Диссертация (1102446), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Важно подчеркнуть, чтофункция C p ( x, z ) зависит от двух координат, а не от одной, как это обычно бывает прирешенииакустооптическойзадачи[1-6, 15-19, 25-28, 30, 31, 35-50, 88-93, 114-116, 121-131,136-141]. Именно эта, на первый взгляд, малозначительная особенность и обусловливаетпринципиальные отличия двумерной теории дифракции света на ультразвуке от одномерной.Рассмотрение дифракции света на ультразвуке в настоящей работе проводится впредположении,чтопадающаясветоваяволнаявляетсямонохроматической.Принеобходимости описания дифракции световой волны со сложным спектральным составом,такую волну можно представить в виде суперпозиции гармонических волн и решитьдифракционную задачу отдельно для каждой из них. Дифракция каждой из спектральныхсоставляющих может рассматриваться независимо, потому что при выводе уравненийсвязанных мод принимается условие стационарности комплексных амплитуд во времени.Следует отметить, что дифракция светового излучения со сложным спектральным составомвесьма часто используется в акустооптических устройствах [1-4, 7, 12-19].При дифракции света на ультразвуке всегда наблюдается ограниченное числодифракционных порядков.
Тем не менее, вывод уравнений связанных мод удобно проводить впредположении, что общее число порядков бесконечно, а ограничение их числа учитыватьлишь на окончательном этапе вычислений. Полное электромагнитное поле в средевзаимодействия выражается как сумма полей всех дифракционных порядков, то есть∞E=∑Epr r= Eнорм ∑ C p ( x, z ) exp i (k p r − ω p t ) .p = −∞()(1.7)pВ последующих формулах пределы суммирования подразумеваются бесконечными и неуказываются для упрощения записи. Подставляя выражения (1.5) и (1.7) в волновое уравнение(1.3), получим следующее соотношение:∑ (2ikpr rr r(m p ⋅ ∇ )C p + ∇ 2 C p exp i (k p r − ω p t ) =) ()pqλ= in2π∑p(ω p + Ω) 2c2rr rC p exp i ((k p + K )r − (ω p + Ω)t ) −()(1.8)rr r(ω p − Ω) 2qλ− inCexpi((k−K)r − (ω p − Ω)t ) ,∑pp2π pc2rгде введены обозначения m p и kp для орта и модуля волнового вектора электромагнитнойrrволны p-го порядка дифракции, то есть k p = m p k p .
При выводе использовано соотношение(k p = ω p n / c.)− 24 −Для дальнейшего рассмотрения следует учесть, что суммы, входящие в соотношение(1.8), являются бесконечными. Поэтому в первой из сумм, находящихся в правой частивыражения, можно заменить индекс суммирования p на p − 1, а во второй − на p + 1. В правойчасти индекс суммирования остается без изменений. После такого преобразования уравнение(1.8) допускает наличие стационарного во времени решения при условии ω p = ω0 + pΩ . Сфеноменологической точки зрения, такое соотношение частот дифракционных порядковотражает доплеровские сдвиги частоты света при его дифракции на движущейся решетке.
Сучетом описанных преобразований, уравнение (1.8) преобразуется к виду:r rr r22ik(m⋅∇)C+∇Cexpi(k∑ p pppp r − ω pt) =() ()pr rr rr rqλ2()=ikCexp(−iηr)−Cexp(iηr)expi(k∑ p p −1p −1p +1pp r − ω pt ) .2πn p()В выражении (1.9) введено обозначениеrrrrη p = k p+1 − k p − K(1.9)(1.10)rдля векторов расстроек. Каждый из векторов η p характеризует степень отклонения отсинхронизма при переходе из p-го порядка в p + 1-й. В одномерном случае, при рассмотрениидифракции плоской световой волны на бесконечном ультразвуковом столбе, задача являетсяоднородной вдоль оси z (рис.
1.1б). Это условие приводит к тому, что амплитудавзаимодействующих волн должна быть функцией лишь одной координаты C p (x) . Решениеrдифракционной задачи имеет такой вид, если все векторы расстроек η p направленыперпендикулярно к границе ультразвукового столба [30, 34], то есть вдоль оси x. В отличие отодномерного рассмотрения, в двумерном случае задача не является однородной вдоль оси z.Такая неоднородность обусловлена как произвольной геометрической формой областивзаимодействия, так и пространственной структурой сечения падающего светового пучка.Поэтому принципиально важно отметить, что в двумерном случае, в отличие от одномерного,при выводе уравнения связанных мод не накладывается каких-либо дополнительных условий,rуказывающих направления векторов расстроек η p .Соотношение (1.9) должно оставаться справедливым в любой точке пространства и влюбой момент времени.
Данное условие может быть выполнено, если коэффициенты, стоящиеперед экспонентами с одинаковым аргументом в правой и левой его частях, тождественноравны между собой. В результате получаем следующее дифференциальное уравнениеотносительно медленно меняющихся амплитуд C p :r rr rr riq λ(m p ⋅ ∇ )C p −∇ 2C p =k p (C p−1 exp(−iη p−1r ) − C p+1 exp(iη p r ) ) ,2k p2 2πn(1.11)− 25 −которое должно выполняться для любого номера порядка p.
Таким образом, уравнения вида(1.11) для различных значений p образуют, строго говоря, бесконечную систему.Для дальнейшего упрощения уравнения следует пренебречь влиянием доплеровскогосдвига частоты на энергетические характеристики акустооптического взаимодействия изаменить в соотношении (1.11) значения k p на k0, где k0 = 2πn/λ. Это можно сделать приусловии pλΩ/2πc << 1, которое означает, что частота световой волны существенно превышаетчастоту ультразвуковой волны. Очевидно, что данное условие выполняется во всех известных внастоящее время случаях акустооптического взаимодействия. Кроме того, при выводеr rуравнения удобно ввести сложный дифференциальный оператор ∆ ⊥ p ≡ ∇ 2 − (m p ⋅ ∇) 2 . Тогдауравнение (1.11) примет вид:r rr rr rqiλ r r 2iλ(m p ⋅ ∇)C p −( m p ⋅ ∇) C p −∆ ⊥ p C p = (C p−1 exp(−iη p−1r ) − C p+1 exp(iη p r ) ) .4πn4πn2(1.12)Первый член левой части уравнения (1.12) является производной медленно меняющейсяамплитуды световой волны p-го порядка дифракции вдоль направления ее распространения.Следующий член в левой части содержит вторую производную этой амплитуды по тому жесамому направлению, умноженную на длину волны λ.
При использовании метода медленноменяющихся амплитуд утверждается, что вторым из перечисленных членов следует пренебречьпо сравнению с первым [86, 87]. Это возможно сделать в том случае, если изменениеамплитуды на пространственном масштабе, сравнимом с длиной волны, существенно меньшевеличины самой этой амплитуды, то естьr rλ ⋅ (m ⋅ ∇)C p << C p(1.13)rдля любого направления орта m и для любого порядка p. Данное условие, налагаемое на видфункции C p , и является критерием "медленного изменения" амплитуды, от которого ипроисходит название применяемого метода. В результате получается следующее уравнение,которое в терминах метода медленно меняющихся амплитуд называется укороченнымуравнением:r rr rr riλq(m p ⋅ ∇)C p −∆ ⊥ p C p = (C p −1 exp(−iη p −1r ) − C p +1 exp(iη p r ) ) .4πn2(1.14)Подобное укороченное уравнение также называют параболическим уравнением, так как оноприближенно заменяет реальную сферическую волновую поверхность на параболическуюrповерхность, соприкасающейся со сферой в точке, соответствующей волновому вектору k p [87].Такое приближение применимо в случае, если угловой спектр светового пучка являетсяrдостаточно узким и сосредоточен вблизи вектора k p .
Поэтому уравнения подобного вида не− 26 −могут использоваться для описания сильно расходящихся или сходящихся световых полей,например, создаваемых точечными источниками.Из соотношения (1.14) видно, что изменение амплитуды светового пучка при егораспространении происходит под влиянием двух факторов: дифракция пучка на собственнойапертуре (член, содержащий ∆ ⊥ p ) и дифракция света на ультразвуке (правая часть уравнения(1.14)). Кроме того, член, содержащий ∆ ⊥ p , отражающий кривизну волновой поверхности,описывает различные фазовые эффекты, сопровождающие распространение волн.При дальнейшем рассмотрении пренебрежем дифракцией световых пучков насобственной апертуре, что соответствует приближению геометрической оптики. Для этогоследует отбросить слагаемое в выражении (1.14), содержащее вторые производные. При этомсферическая волновая поверхность заменяется уже не параболической, а плоской поверхностью,касательной к сфере.
Такое приближение допустимо лишь для хорошо коллимированныхсветовых пучков (например, лазерных лучей), которые весьма часто применяются впрактической акустооптике. Применимость приближения геометрической оптики болееподробно обсуждается в п. 1.6. В результате получается окончательное выражение, называемоедалее двумерным уравнением связанных мод:r rr rr rq(m p ⋅ ∇)C p = (C p −1 exp(−iη p −1r ) − C p+1 exp(iη p r ) ) .2(1.15)Помимо бескоординатной формы (1.15), удобно также записать данное выражение в системекоординат (x,y,z), представленной на рис.
1.1:∂C p∂xcos θ p +∂C p∂zsin θ p =q(C p −1 exp(−iηr p −1rr) − C p +1 exp(iηr p rr)) ,2(1.16)где θ p − углы между волновым вектором p-го дифракционного порядка и осью x. При этом, вп.1.3 будет показано, что в оптически анизотропной среде, где направления волновых илучевых векторов не совпадают, эти углы относятся не к волновым, а к лучевым векторам, тоесть к направлениям распространения реальных световых пучков.1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
