Аналитические методы в нелинейной теории пучково-плазменных неустойчивостей (1098015), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Метод разложения импульсов, заключающийся в представлении импульсовчастиц в виде суммы двух функций, одна из которых описывает изменениесредней скорости частиц, а другая характеризует колебательное движение итакже при рассматриваемых процессах считается малой - возмущение импульсачастицы.При разложение уравнений поля и уравнений движения по степеням возмущений траекторий и импульсов частиц данные уравнения существенно упрощаются и во многих случаях допускают аналитические решения.4. Математические модели низкочастотной и высокочастотной неустойчиворстей плотного прямолинейного релятивистского электронного пучка, развивающихся в условиях коллективного вынужденного эффекта Черенкова в плазменном волноводе.
Уравнения, описывающие данные модели, отличаютсябольшой общностью и универсальностью.5. Результаты исследования с помощью описанных выше методов и моделей,нелинейной динамики следующих процессов:А) коллективного черенковского взаимодействия плотного нерелятивистскогоэлектронного пучка с плотной нелинейной плазмой в случае резонансного инерезонансного взаимодействия гармоник пучковых и плазменных волн;Б) трехволновых и четырёхволновых резонансных взаимодействий двух электромагнитных волн с одной и двумя пучковыми волнами плотности заряда;В) резонансной бунемановской неустойчивости в условиях слабой связи электронных и ионных ленгмюровских полей;Г) с использованием соответствующих численных методов нелинейной динамики резонансной бунемановской неустойчивости в существенно не одномер-6ной электрон-ионной плазме с учётом электромагнитных полей, создаваемыхизменяющейся постоянной составляющей электронного тока в нерелятивистском и релятивистском случаях;Д) высокочастотной и низкочастотной неустойчивостей релятивистского электронного пучка, развивающихся в режиме коллективного эффекта Черенкова влинейной плазме;Е) рассеяния линейно поляризованных волн на незамагниченном пучке электронов.6.
Нестационарные парциальные граничные условия излучения для полной нестационарной системы уравнений электромагнитного поля в цилиндрическомрезонаторе с коаксиальной системой вывода излучения. Показана применимость этих условий для наиболее полной и строгой постановки актуальных задач, возникающих в нелинейной электродинамике плазмы.Апробация работы.Основные результаты диссертации опубликованы в 24 работах, в числекоторых 3 обзора (включая статью в “Энциклопедии низкотемпературнойплазмы”) и 21 статья в центральных научных журналах.Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались: нанаучных семинарах кафедры электроники физического факультета МГУ, на семинарах по плазменной электронике лаборатории физики плазмы в Институтеобщей физики АН СССР, на IY Всесоюзной конференции по физике газовогоразряда в г. Махачкала в 1988г., на III Всесоюзном семинаре по плазменнойэлектронике в г.Харьков в 1988г.Основные аналитические методы и ряд результатов, полученных в работе, использованы в учебном пособии, допущенном МО РФ для студентов Вузов, обучающихся по специальностям “Физика” и “Радиоэлектроника и электроника” (В частности, в МГУ им.
М.В. Ломоносова и МГТУ им. Н.Э. Баумана.)СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫДиссертационная работа содержит 288 страниц машинописного текста,74 рисунка, 3 таблицы и состоит из введения, восьми глав, двух приложений изаключения. Список литературы включает 111 наименований.Во Введении обосновывается актуальность работы, формируется её цель,перечисляются те результаты диссертации, которые являются новыми и приводятся основные положения, выносимые на защиту.В Главе 1 подробно излагается метод решения кинетического уравненияВласова основанный на представлении одночастичной функции распределенияв виде интеграла по начальным данным фазовых (координата – импульс) траекторий частиц.7В §1.1 формулируются основные положения метода решения задач электродинамики плазмы, основанного на кинетическом уравнении Власова.
Данное уравнение является линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка. В связи с этим в §1.2 кратко излагается традиционный, принятый в математике метод решения таких уравнений с помощью первых интегралов, и показывается, с какими трудностями приходится сталкиваться при его практической реализации. С целью преодоления указанных трудностей в §1.3 предлагается более удобный для практического применения в расчётных задачах метод интегрирования по начальным данным.
Строго обосновываются все его теоретические положения.В §1.4 рассматривается методика применения метода интегрирования поначальным данным при решении начальной задачи Коши для уравнения Власова∂fα r ∂fα r r r ∂fα+ v r + F (t , r , v ) r = 0 ,∂t∂r∂pr rr rfα (0, r , p ) = fα 0 (r , p ) ,(1)определяются границы его применимости и приводятся конкретные примеры.Суть данного метода заключается в представлении функции распределения в виде следующего интеграла по начальным данным частицыr rr rr rr r r rr r r rfα (t , r , p ) = ∫∫ dr0 dp0 fα 0 (r0 , p0 )δ (r − R (t , r0 , p0 ))δ ( p − P (t , r0 , p0 )) ,(2)rrгде R (t , rr0 , pr 0 ) и P (t , rr0 , pr 0 ) − решения характеристической системы уравнения (1)rdr r= v,dtrdp r=Fdt(3)при начальных условиях rr t = 0 = rr0 , pr t = 0 = pr 0 , δ (z ) − дельта-функция.В работе показывается, что функция (2) является решением начальной задачи Коши для уравнения Власова при выполнении единственного условия: отсутствия в системе диссипативных сил.
Кроме того, интеграл (2) обладает всеми свойствами одночастичной функции распределения. Он удовлетворяетуравнению Власова, что подтверждается непосредственной проверкой, сохраняет норму решения и фазовый объём, то есть, при представлении функциираспределения в форме такого интеграла остаётся справедливой теоремаЛиувилля.В случае граничной задачи (задача инжекции), которой посвящены §1.5 и§1.6, метод интегрирования по начальным данным может быть применён лишьприблизительно для частиц, у которых скорость в направлении инжекции (осьz ) достаточно велика и изменяется незначительно. Это обусловлено тем, чтохарактеристическая система уравнения Власова, в данном случае имеет особуюточку vz = 0 , и в тех точках оси z , в которых выполняется данное условие, происходит поворот частиц, их отражение в сторону места инжекции.
В свою очередь это приводит к неоднозначной зависимости решений характеристическихуравнений от переменной z , и как следствие, к не сохранению фазового объёма.8И только если все частицы пучка при z = 0 имеют большую среднюю направленную скорость, параллельную оси z , отклонения от которой, при распространении пучка достаточно малы, граничная задача формально может бытьсведена к начальной, и для функции распределения применимо представление ввиде интеграла, аналогичное (2).Для демонстрации основных положений, изложенной в Главе 1 теории, в§1.7 рассмотрены примеры решения начальной и граничной задач для уравнения Власова для простых плазм, функция распределения которых легко вычисляется как традиционным методом, так и методом интегрирования по начальным данным.Вторая глава диссертации посвящена описанию нелинейной динамикирезонансного взаимодействия нерелятивистского электронного пучка с плазмой.Исходной при этом являлась следующая достаточно общая модель пучково – плазменной системы.
В цилиндрическом металлическом волноводе с произвольным односвязным поперечным сечением находятся бесконечно тонкие впоперечном сечении (“игольчатые”) нерелятивистский электронный пучок иплазма. Волновод помещен в продольное сильное внешнее магнитное поле,препятствующее поперечным движениям электронов пучка и плазмы (движение тяжелых ионов вообще не учитывается). И пучок и плазма в начальном состоянии являются моноскоростными.
С помощью метода интегрирования поначальным данным в § 2.1 была получена следующая система интегродифференциальных уравнений:d 2 ypdt2[()][()]11= − i ∑ g pn ρ pn + ω~b2 qn ρ bn exp(iny p ) − к.с. ,2 n nd 2 yb11= − i ∑ ω~ p2 qn ρ pn + g bn ρ bn exp(inyb ) − к.с.2dt2 n nραn =1π(4)2π∫ exp(− inyα )dy ,0yα = k z zα .0Здесь y p ,b - безразмерные координаты электронов пучка и плазмы, ρ p,bn - амплитуды гармоник возмущения плотности заряда плазмы и пучка.Величины gαn и qn существенно определяют свойства системы. А именно,gαn [ рад с ] являются, частотами собственных колебаний в пучке и в плазме надлине волны λn = 2πn L , зависят от поперечной геометрии системы. (Предполагается, что начальное возмущение в рассматриваемой системе имеет характерный продольный размер (период) L .) Величины qn описывают степень взаимодействия собственных колебаний пучка и плазмы, ω~α2 = Sαωα2 [см2 ⋅ рад2 ⋅ с−2 ] - величины, пропорциональные погонным плотностям электронов пучка и плазмы(α = p, b) .9В § 2.2 проведена процедура линеаризации уравнений (4), определеныосновные режимы развития неустойчивости и вычислены соответствующие инкременты.Наиболее подробно рассмотрены следующие два режима резонансногопучково - плазменного взаимодействия: одночастичный вынужденный эффектЧеренкова и коллективный вынужденный эффект Черенкова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
