Диссертация (1102446), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В настоящее время излитературы известно лишь несколько работ [102-113, 117-120, 132-135], в которых двумерныеуравнения связанных мод используются для решения отдельных частных задач акустооптики. Вотличие от перечисленных публикаций, в настоящей работе предпринята попытка построить− 19 −последовательное теоретическое описание дифракции света на ультразвуке, основанное надвумерных уравнениях связанных мод. При помощи разработанной теории оказалосьвозможным решить ряд задач акустооптики, рассмотрение которых с позиций одномернойтеории или принципиально невозможно, или приводит к значительным трудностям.1.2.
Упрощенный вывод двумерного уравнения связанных модКак было отмечено в п. 1.1, задача о дифракции света на ультразвуке сводится кнахождению напряженностей электромагнитного поля световой волны в среде с периодическимили близким к нему пространственным возмущением диэлектрической проницаемости. Длярешения этой задачи рассмотрим уравнения Максвелла [149], описывающие электромагнитноеполе в материальной среде:rr r∂B[∇ × E ] = − ,∂trr r∂D r[∇ × H ] =+ j,∂t(1.1)rrrrгде E и H − напряженности электрического и магнитного поля, соответственно, D и B −rиндукции этих полей, j − ток проводимости, t − переменная времени. Как известно, длястрогой постановки электродинамической задачи необходимо дополнить уравнения Максвелламатериальными уравнениями, описывающими электродинамические свойства рассматриваемойсреды.
В настоящей работе ограничимся рассмотрением немагнитной, непроводящей,негиротропной среды. При этом оказываются справедливыми следующие соотношения:rr rrrB = µ 0 H , j = 0 и D = ε 0εˆ E . Здесь ε0 и µ 0 − электрическая и магнитная постоянные вакуума, аεˆ − тензор диэлектрической проницаемости среды. Тогда из соотношений (1.1) можноизвестным способом [149] получить следующее волновое уравнение:rr r r1 ∂ 2 (εˆ E )− [∇ × [∇ × E ] = 2,c∂t 2(1.2)где c = 1 / ε 0 µ 0 − скорость света в вакууме.Необходимо отметить, что дифракция света на ультразвуке может наблюдаться вразнообразных средах.
Несмотря на то, что сделанные допущения об электродинамическихсвойствах среды справедливы для подавляющего большинства акустооптических материалов,целесообразно указать на область их применения. Наиболее общим является предположение онемагнитном характере среды. Как известно, в оптическом диапазоне электромагнитных волн, вкотором работает современная акустооптика, магнитные свойства среды не играют заметнойроли. Кроме того, эффект фотоупругости, которым и обусловлено явление дифракции света на− 20 −ультразвуке, проявляется в изменении диэлектрических, а не магнитных свойств среды.Предположениеодиэлектрическоместественным,посколькухарактерепроводящиесредысредытакжеобладаютпредставляетсясвойствомвесьмапоглощенияэлектромагнитных волн [106, 107, 149].
Следует отметить, что распространение ультразвука вполупроводниках, обладающих пьезоэлектрическим эффектом, сопровождается волнамиэлектронной плотности, которые также могут взаимодействовать с электромагнитнымизлучением, в частности, в субмиллиметровом диапазоне [146-148, 150-153]. Данный механизмдифракции электромагнитных волн на ультразвуке, не связанный с фотоупругостью,специфичен для указанных сред, и его описание не относится к задачам настоящегоисследования. Наконец, предположение о негиротропном характере среды приводит копределенному, хотя и незначительному, ограничению общности получаемых результатов.Некоторые из материалов, применяемых в акустооптике, обладают свойством гиротропии.Дифракциясветанаультразвукевгиротропныхсредахобладаетрядомособенностей [71-73, 128-141].
Тем не менее, наибольший интерес для настоящегоисследования представляют анизотропные свойства среды, не связанные с гиротропией.Дифракция света на ультразвуке рассматривается в настоящей работе как двумерныйпроцесс, при котором задача является однородной вдоль одного из пространственныхнаправлений. Волновые пучки при этом считаются щелевыми, то есть неограниченными вданном направлении. Все физические величины, описывающие процесс взаимодействия,являются функциями не более чем двух пространственных координат.
Дальнейшеерассмотрение проводится в допущении, что как волновые векторы, так и векторы потокаэнергии всех взаимодействующих волн лежат в одной плоскости, перпендикулярнойнаправлениюоднородностизадачи.Указаннаяплоскостьназываетсяплоскостьюакустооптического взаимодействия. Область применения такого допущения указана в п. 1.3.Уравнение (1.2) справедливо как для оптически изотропной, так и анизотропной среды.Вначале рассмотрим наиболее простой случай оптически изотропной среды, в которойдиэлектрическая проницаемость ε является скалярной величиной. Тензор εˆ при этом имеет видεˆ = εδˆ , где δˆ − единичный тензор (символ Кронекера).
Система координат выбрана так, чтобыось z была направлена вдоль вектора потока энергии ультразвуковой волны, а ось y −перпендикулярно плоскости взаимодействия (см. рис. 1.1). При описанном выборе системыкоординат оказывается, что диэлектрическая проницаемость зависит лишь от двух координат,то есть ε = ε ( x, z ) . Начало координат при этом удобно выбрать на оси падающего световогопучка в точке его входа в область взаимодействия.
Следует отметить, что геометрическаяформа этой области может быть произвольной (см. рис. 1.1а). При дальнейшем рассмотрениизначительное внимание уделяется практически важному частному случаю формы области− 21 −zzp=2p=2p =1p =1p=0p=0p=3p=3θpθpp = −1p = −1p = −2p = −2rKψ0Γа)l0xrKxψб)Рис. 1.1. Общая схема дифракции света на ультразвуке в произвольной двумерной области (а) ина бесконечном ультразвуковом столбе (б).Жирные стрелки − лучевые векторы взаимодействующих световых пучков. Пунктирныелинии − волновые поверхности ультразвуковой волны. Тонкая одиночная и двойная стрелки −волновой вектор и вектор потока энергии ультразвука, соответственно.− 22 −взаимодействия, представляющей собой бесконечный ультразвуковой столб (см.
рис. 1.1б).Именно в такой области обычно решают одномерное уравнение связанных мод. Тем самым,рассмотрение двумерной задачи в области такой же формы позволяет установить важныеотличия двумерного описания дифракции света на ультразвуке от одномерного.Для упрощения задачи будем считать, что поляризация всех взаимодействующихr rrсветовых волн одинакова и направлена вдоль оси y, то есть E = e y E , где e y − орт оси y.
Такоедопущение позволяет пренебречь поляризационными эффектами, имеющими место придифракции. Следует подчеркнуть, что направление поляризации света при его дифракции наультразвуке может изменяться даже в том случае, если среда взаимодействия являетсяоптически изотропной [84, 91, 154, 155]. Для описания подобных режимов взаимодействиянеобходимо проводить более общее рассмотрение, учитывающее поляризацию каждогодифракционного порядка и представленное в п. 1.3.С учетом сделанных допущений волновое уравнение (1.2) можно преобразовать к виду:∇2E =Пространственнаязависимость1 ∂ 2 (ε E ).c 2 ∂t 2диэлектрической(1.3)проницаемостисреды,возмущеннойультразвуковой волной за счет фотоупругого эффекта, определяется выражением:rrε = n 2 + 2n∆n sin( Kr − Ωt ) ,(1.4)где n − показатель преломления невозмущенной среды, ∆n − амплитуда его возмущения,rrK и Ω − волновой вектор и циклическая частота ультразвуковой волны, r = {x, y, z} − радиус-вектор. Для дальнейшего рассмотрения удобно представить зависимость (1.4) в виде:ε = n2 +qλ nπrrsin( Kr − Ωt ) ,(1.5)где q = 2π∆n/λ − коэффициент акустооптической связи, λ − длина волны падающего света ввакууме.
Выражение (1.5) имеет феноменологический характер, то есть в нем неконкретизируется зависимость коэффициента связи q от компонент тензора фотоупругостисреды и параметров ультразвуковой волны. Такая зависимость установлена в п. 1.3 для болееобщего случая среды с произвольной оптической и акустической анизотропией.Для решения уравнения (1.3) используем метод медленно меняющихся амплитуд. Всоответствии с этим методом, выражение для напряженности электромагнитного полясветового пучка каждого из дифракционных порядков следует записать в виде произведениямедленноменяющейсявпространствекомплекснойамплитудыC p ( x, z )ибыстроосциллирующего гармонического сомножителя:r rE p = Eнорм C p ( x, z ) exp i (k p r − ω p t ) ,()(1.6)− 23 −rгде Eнорм − нормировочная постоянная величина, k p и ωp − волновой вектор и циклическаячастота электромагнитной волны, p − номер порядка дифракции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
