохраняются только два уравнения.

Переходя от бескоординатной записи к координатам,представленным на рис. 1.1, можно записать их в виде:∂C0∂Cqcos θ 0 + 0 sin θ 0 = − exp[i (η x x + η z z )]C1 ,∂x∂z2∂C1∂Cqcos θ1 + 1 sin θ1 = exp[−i (η x x + η z z )]C0 .∂x∂z2(2.1)rВектор расстройки η 0 = {η x ,0,η z } является в данном случае единственным, поэтому индекс 0при его компонентах опущен. Решение задачи будет осуществляться для случая дифракциисвета на бесконечном ультразвуковом столбе.

Это позволит сравнить двумерную теориюдифракции света на ультразвуке с известной одномерной теорией.Систему уравнений (2.1) следует решать с граничными условиями вида (1.40), которые вслучае дифракции Брэгга выглядят следующим образом:С0 (0, z ) = a ( z ),C1 (0, z ) = 0 при θ1 < 90°,(2.2)C1 (l , z ) = 0 при θ1 > 90°.Выражения для эффективности дифракции принимают следующий вид:∞I = ∫ C1 (l , z ) cosθ1dz при θ1 < 90°,2−∞∞I = ∫ C1 (0, z ) cosθ1 dz при θ1 > 90°.−∞2(2.3)− 47 −На рисунке 2.1 представлено схематическое изображение процесса дифракцииограниченного светового пучка с апертурой b на бесконечно длинном ультразвуковом столбе. Вдальнейшем,в качестве такого пучкабудетрассматриваться илисветовойпучокпрямоугольного сечения, определяемый функцией вида1 / b , − b / 2 cos θ 0 < z < b / 2 cos θ 0 ,a( z ) =  0, z < −b / 2 cos θ 0 и z > b / 2 cos θ 0 ,(2.4)или гауссов пучок:22 z cos θ 0  a( z) =exp − 2π  .b b  (2.5)Необходимо отметить, что прямоугольный световой пучок не удовлетворяет условиюприменимости метода медленно меняющихся амплитуд (1.13) вблизи своих границ, так какградиент комплексной амплитуды обращается в бесконечность на границах пучка.

Тем неменее, рассмотрение прямоугольного светового пучка является оправданным, посколькупозволяетвесьманагляднопродемонстрироватьнекоторыеобщиезакономерности,характерные для двумерного представления акустооптического взаимодействия. Решениедифракционной задачи для гауссова пучка света позволяет более точно моделироватьэлектромагнитное поле, однако при этом приводит к более сложным вычислениям и отличаетсяменьшей наглядностью.Принципиальное отличие двумерного представления от одномерного заключается в том,что область взаимодействия ограничена в пространстве по двум координатам из-за конечныхразмеров светового и ультразвукового пучков. Как видно из рис. 2.1, это обстоятельствоприводит к тому, что апертура световых пучков дифракционных порядков существенноотличается от апертуры падающего пучка. В п.

2.6 будет показано, что изменение апертурысветовых пучков в процессе взаимодействия приводит к возникновению ряда эффектов,которые принципиально не могут быть описаны в рамках одномерной теории дифракции светана ультразвуке.Двумерное моделирование дифракции света на ультразвуке в режиме Брэгга сводится крешению системы уравнений (2.1) с граничными условиями (2.2), что позволяет определитьпространственную структуру взаимодействующих световых пучков, а также эффективностьдифракции. Решение двумерной дифракционной задачи можно осуществлять различнымиспособами.

Из литературы известно, например, что систему двух уравнений первого порядка(2.1) можно свести к одному уравнению второго порядка гиперболического типа и решать егометодом функций Римана [6, 104, 105, 111, 132-135]. Кроме того, систему дифференциальныхуравнений (2.1) можно свести к двумерному интегральному уравнению с последующим− 48 −zАпертурасветового пучка1-го порядкадифракцииθ1bl0θ0xАпертурападающегосветовогопучкаШиринаультразвуковогостолбаРис.

2.1. Двумерное представление режима дифракции Брэгга.Значение угла θ 0 на данном рисунке отрицательно.Апертурасветового пучка0-го порядкадифракции− 49 −нахождением его резольвенты [113]. Общий недостаток известных методов решения двумернойдифракционной задачи заключается в том, что каждый из них может применяться лишь вкаком-либо частном случае, при этом не допуская обобщения на более сложные конфигурациии режимы дифракции. Данное обстоятельство отмечалось в работе [6] как неотъемлемыйнедостаток двумерного представления акустооптического взаимодействия, препятствующийего широкому использованию для решения дифракционных задач.В настоящем исследовании разработан комплекс методов решения двумернойдифракционной задачи, включающий в себя как аналитические, так и численные методырешения.

В основе предложенного метода лежит сведение двух дифференциальных уравненийк системе двух интегральных уравнений и ее решение известным методом последовательныхприближений [120]. Нахождение последовательных приближений в общем случае можетпроводиться путем численного интегрирования на ЭВМ. При этом, в некоторых случаяхоказывается возможным осуществить предельный переход, получая тем самым точное решениесистемы уравнений. Как будет показано в п. 2.5, использование метода последовательныхприближений представляется вполне естественным для решения акустооптической задачи,поскольку каждое следующее приближение соответствует учету очередного акта рассеянияфотонов на фононах.2.2.

Решение задачи в виде функций БесселяДвумерная задача дифракции света на ультразвуке в общем случае допускает лишьприближенное численное решение. При этом, аналитическое выражение для точного решенияможет быть получено лишь в ряде частных случаев. Тем не менее, на них целесообразноостановиться подробнее, так как аналитическое решение в отличие от численного допускаетотносительно наглядную качественную интерпретацию и анализ результатов.Предлагаемый метод нахождения точного решения системы уравнений (2.1) основан натом, что данная система является линейной.

Это означает, что линейная комбинация решений~данной системы также является ее решением. Рассмотрим функции C0,1 ( x, z ) , являющиесярешением системы уравнений (2.1) с таким граничным условиями вида (2.2), где профильпадающего пучка света задается дельта-функцией Дирака, то есть~С0 (0, z ) = δ ( z − z 0 ),~C1 (0, z ) = 0 при θ1 < 90°,~C1 (l , z ) = 0 при θ1 > 90°.(2.6)Необходимо особо подчеркнуть, что подобный вид граничных условий соответствует неточечному источнику света, а одной лучевой трубке светового пучка 0-го дифракционного− 50 −порядка. Это объясняется тем, что двумерное уравнение связанных мод получено вприближении геометрической оптики и поэтому описывает распространение электромагнитнойволны лишь вдоль единственного направления, определяемого лучевым вектором. Как известно,любая функция a (z) может быть представлена в виде линейной комбинации дельта-функций∞Дирака, то есть a( z ) = ∫ δ ( z − z 0 ) a( z 0 )dz0 или, вводя замену переменной ζ = z − z 0 , в виде−∞∞a( z ) = ∫ δ (ζ )a( z − ζ )dζ .

Поэтому, исходя из линейности системы уравнений (2.1), можно−∞записать, что решение этой системы C0,1 с граничными условиями (2.2), где функция a (z) имеетпроизвольный вид, определяется выражением∞∞−∞−∞~~C0,1 ( x, z ) = ∫ C 0,1 ( x, z )a ( z 0 )dz 0 = ∫ C0,1 ( x, z 0 + ζ )a ( z − ζ )dζ .(2.7)Таким образом, задача нахождения решения уравнения связанных мод для падающего пучкасвета произвольной формы оказалась сведена к решению того же уравнения с граничнымусловием в виде дельта-функции.Для нахождения решения системы (2.1) с граничными условиями (2.6) можно применитьметод последовательных приближений, описанный в п.

2.5. При произвольном значениикоэффициента связи q задача может быть решена аналитически лишь при условии θ1 < 90о, иискомые функции имеют вид ( z − z0 ) cosθ 0 − x sinθ 0  x sinθ1 − ( z − z0 ) cosθ1q cosθ 0~exp iη||×C0 ( x, z ) = δ ( z − z0 − x tg θ 0 ) −sin(θ1 − θ 0 )2 sin(θ1 − θ 0 ) ( z − z0 ) cosθ 0 − x sin θ 0 q (( z − z0 ) cosθ 0 − x sinθ 0 )( x sinθ1 − ( z − z0 ) cosθ1 ) σ ( z − z0 − x tg θ 0 )σ ( x tg θ1 − ( z − z0 )),× J1 θθsin()−10(2.8) ( z − z0 ) cosθ 0 − x sinθ 0 q cosθ 0~ ×exp(− i(η x x + η z z )) exp iη||C1 ( x, z ) =2 sin(θ1 − θ 0 )sin(θ−θ)10 q (( z − z0 ) cosθ 0 − x sinθ 0 )( x sinθ1 − ( z − z0 ) cosθ1 ) σ ( z − z0 − x tg θ 0 )σ ( x tg θ1 − ( z − z0 )),× J0sin(θθ)−10где J0,1 − функции Бесселя первого рода, а σ (z ) − функция единичного скачка, равная нулю приz < 0 и единице при z > 0.

Также введено обозначение η|| = η x cos θ1 + η z sin θ1 .Подставляя соотношение (2.8) в (2.7), можно получить выражения для комплексныхамплитуд взаимодействующих волн при произвольной форме сечения падающего пучка света,определяемой функцией a (z):− 51 −x tgθC0 ( x, z ) = a( z − x tgθ 0 ) −1gq cos θ 0exp(iη|| g 0 ) 1 J 1 (q g 0 g1 )a ( z − ζ )dζ ,∫g02 sin(θ1 − θ 0 ) x tgθ 0x tgθ1q cos θ 0C1 ( x, z ) =exp[−i (η x x + η z z )] ∫ exp(iη|| g 0 ) J 0 (q g 0 g1 )a ( z − ζ )dζ ,2 sin(θ1 − θ 0 )x tgθ 0(2.9)где g 0 = (ζ cos θ 0 − x sin θ 0 ) / sin(θ1 − θ 0 ) , g1 = ( x sin θ1 − ζ cos θ1 ) / sin(θ1 − θ 0 ) . Следует отметить,что выражение (2.9) имеют смысл в тех областях пространства, где все входящие в нихподкоренные выражения положительны, а верхний предел интегрирования превышает нижний.В остальных областях пространства значение интеграла следует считать равным нулю.

Характеристики

Список файлов диссертации