Аналитические методы в нелинейной теории пучково-плазменных неустойчивостей (1098015), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Благодаря наличию всистеме малого параметра q′ , иррациональные нелинейности могут быть разложены до кубических.В результате проведения данной процедуры, (с учётом в суммах в (16) и в(6) по одному слагаемому), вместо (15) получаем систему уравнений, содержащую лишь кубичные нелинейности. В § 6.2 данная система была решена аналитически, получены выражения для амплитуд волн, а также вычислено время насыщения неустойчивости. Для примера приведём выражения для максимальных безразмерных амплитуд плазменной и пучковой волнε2max722 q′,=33 21+ μ + μ285ρ2max2 2 q′=331+ μ + μ 228(17)Проведённое § 6.3 сравнение аналитических решений с компьютерными решениями точных нелинейных уравнений (15), показало их хорошее согласие вслучае релятивистских и ультрарелятивистских пучков.Второй предельный случай, когда возможно упрощение операторов S€nm они превращаются в обычные дифференциальные операторы - имеет место привыполнении, хотя бы для нескольких n, неравенств n 2 k z2 − ω) 2 c 2 ~ n 2 k z2γ −2 << k ⊥21 ,(означающих, что неустойчивость имеет место в длинноволновой области иразвивается на низкой частоте), рассмотрен в § 6.4 - § 6.6.
Уравнения (11) дляданного случая могут быть записаны в виде172πη1dεq ⎛d ⎞− i 0 ε = − ⎜1 − iμ ⎟ ρb , ρb = ∫ exp(− iy )dy0 ,βpβp ⎝π 0dτdτ ⎠1 ⎞dy 1 ⎛.= ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟dτ μ ⎝p ⎠⎞ ⎛⎞⎤d ⎞d ⎞dp μ ⎡ ⎛⎛⎛= ⎢− i⎜⎜ exp(iy )⎜1 − iμ⎟ ρ b − k .c.⎟⎟ + q⎜⎜ exp(iy )⎜1 − iμ⎟ε + k .c.⎟⎟⎥,dτ 4 ⎣ ⎝dτ ⎠dτ ⎠⎝⎝⎠ ⎝⎠⎦(18)где безразмерные переменные и параметры аналогичны соответствующим величинам, ведённым в (15), β p = 1 +2u 2 ωp( k⊥2 p определено в (14)). Видно, что222c k ⊥ puправые части уравнений (18) содержат производные по времени от амплитудпучковой и плазменной волн, что является отражением их непотенциальности.В § 6.4 была проведена линеаризация системы (18), вычислен инкрементнеустойчивости, и определены условия её реализации, а также получены первые интегралы этой системы.В § 6.5 использование методов разложения траекторий и импульсов электронов позволило преобразовать общие уравнения (18) к релятивистским уравнениям с кубическими нелинейностями, описывающими эффекты нелинейногосдвига частот пучковой и плазменной волн.
Получены аналитические решенияданных уравнений, сравнение которых с известными ранее результатами показало, что влияние непотенциальности плазменной волны на нелинейную динамику рассматриваемой неустойчивости весьма значительное. Для примера приведём выражения для максимальных амплитуд плазменной и пучковой волн:32 q32 q22,.(19)ε max =ρ max =233μ β p μβ p3μμβ pСравнение аналитических решений с численными решениями общих нелинейных уравнений (19), проведённое в § 6.6, показало их хорошее согласие в достаточно широком диапазоне значений параметров рассматриваемой задачи.В Главе 7 исследуется, какое влияние оказывает нелинейность плазмы надинамику высокочастотной неустойчивости.
При этом помимо обобщения результатов Главы 6 на случай нелинейной плазмы, проводится обобщение на релятивистский случай теории, пучково-плазменного взаимодействия, изложенной в Главе 2.В § 7.1, исходя из системы уравнений (11), в которой, учитывая, что длярешения задачи с точностью до кубичной нелинейности в суммах по n достаточнооставитьтолькодваслагаемых,(впредположении)2 2222 2 −22n k z − ω c ~ n k z γ >> k ⊥ m ) выводится следующая система уравнений:18d 2 ypdτ 2⎧⎪ 1 ⎡ g pn⎫⎪⎤ω~b2 q nρ pn +ρ n exp(− inξτ )⎥ exp(iny p ) − к.с.⎬,= − i∑ ⎨ ⎢2 n =1 ⎪⎩ n ⎣⎢ g b1g b1⎪⎭⎦⎥γ32dy1 ⎛1 ⎞⎜⎜1 − 2 ⎟⎟,=dτ μ 0 ⎝p ⎠(20)⎧⎪ 1 ⎡ g⎫⎪⎤ω~ p2 q ndpiρ pn exp(inξτ )⎥ exp(iny ) − к.с.⎬,= − μ 0 ∑ ⎨ ⎢ bn ρ n +dτg b14 n =1 ⎪⎩ n ⎢⎣ g b1⎪⎭⎥⎦2ρn =12π∫ exp(− iny )dyπ00где безразмерные переменные и параметры по смыслу аналогичны соответствующим величинам, определённым в (15), однако записаны в несколько обобщённой форме - в них введены геометрические факторы, позволяющие учестьвозможную дисперсию плазменной и пучковой волн: τ = gb1γ −3 t , p = (1 − μ0η )-1 2 ,μ0 = 2u2 2γc2gb1γ −3k zu.Следуя методам разложения траекторий и импульсов, в § 7.2 из (20) былавыведена система уравнений для амплитуд гармоник плазменной и пучковойволн, содержащая все нелинейности до третьей степени включительно.В § 7.3 получены аналитические решения рассматриваемой задачи, вычислены амплитуды насыщения волн, а также время развития неустойчивости.Так, например, максимальные безразмерные амплитуды первых гармоник пучковых и плазменных волн определяются формулами:32ab1 max =4q ω~ 2γ 41pα~bω~ p2 + α~ pω~b2γ 39ω~ 2ω~ 2pbgb1 (g g)1p1 b1 2, a p12max4q1ω~b2γ 4=α~ ω~ 2 + α~ ω~ 2γ 3bppbω~ p2ω~b2g p1 (g g)1p1 b1 2,(21)где коэффициенты нелинейной стабилизацииα~b = 1 −3 gb 2 − gb1 9gb1− μ0,2 gb 2 − 4 g b1 4 g b 2 − 4 gb1α~p = 1 −3 g p 2 − g p1.2 g p 2 − 4 g p1(22)совпадают при γ = 1 с величинами (8), определёнными в нерелятивистской теории.
Дополнительный же член в α~b , пропорциональный μ 0 , описывает обусловленную релятивистскими эффектами нелинейную зависимость частоты пучковой волны от ее амплитуды. В плазме, поскольку она нерелятивистская, аналогичный член отсутствует.В § 7.3 проведено сравнение аналитических результатов с результатамичисленного моделирования общих нелинейных уравнений (20).
Показано, что вопределённом диапазоне значений параметров имеется достаточно хорошее ихсогласие.19В Главе 8 рассматривается релятивистская теория рассеяния линейнополяризованных электромагнитных волн на незамагниченном пучке электронов.В § 8.1 излагается вывод нерелятивистских нелинейных уравнений, описывающих изучаемые процессы рассеяния. Подробно обсуждается процедураусреднения исходных уравнений движения электронов пучка и уравнений поля,приводящая к появлению в правых частях полученных уравнений пучковых нелинейностей разной природы, характеризующих процессы рассеяния, как второго, так и четвёртого порядков по параметру v⊥ c ( v⊥ - поперечная по отношению к направлению распространения пучка скорость электронов). При этомслагаемые, описывающие процессы четвёртого порядка по параметру v⊥ c возникают в результате разложения фаз падающей и рассеянной волн по быстрымосцилляциям координат электронов и последующего усреднения. (При усреднении предполагается, что движение электрона в полях падающей и рассеяннойволн является быстрым, а в поле комбинационной волны – медленным.) Еслиже в полученных уравнениях отбросить члены, появляющиеся в результате усреднения по быстрым осцилляциям, то будем иметь систему, описывающуюобычные трёхволновые взаимодействия.
В этом случае процессы рассеяния будут иметь второй порядок по параметру v⊥ c .Далее в работе в § 8.2 выводятся нелинейные уравнения релятивистскойтеории. При этом чтобы избежать трудностей, связанных с процедурой усреднения уравнений, содержащих релятивистский γ - фактор, полный релятивистский фактор электрона считался независимой переменной, для которой записывалось соответствующее уравнение и затем по обычным правилам проводилосьего усреднение. Для полученной системы уравнений были вычислены первыеинтегралы – законы сохранения потоков энергии и импульса взаимодействующих с пучком электромагнитных волн.
Здесь же рассматривается конкретнаямодель: рассеяние линейно поляризованных волн на незамагниченном пучкеэлектронов в замедляющей системе с диэлектрическим заполнением. Для данной модели, считая, что падающая и рассеянная волны имеют линейный закондисперсии, общие уравнения удаётся существенно упростить. Оценивая различные члены в этих уравнениях можно показать, что в случае сильно релятивистских пучков возможны ситуации, когда процессы рассеяния более высокого порядка, чем второй будут иметь существенно больший инкремент.В § 8.3 проводится линейный анализ рассматриваемой задачи и даётсяклассификация различных режимов процессов рассеяния, для ряда предельныхслучаев вычисляются инкременты неустойчивости.В § 8.4 в соответствии с приведенной в § 8.3 классификацией, обсуждаются механизмы нелинейной стабилизации этих процессов.Нужно отметить, что помимо обычных режимов развития неустойчивости, когда имеет место одночасточное (томсоновское) или коллективное (рамановское) рассеяние, возможен, как показано в работе, ещё один режим, когда20процесс вынужденного рассеяния обусловлен эффектом энергетической группировки.
При этом неустойчивость стабилизируется вследствие полной модуляции пучка по импульсу.В § 8.5 с помощью методов разложения траекторий и импульсов электронов пучка для случая, когда рассеяние происходит в коллективном режиме, висходных уравнениях было проведено разложение до кубичных нелинейностейвключительно, и получены соответствующие аналитические решения. Определены амплитуды насыщения волн, время нелинейной стабилизации процессарассеяния, а также максимальная эффективность рассеяния.В § 8.6 исследуется процесс вынужденного рассеяния линейно поляризованных волн на сильно релятивистском электронном пучке в режиме энергетической группировки. Получены выражения для эффективностей при рассеяниив рассматриваемом режиме. Из их анализа следует, что в данном случае процесс рассеяния четвёртого порядка по параметру v⊥ c реализуется с большейэффективностью по сравнению с процессом второго порядка.В Приложении 1 проводится численное моделирование нелинейной динамики одночастичной резонансной черенковской неустойчивости ультрарелятивистского электронного пучка в плазме вблизи порога, когда возбуждаемая вплазме волна оказывается сильно непотенциальной.Исходной является система уравнений (18), в которой учитываются кратные гармоники плазменной и пучковой волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
