Аналитические методы в нелинейной теории пучково-плазменных неустойчивостей (1098015), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Вработе определён порог развития неустойчивости Бунемана.Для случая сильного взаимодействия в § 4.3 нелинейная система уравне-13ний (8) интегрировалась на ЭВМ. Результаты расчётов показывают, что следствием развития неустойчивости является полный срыв электронного тока.Для описания слабого взаимодействия в § 4.4 применялся метод разложения траекторий электронов и ионов. При этом были получены соответствующие аналитические решения, показывающие, что в данном случае искажениеэлектронного тока будет весьма незначительным.Далее в четвёртой главе - в § 4.5 качественно учитывается постоянная, независящая от продольной координаты z, составляющая электрического поля.Она способна препятствовать изменениям тока. При этом проявляются непотенциальные эффекты, для описания которых используется уравнение для продольной компоненты векторного потенциала - ответственной за постояннуюсоставляющую электрического поля.
Отметим, что составляющие поля, зависящие от z, остаются потенциальными. Рассматривается только режим сильноговзаимодействия, когда изменение тока может быть весьма велико. Из полученной системы уравнений вытекают в качестве противоположных пределов дваизвестных результата, предсказывающих либо срыв электронного тока, либоотсутствие такого срыва. Анализ численных решений этой системы позволяетсделать следующий общий вывод для нерелятивистских пучков: в случае небольшой надпороговости наблюдается срыв электронного тока, при оченьбольшой надпороговости срыва тока нет.Последние два параграфа данной главы посвящены изложению некоторых вопросов релятивистской теории неустойчивости Бунемана.А именно в § 4.6 получено общее непотенциальное дисперсионное уравнение линейной теории бунемановской неустойчивости.
Исходя из данногоуравнения, был определён критерий применимости потенциального приближения (применительно к зависящим от z составляющим поля) а также показано,что с точностью до незначительных ионных поправок порогом развития резонансной неустойчивости Бунемана, обусловленным поперечной неоднородностью системы в случае релятивистских электронов является превышение токомпучка предельного тока Пирса.В § 4.7 проводится обобщение на релятивистский случай рассмотренногов § 4.5 качественного учёта влияния постоянной составляющей электрическогополя на динамику резонансной неустойчивости Бунемана, развивающейся врежиме сильного взаимодействия.
Анализ численных решений показывает, чтосделанные в § 4.5 выводы остаются справедливы и для релятивистских пучков,релятивизм электронов качественного изменения в картину развития бунемановской неустойчивости не вносит. Кроме того, результаты расчётов показывают, что увеличение релятивизма приводит вначале к достаточно плавному иглубокому уменьшению тока, а при ещё большем релятивизме пучка происходит срыв, и, фактически, полное отражение электронного тока (ток, полностьюсрываясь, даже начинает течь в обратную сторону).14В Главе 5 на основе метода интегрирования по начальным данным выводятся нелинейных уравнения пучково – плазменного взаимодействия в релятивистском непотенциальном случае и проводится их линейный анализ.Построение релятивистской нелинейной теории при этом проводится исходя из той же математической модели пучково-плазменной системы, что и вГлаве 2 (за исключением того, что электронный пучок теперь считается релятивистским).
В результате процедуры вывода в § 5.1 была получена следующаясистема уравнений:d 2 ypdt 2=−⎫i ∞ ⎧exp(inyp ) ~ 2 €ω p G pn ρ pn + ω~b2 Q€n ρbn − к.с.⎬⎨∑n2 n=1 ⎩⎭[]2d ybi ⎛⎜1 ⎛ dyb ⎞ ⎞⎟= − 1− 2 2 ⎜⎟2 ⎜⎝ k z c ⎝ dt ⎠ ⎟⎠dt 2232 ∞[],(11)⎧exp(inyb ) ~ 2 €⎫ωb Gbn ρ bn + ω~ p2 Q€n ρ pn − к.с.⎬nn=1⎭∑⎨⎩где∞∞ϕ m (rrp )ϕ m (rrb )ϕ m2 (rrα ) €€€€, Qn = ∑ Snm,Gαn = ∑ Snm22m =1ϕmϕmm =1Здесь введён оператор частоты ω) = iS€nm =n 2 k z2 − ω€2 c 2,k⊥2 m + n 2 k z2 − ω€2 c 2ω) = iddt(12)d. Уравнения (11) отличаются большойdtобщностью, поскольку при их выводе никакие ограничения на динамику рассматриваемых электродинамических процессов не накладывались.
Это отразилось в псевдодифференциальном характере операторов в коэффициентах (12) ибесконечном суммировании по всем гармоникам плотности пучка и плазмы. Вдиссертации приводятся различные формы записи, а также частные случаи этихуравнений.
В § 5.2 описывается процедура получения законов сохранения энергии и импульса в рассматриваемой пучково-плазменной системе. Структурауравнений, определяющих эти законы оказывается весьма сложной.Далее в работе, в § 5.3 проводится линеаризация уравнений (11). Получающееся в результате общее дисперсионное уравнение в длинноволновомприближении может быть записано в виде⎛~⎞ ⎞⎛⎜η − ⎜ 2 + 1 + O(k )⎟δ ⎟ δ 2 − α (1 − σ (1 + O(k ))δ ) = − α α b (1 − σ (1 + O(k ))δ )2zbzz0⎟ ⎟⎜ σα⎜σ⎠ ⎠⎝ p⎝()(13)Здесь δ – безразмерный инкремент развития черенковской пучковой неустойчивости ( ω = k z u (1 + δ ) , δ << 1 ), через O(k z ) обозначены слагаемые порядка k z ,являющиеся малыми величинами и введены следующие обозначения:αp =ω 2pk ⊥2 pu 2γ 2, αb =2⎛⎞ω b2γ −3~ = k 2 k 2 S S G 2 , σ = 2 u γ 2 , η = 1 ⎜1 − 1 ⎟ ,,α⊥p ⊥b p b022 22σ ⎜⎝ α p ⎟⎠k ⊥bu γc−12 r ⎞∞⎛ ∞ϕ m (rrb )ϕ m (rrp )()rϕ11m α ⎟=,(14)Gk⊥2α = ⎜ Sα ∑ 2;α=b,p.∑222 −2⎜ m=1 k⊥m + k z2γ −2 ϕ 2 ⎟γ+kkϕm1=mz⊥mm⎝⎠Величины k ⊥b и k ⊥p в этих формулах являются поперечными волновыми15числами низкочастотных поверхностных собственных волн Е-типа тонких впоперечном сечении волновода пучка и плазмы.
Параметр α~ есть коэффициентсвязи этих волн (видно, что α~ удовлетворяет неравенствам 0 < α~ ≤ 1 ; равенствоимеет место только при rrb = rrp ).В § 5.4 диссертационной работы проводится подробный систематическийанализ дисперсионного уравнения (13). При этом в зависимости от значенийпараметров, определяющих динамику пучково–плазменного взаимодействия,определены режимы развития неустойчивостей релятивистского трубчатогоэлектронного пучка в волноводе с трубчатой плазмой, проведена их классификация.
В различных предельных случаях вычислены инкременты неустойчивостей и определены необходимые для их развития резонансные условия. Рассмотрена неустойчивость с максимальным инкрементом нарастания, развивающаяся в случае релятивистского сильноточного пучка в волноводе с плотной плазмой. Исследована возможность развития низкочастотной неустойчивости пучка в волноводе с плазмой малой плотности. Для систем с параметрамиблизкими к экспериментальным приведены характерные примеры зависимостей инкрементов от волновых чисел возмущений.Глава 6 посвящена разработке аналитической нелинейной теории резонансной неустойчивости плотного прямолинейного релятивистского электронного пучка, развивающейся в условиях коллективного вынужденного эффектаЧеренкова в волноводе с линейной плазмой.
Рассмотрены два случая, соответствующие двум предельным возможностям преобразования псевдодифференциальных операторов S€nm в (12): плазмы большой плотности, когда неустойчивость развивается в высокочастотной области, а возбуждаемая в плазме волнаоказывается потенциальной; и плазмы меньшей плотности, когда неустойчивость имеет место в низкочастотной области, а возбуждаемые плазменные волны сильно непотенциальны.Первый случай рассмотрен в § 6.1 - § 6.3.
В § 6.1, исходя из уравнений(1), в предположении, что для большого числа низших поперечных мод выполнены неравенства n 2 k z2 − ω) 2 c 2 ~ n 2 k z2γ −2 >> k ⊥2 m (здесь n ≥ 1 ), и поэтому все операторы S€nm ≈ 1 , выводится система уравнений, описывающая нелинейную динамику изучаемой неустойчивости.
Поскольку при линейной плазме генерация гармоник незначительна, то в (11) достаточно учесть только одну гармонику, и врезультате данная система может быть представлена в виде2πdε1− iη0ε = − q′ρ b , ρ b = ∫ exp(− iy )dy0 ,dτπ 0dy 1 ⎛1 ⎞= ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟,dτ μ ⎝p ⎠dp μ= [− i( ρ b exp(iy ) − k .c.) + q′(ε exp(iy ) + k .c.)]dτ 4(15)Здесь введены безразмерные переменные и параметры, имеющие следующий16смысл: τ = ωbγ −3 2t - безразмерное время, ε - амплитуда плазменной волны,-1 2p = (1 − μη )представляет собой безразмерный “импульс” электрона пучка,( η − его безразмерная скорость), q′ << 1 - параметр связи пучковой и плазменнойподсистем, μ = 2u 2 2 ω bγ −3 2γ- параметр релятивизма электронного пучка приc2k zuколлективном эффекте Черенкова, η 0 − расстройка.Для дальнейшего преобразования уравнений (15) в § 6.2 был использованметод разложения траекторий, а также метод разложения релятивистских импульсов электронов, основная идея которого заключается в представлении импульсов в виде суммы двух функцийp = p (τ ) +1 ∞∑ ( An (τ ) exp (iny 0 ) + к.с.))2 n =1(16)одна из которых (первое слагаемое в (16)) описывает действие средней силыреакции излучения, а другая характеризует колебательное движение частиц.При подстановке (16) в (15) для амплитуд гармоник колебаний импульса получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядкас алгебраическими иррациональными нелинейностями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
