Диссертация (1102446), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Вывод двумерного уравнения связанных мод с учетом поляризации светаДвумерное описание дифракции света на ультразвуке может быть проведено также и сучетом поляризации взаимодействующих световых волн [96, 97]. Пусть в каждом издифракционных порядков может распространяться две световые волны, одна из которыхполяризована перпендикулярно плоскости акустооптического взаимодействия, а другая − в этойплоскости. Такое условие необходимо для того, чтобы волновые и лучевые векторы всехвзаимодействующих волн находились в одной плоскости. В противном случае, задача− 27 −становится не двумерной, а трехмерной, и ее рассмотрение выходит за рамки настоящегоисследования.
Принятое допущение позволяет описать большую часть практически интересныхслучаев акустооптического взаимодействия, а именно:1) Изотропная среда или кубический кристалл − в любой плоскости;2) Одноосный кристалл − в плоскости, перпендикулярной оптической оси;3) Одноосный кристалл − в любой плоскости, содержащей оптическую ось;4) Двухосный кристалл − в любой из трех главных плоскостей.Для вывода двумерного уравнения связанных мод необходимо вновь обратиться ксоотношению (1.2).
Диэлектрическая проницаемость среды в данном случае имеет видrrεˆ = εˆн + ∆εˆ sin( Kr − Ωt ) ,(1.17)где εˆн − тензор диэлектрической проницаемости невозмущенной среды, ∆εˆ − амплитуда еговозмущения. Оба этих тензора считаются симметричными. Аналогично рассмотренному вышеслучаю, выражение для напряженности электромагнитного поля в среде следует искать в видесуммы полей световых пучков дифракционных порядков. Однако, в рассматриваемом случаекаждому из них соответствуют две волны со взаимно-ортогональными поляризациями:|| r C ⊥ ( x, z )r⊥ rr rrr || C p ( x, z )p⊥E = Eнорм ∑ eexp[i (k p r − ω p t )] + e pexp[i (k p|| r − ω p t )] .p n⊥n ||p cos β p(1.18)Здесь все величины с индексом ⊥ относятся к волнам, поляризованным перпендикулярноплоскости взаимодействия, а с индексом || − к волнам, поляризованным в этой плоскости.rrСледует отметить, что единичные векторы поляризации e ⊥ и e p|| указывают направленияполяризациигармоническихволн,распространяющихсявневозмущенной среде вrrнаправлениях, заданных соответствующими волновыми векторами k p⊥ и k p|| (см.
рис. 1.2).Очевидно, что для волны, поляризованной перпендикулярно плоскости взаимодействия,направления луча и волнового вектора совпадают, а показатель преломления n ⊥ не зависит отнаправления распространения волны. При этом для волны, поляризованной в плоскостивзаимодействия, направления луча и волнового вектора, в общем случае, могут не совпадать,образуя друг с другом угол β p . Величина показателя преломления n||p зависит от направленияраспространения волны, а значит и от номера порядка.
Поскольку любые гармонические волныв невозмущенной среде должны удовлетворять волновому уравнению (1.2) при εˆ = εˆн , то дляних выполняются соотношения:rrrrrrrω 2pεˆн e ⊥ / c 2 = − [k p⊥ × [k p⊥ × e ⊥ ],rω 2pεˆн e p|| / c 2 = − [k p|| × [k p|| × e p|| ].(1.19)− 28 −zre p||rd ||prm||pβprs p||p - й порядокдифракцииrm ⊥pr re⊥,d ⊥lx0Другие порядкидифракцииРис. 1.2. Волновые, лучевые векторы и направление поляризации взаимодействующихсветовых волн в оптически анизотропной среде. Структура, подробно показанная на примереодного из порядков дифракции, характерна также и для всех остальных порядков.− 29 −Вывод уравнений связанных мод с учетом поляризации света является значительноболее сложным, чем без учета поляризации. Выражения (1.17) и (1.18) следует подставить в (1.2)и учесть соотношения (1.18).
Кроме того, необходимо изменить индексы суммирования наединицу, подобно тому как это было сделано при переходе от (1.8) к (1.9), и применить условиесуществования стационарного решения дифракционной задачи: ω p = ω0 + pΩ . Наконец, привыводе целесообразно сразу перейти к приближению геометрической оптики, отбросив всечлены,содержащиевторыепроизводныеотмедленноменяющихсяамплитудпопространственным координатам. Это означает, что волновая поверхность, представляющаясобой эллипс, приближенно заменяется на отрезок прямой, касательной к эллипсу.
В результатеполучается следующее уравнение, которое является важным промежуточным результатом,применяемым в последующих выкладках:r rrr rrr 1r− ∑ [∇C p⊥ × [k p⊥ × e ⊥ ] + [k p⊥ × [∇C p⊥ × e ⊥ ] exp i (k p⊥ r − ω p t ) +p n⊥r || r || r ||r || rr || r || r ||1+[∇C p × [k p × e p ] + [k p × [∇C p × e p ] exp i (k p r − ω p t ) =||n p cos β p() ()) ()(2=1 ωp∑2 p c2(1.20)⊥r ||r rC ||p −1 ∆εˆ er ⊥ C p −1 exp i ((kr ⊥ + Kr )rr − ω t ) + ∆εˆ er ||expi((k+K)r − ω p t ) −p−1pp−1p−1⊥||nncosβp −1p −1()(⊥rrr rr rC ||p +1r C p +1r− ∆εˆ e ⊥exp i ((k p⊥+1 − K )r − ω p t ) − ∆εˆ e p|| +1exp i ((k p|| +1 − K )r − ω p t )n⊥n ||p +1 cos β p +1()()).В связи с тем, что каждому дифракционному порядку соответствуют две волны сразличными поляризациями, процессы перехода энергии между световыми пучками соседнихдифракционных порядков следует рассматривать отдельно для каждой поляризации.
Каждомуиз дифракционных порядков соответствует не одно, а два уравнения связанных мод,описывающих изменения комплексных амплитуд C p⊥ и C ||p в процессе дифракции. Кроме того,для перехода из p-го порядка в p + 1-й при любом номере p могут существовать, в общем случае,четыре различных вектора расстройки:rrrrrrrrη p⊥ = k p⊥+1 − k p⊥ − K ,η p|| = k p|| +1 − k p|| − K ,rrrrrrrrη p⊥|| = k p|| +1 − k p⊥ − K ,(1.21)η p|| ⊥ = k p⊥+1 − k p|| − K .Векторы расстройки с индексами ⊥ и || относятся к переходам, при которых плоскостьполяризации сохраняется (изотропная, или нормальная, дифракция), а с другими индексами − к− 30 −переходам, при которых плоскость поляризации изменяется (анизотропная, или аномальная,дифракция). Следует отметить, что исторически сложившиеся термины "изотропная ианизотропная дифракция" являются не вполне точными, поскольку переходы с изменениемплоскости поляризации могут существовать и в оптически изотропной среде [84, 91, 154, 155], апереходы с сохранением плоскости поляризации − в анизотропной среде.Рассмотрим вывод уравнения связанных мод, описывающего изменение комплекснойrамплитуды C p⊥ .
Для этого обе части уравнения (1.20) следует скалярно умножить на вектор e ⊥ ,а затем раскрыть двойные векторные произведения. При выводе следует также учесть, чтокомплексная амплитуда C p⊥ ( x, z ) является функцией двух координат x и z, а от координаты yrrона не зависит, и поэтому градиент ∇C p⊥ направлен перпендикулярно оси y и вектору e ⊥ .Кроме того, все входящие в соотношение (1.20) экспоненты следует перегруппировать так,r rчтобы выделить из их аргумента величину i (k p⊥ r − ω p t ), и применить обозначения (1.21). Врезультате описанных преобразований, соотношение (1.20) принимает вид:∑p1n⊥r rr r2(k p⊥ ⋅ ∇)C p⊥ exp i (k p⊥ r − ω p t ) =(21 ωp= ∑ 22 p c)⊥ rC ||p −1r r (e ⊥ ∆εˆ er ⊥ ) C p −1 exp(−iηr ⊥ rr ) + (er ⊥ ∆εˆ er || )exp(−iη ||p⊥−1r ) −p −1p −1n⊥n ||p −1 cos β p −1(1.22)⊥r rC ||p +1r⊥ rr r r ⊥ r ⊥ C p +1r⊥r ||− (e ∆εˆ e )exp(iη p r ) − (e ∆εˆ e p +1 )exp(−iη p⊥|| r ) exp i (k p⊥ r − ω p t ) .n⊥n ||p +1 cos β p +1()Для того чтобы данное соотношение было справедливым в любой точке пространства и влюбой момент времени, необходимо приравнять коэффициенты, стоящие перед экспонентами содинаковым аргументом в правой и левой его частях, при всех значениях p.
В полученномсоотношении пренебрегаем изменением длины волны света при дифракции, полагая, чтоω 2p / c 2 ≈ ω 02 / c 2 = (2π / λ ) 2 , где λ − длина волны падающего света в вакууме. Введемrrобозначение m ⊥p для орта волнового вектора k p⊥ , при этом выполняется соотношениеrrk p⊥ = (2π / λ ) n ⊥ m ⊥p . Окончательно получается следующее уравнение связанных мод:rrrre ⊥ ∆εˆ e p|| −1r⊥ rr rr ⊥ r ⊥ 1 π e ⊥ ∆εˆ e ⊥ ⊥n ( m p ⋅ ∇)C p =C p −1 exp(−iη p −1r ) +C ||p −1 exp(−iη p|| ⊥−1r ) −⊥||2λnn p −1 cos β p −1rrrre ⊥ ∆εˆ e p|| +1r⊥ rr r e ⊥ ∆εˆ e ⊥ ⊥C p +1 exp(iη p r ) −C ||p +1 exp(iη p⊥|| r ) .−n⊥n ||p +1 cos β p +1⊥(1.23)− 31 −Вывод уравнения связанных мод, описывающего изменение комплексной амплитуды C ||pпроизводится аналогичным, хотя и несколько более сложным, образом. Для того чтобы вывестиуравнение связанных мод для какого-либо порядка p*, обе части уравнения (1.20) следуетrскалярно умножить на вектор e p|| * .
Проводя дальнейшие преобразования аналогично описаннымвыше, получим следующее выражение, подобное (1.22):2n||p* cos β p*−∑p ≠ p*rr rrr r[e p|| * × [k p|| * × e p|| * ] ∇C p⊥ exp i (k p|| * r − ω p*t ) −1n||p cos β p21 ωp= ∑ 22 p c(( er||p*)r rr rrrr rr[∇C ||p × [k p|| × e p|| ] + e p|| * [k p|| × [∇C ||p × e p|| ] exp i (k p|| r − ω p t ) =) ()(1.24)⊥ rC ||p −1r r (e || ∆εˆ er ⊥ ) C p −1 exp(−iηr ⊥|| rr ) + (er || ∆εˆ er || )exp(−iη ||p −1r ) −p −1p*p −1 p*n⊥n ||p −1 cos β p −1⊥r rC ||p +1r rr r rr C p +1rr− (e p|| * ∆εˆ e ⊥ )exp(iη ||p⊥ r ) − (e p|| * ∆εˆ e p|| +1 )exp(−iη p|| r ) exp i (k p|| r − ω p t ) .n⊥n ||p +1 cos β p +1()Как и в предыдущем случае, коэффициенты, стоящие перед экспонентами с одинаковымаргументом в правой и левой частях соотношения (1.24), должны быть равны друг другу привсех значениях p, что также приводит к бесконечному количеству уравнений.