Аналитические методы в нелинейной теории пучково-плазменных неустойчивостей (1098015), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В работе проводится линеаризация полученной системы, вычисляются инкремент неустойчивости и порог еёразвития.В результате анализа результатов численного моделирования можно заключить, что с увеличением релятивизма пучка пропадает резонансная зависимость инкремента неустойчивости от волнового числа k z , одночастичная резонансная черенковская неустойчивость становится всё более широкополосной,вследствие чего происходит интенсивная генерация высших (относительно резонансной), гармоник плотности плазменной волны.В Приложении 2 описывается метод постановки граничных условий внестационарных задачах релятивистской электродинамики сильноточных пучков.Проблема, связанная с правильной постановкой граничных условий заключается в том, что известные граничные условия излучения в виде условийЗоммерфельда, принципа предельного поглощения и принципа предельной амплитуды разрабатывались для решения стационарного уравнения Гельмгольца,описывающего установившийся колебательный процесс.
Поэтому возможностьнепосредственного применения этих условий в нестационарных задачах электродинамики плазмы сильно ограничена, а полученные при этом результатыотносятся, вообще говоря, лишь к случаю установившихся колебаний.Обобщение на нестационарный случай указанных принципов излученияможет проводиться различным образом. Так, в ряде работ для моделирования21СВЧ - генератора в качестве граничных условий был предложен нестационарный аналог парциальных условий излучения. Обобщение этого варианта граничных условий на системы с плазменным заполнением с более общей, в томчисле, коаксиальной системой вывода излучения и рассматривается в диссертационной работе.В Приложении 2 подробно описывается вывод нестационарных парциальных условий излучения.
Основная идея этого метода постановки граничныхусловий заключается в следующем. В рупоре (излучающем устройстве, сопряжённом с плазменным волноводом) уравнения Максвелла могут быть решеныточно (аналитически). Так, для коаксиального волновода компоненты поляможно представить в виде:∞E z (t , r , z ) = ∑ Ez(n ) (t , z )Ψ0 (χ n r ),n =1Er (t , r , z ) =∞1 (0 )Er (t , z ) + ∑ Er(n ) (t , z )Ψ1 (χ n r ),rn =1(23)∞1Bϕ (t , r , z ) = Bϕ(0 ) (t , z ) + ∑ Bϕ(n ) (t , z )Ψ1 (χ n r )rn =1Здесь Ψ0 и Ψ1 - собственные функции поперечного сечения коаксиального вол-новода, χ n - корни следующего уравнения:J 0 (χR1 )N 0 (χR ) − J 0 (χR )N 0 (χR1 ) = 0,(24)где R1 и R - соответственно, внутренний и внешний радиусы коаксиала, а J n иN n - функции Бесселя и Неймана порядка n : (n = 0,1) .В выражениях (23) члены, пропорциональные Er(0 ) и Bϕ(0 ) отвечают за кабельную (ТЕМ) волну.
Как известно в этой волне Ez = 0 Подставляя (23) в уравнения Максвелла, решая их с помощью преобразования Лапласа, отбирая изполученных решений, решение, удовлетворяющее условиям излучения, можнополучить следующие соотношения:tBϕ (t , z ) = −c ∫ J 0 (cχ n (t − τ ))(n )0∂Bϕ(n ) (τ , z )∂zdτ ,(25)(где n = 1,2,... ) и отдельное соотношение для n = 0tBϕ (t , z ) = −c ∫(0 )0∂Bϕ(0 ) (τ , z )∂zdτ(26)справедливые в любой области волновода вне плазмы. Данные соотношениямогут рассматриваться как нестационарные парциальные граничные условияизлучения, записанные в произвольной точке излучающего устройства.В качестве иллюстрации использования нестационарных парциальныхусловий излучения из них в работе были получены обычные парциальные условия излучения, а также вычислен коэффициент отражения волны от резкой22границы плазма – вакуум.
В обоих случаях полученные выражения совпали сизвестными результатами.Далее в диссертации рассматривается пример практического применениянестационарных парциальных условий излучения для расчёта возбужденияэлектромагнитных колебаний открытого вакуумного и плазменного резонатора.Из проведённого анализа результатов расчётов можно сделать вывод отом, что использование при численном моделировании парциальных граничных условий излучения, верно отражает динамику рассматриваемых электродинамических процессов и является перспективным для изучения переходныхпроцессов в электродинамических системах с плазменным и иным заполнением, независимо от природы причины, приводящей к возникновению колебаний.В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы.ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ1.Разработан и строго обоснован метод решения кинетического уравненияВласова с начальными и граничными условиями, основанный на представлениифункции распределения в виде интеграла по начальным данным фазовых траекторий частиц.
В начальной задаче Коши для уравнения Власова единственным условием применимости метода является отсутствие диссипативных сил. Вслучае граничной задачи (задачи инжекции) рассматриваемый метод применимприближенно для частиц, у которых скорость в направлении инжекции великаи изменяется незначительно.2.Разработаны и математически обоснованы методы разложения уравненийполя и уравнений движения по степеням возмущений траекторий и импульсовчастиц, позволяющие аналитически описывать нелинейную динамику пучковоплазменных неустойчивостей и других процессов, развивающихся в коллективных режимах. С помощью метода разложения траекторий аналитически исследована нелинейная динамика коллективного черенковского взаимодействияплотного нерелятивистского электронного пучка с плотной нелинейной плазмой, рассмотрено резонансное и нерезонансное взаимодействие гармоник пучковых и плазменных волн.3.Методом разложения траекторий электронов пучка для трёхволновыхпучковых неустойчивостей в плазменном волноводе установлены новые кубичные нелинейности, существенно уточняющие структуру нелинейного потенциала; проанализировано влияние новых нелинейностей на стабилизацию неустойчивостей.
Установлено, что в случае резонансного четырёхволнового взаимодействия до момента насыщения амплитуд плазменных и электромагнитныхволн волновода происходит многократный обмен энергией между ленгмюровскими волнами пучка.4.Исследована нелинейная динамика бунемановской неустойчивости в существенно неодномерной электрон-ионной плазме с учётом генерируемого вплазме постоянного электрического поля. Установлены условия, при которых23наблюдается обычный для бунемановской неустойчивости срыв электронноготока в плазме, а также условия, когда срыв тока отсутствует. Релятивизм электронов качественного изменения в картину развития бунемановской неустойчивости не вносит. Аналитически, с помощью метода разложения траекторий,проанализирован случай слабой связи, когда ионный и электронный пучки разведены в пространстве.
Получено соответствующее аналитическое решение.5.Методом интегрирования по начальным данным получены общие уравнения, описывающие нелинейную динамику пучково-плазменного взаимодействия в релятивистском непотенциальном случае. В результате линеаризацииэтих уравнений получено дисперсионное уравнение, анализ которого позволилопределить новые режимы развития неустойчивостей плотного релятивистского трубчатого электронного пучка в волноводе с трубчатой плазмой, провестиклассификацию данных режимов, определить необходимые для их развития резонансные условия и в предельных случаях вычислить соответствующие инкременты.6.Методами разложения траекторий и импульсов электронов разработанааналитическая нелинейная теория резонансной неустойчивости плотного прямолинейного релятивистского электронного пучка, развивающейся в условияхколлективного вынужденного эффекта Черенкова в волноводе с линейнойплазмой.
Рассмотрены два случая: плазмы большой плотности, когда неустойчивость развивается в высокочастотной области, а возбуждаемая в плазме волна оказывается потенциальной; и плазмы меньшей плотности, когда неустойчивость имеет место в низкочастотной области, а возбуждаемые плазменные волны сильно непотенциальны.
Получены аналитические решения, сравнение которых с результатами численного решения общих нелинейных уравнений показало их хорошее согласие в широком диапазоне параметров. Аналитически исследована также нелинейная динамика высокочастотной неустойчивости релятивистского электронного пучка в плотной нелинейной плазме.7.Разработана нелинейная теория рассеяния линейно поляризованных электромагнитных волн на незамагниченном релятивистском пучке электронов.Получены общие нелинейные уравнения, описывающие процесс рассеяния сточностью до четвёртого порядка по параметру v⊥ c ( v⊥ - поперечная по отношению к направлению распространения пучка скорость электронов).
Проведенаклассификация различных режимов процессов рассеяния, определены их инкременты и механизмы нелинейной стабилизации. С помощью методов разложения траекторий и импульсов электронов пучка для случая, когда рассеяниепроисходит в коллективном режиме, вычислены амплитуды насыщения волн,время нелинейной стабилизации, а также максимальная эффективность рассеяния. Отдельно рассмотрен процесс вынужденного рассеяния в режиме энергетической группировки. Показано, что в данном случае процесс рассеяния четвёртого порядка по параметру v⊥ c реализуется с большей эффективностью посравнению с процессами второго порядка.248.Сформулированы точные граничные условия для полной нестационарнойсистемы уравнений электромагнитного поля в цилиндрическом плазменном резонаторе с коаксиальной системой вывода излучения.
Показана применимостьэтих условий для наиболее полной и строгой постановки актуальных задач,возникающих в нелинейной электродинамике плазмы и плазменной СВЧэлектронике.9.Методами численного моделирования установлено, что при сильномвзаимодействии ультрарелятивистского электронного пучка с плазмой вблизипорога, когда возбуждаемая в плазме волна является сильно непотенциальнойпроисходит интенсивная генерация высших (относительно резонансной), гармоник плотности плазменной волны. При этом с увеличением релятивизмапучка одночастичная резонансная Черенковская неустойчивость становится всеболее широкополосной.Цитируемая литература1*.
Ахиезер А. И., Файнберг Я. Б. О взаимодействии пучка заряженных частиц сэлектронной плазмой. // ДАН СССР, 1949, Т.69, №3,. С.555-561.2*. Bohm D., Gross E. Theory of Plasma Oscillations, Excitation and Damping ofOscillations. // Phys. Rev, 1949, V.75, №11, P.1864-1869.3*. Файнберг Я.Б., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. К нелинейной теории взаимодействия с плазмой "монохроматического" пучка релятивистских электронов. //ЖЭТФ, 1969, Т.57, № 3, С.966-977.4*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
