Аналитические методы в нелинейной теории пучково-плазменных неустойчивостей (1098015), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Первый из нихимеет место в случае сильной связи плазмы и пучка ( qn ≈ 1 ), в том числе в поперечно-однородных системах. Кроме того, для реализации данного режиманеобходимым условием является требование малости плотности пучка по сравнению с плотностью плазмы.
Стабилизация неустойчивости, развивающейся врежиме одночастичного эффекта Черенкова, обусловлена захватом электроновпучка возбуждаемой пучком плазменной волной и может быть исследованалишь численными методами.В отличие от одночастичного, коллективный вынужденный эффект Черенкова может иметь место только в поперечно – неоднородных пучково плазменных системах, когда связь плазмы и пучка, порождаемая перекрытиеминдуцированных ими полей достаточно слаба ( qn << 1 ). При этом плотностьпучка может быть высокой, даже сравнимой с плотностью плазмы. Нелинейнаястабилизация неустойчивостей, обусловленных коллективным эффектом Черенкова, происходит из-за нелинейного сдвига частот взаимодействующихпучковой и плазменной волн, и, соответственно, нарушения их резонанса и схорошей точностью может быть описана аналитически с помощью метода разложения траекторий электронов пучка и плазмы.Суть этого метода, излагаемого в § 2.3 заключается в представлении координат электронов пучка и плазмы в виде следующей суммы функций ( y0 начальная координата электрона):y p = y0 + wp ( t ) + x p ( y0 ,t ),(5)yb = y0 + kut + wb ( t ) + xb ( y0 ,t )Здесь w p;b (t ) описывают усреднённое движение (изменения поступательногодвижения электронов плазмы в лабораторной системе координат и электроновпучка в системе координат, движущейся со скоростью u ), x p ,b ( y0 ,t ) - движениеколебательного характера, которое в силу периодичности формулировки задачиможет быть разложено в тригонометрический ряд.1 ∞∑ (a pk (t ) exp(iky0 ) + к.с.),2 k =11 ∞xb ( y0 , t ) = ∑ (abk (t ) exp(iky0 ) + к.с.)2 k =1x p ( y0 , t ) =(6)При подстановке (5) и (6) в (4) трансцендентные нелинейности в этихуравнениях сводятся к алгебраическим путём разложения в степенные ряды.При этом для амплитуд гармоник колебательного движения a pk и abk , получа-10ются бесконечные зацепляющиеся системы обыкновенных дифференциальныхуравнений с алгебраическими рациональными нелинейностями бесконечногопорядка.
Данные цепочки уравнений в свою очередь, могут быть оборваны, изаписаны с точностью до наперёд заданного порядка малости. Единственнымусловием применимости описанной процедуры обрыва, как и всего метода, является требование наличия в системе малого параметра. При коллективных режимах развития неустойчивостей такой параметр всегда существует. В связи сэтим, метод разложения траекторий является основным при аналитическом исследовании нелинейных коллективных процессов нерелятивистских пучков.С помощью метода разложения траекторий в § 2.3 были получены соответствующие аналитические решения, описывающие нелинейную динамикуколлективного эффекта Черенкова. Так, например, максимальные амплитудыпервых гармоник пучковой и плазменной волн определяются выражениями:2ab1 max⎛ ω~ 2pω~b24q1ω~ p2⎜=α~bω~ p2 + α~pω~b2 ⎜⎝ gb1 g p1 g b112⎞⎟ ,⎟⎠a p12max⎛ ω~ 2pω~b24q1ω~b2⎜=α~bω~ 2p + α~pω~b2 ⎜⎝ g p1 g p1 g b112⎞⎟ ,⎟⎠(7)где⎛ g p 2 − g p1 ⎞⎟,2 ⎜⎝ g p 2 − 4 g p1 ⎟⎠3α~ p = 1 − ⎜3 ⎛ gb 2 − gb1 ⎞⎟2 ⎝ g b 2 − 4 g b1 ⎟⎠α~b = 1 − ⎜⎜-(8)– важные величины, которые можно назвать коэффициентами нелинейной стабилизации неустойчивости, первые слагаемые в которых отвечают за стабилизации неустойчивости вследствие изменения средней скорости электронов пучка и плазмы и, как следствие, нарушение условия резонанса, а вторые слагаемые описывают зависимость частот пучковой и плазменной волн от их амплитуд.Далее во второй главе в § 2.4 рассматривается резонансное возбуждениевторых гармоник возмущения плотности плазмы и пучка.
Кроме того, исследуется нелинейная динамика взаимодействия пучковых ленгмюровских волн в отсутствие излучения, как в одномерном, так и в неодномерном случаях. Показано, что когда колебания неодномерны, происходит перекачка энергии, первоначально запасённой в первой гармонике, в высшие гармоники возмущения плотности заряда пучка. Особенно ярко этот процесс выражен в резонансном случае, характеризуемом линейным законом дисперсии пучковой ленгмюровскойволны. В неодномерном случае получена нелинейная поправка к частоте, определяющая зависимость частоты ленгмюровских колебаний от их амплитуды.В § 2.5 численными методами исследуется нелинейная динамика неустойчивости, развивающейся в длинноволновой области в режиме одночастичного эффекта Черенкова в случае, когда в резонансе с пучком находится одновременно несколько гармоник плазменной волны.
В расчётах наблюдался роствсех этих гармоник. При этом интенсивней всего росла гармоника, инкременткоторой был наибольшим.Глава 3 посвящена описанию с помощью метода разложения траекторий11параметрических процессов в плазменном волноводе с тонким пучком в сильном внешнем магнитном поле. Исходной является следующая система уравнений, вывод которой приведён в § 3.1:dε α= −νε β ρ1eiη τ ,dτdε β= βνεα ρ1*e − iη τ ,dτ(9)d2yi ∞ αnν* iny − iη τiny()()=−e−kc+e+kc....,ρεε∑ nα βdτ 22 n =1 n2000ρn =12π∫e− inydy0π 0Первые два уравнения системы (9) представляют собой уравнения для изменения амплитуд волн, а третье - есть уравнение движения электронов пучка, которое содержит в правой части силу со стороны высокочастотного пространственного заряда пучка (первое слагаемое) и силу со стороны комбинационнойволны (второе слагаемое); η 0 - обезразмеренная расстройка, причём η 0 = +1 означает синхронизм комбинационной волны с быстрой волной пространственного заряда, а η 0 = −1 - с медленной; параметр β определяет вид процесса: β = +1( η 0 = −1 ) - реализуется распад с повышением частоты, а если β = −1 ( η 0 = −1 ) взрывной процесс; ν играет роль параметра связи комбинационной волны ипучка, и считается в рассматриваемом в настоящей главе случае малым, то естьν << 1 .В § 3.2 в результате применения к системе (9) метода разложения траекторий, была получена система уравнений, содержащая члены до третьего порядка малости включительно.
Благодаря такому подходу удалось учесть все кубичные нелинейности, возникающие вследствие как торможения пучка, так ивследствие генерации гармоник волны плотности заряда, что позволило существенно уточнить по сравнению с ранее известными выражениями структурунелинейного потенциала и проанализировать влияние этих новых кубичныхнелинейностей на стабилизацию трёхволновых неустойчивостей.В работе исследуются два наиболее интересных трёхволновых процесса,а именно распадный с повышением частоты – в § 3.3 и взрывной - в § 3.4.
Обаэти процесса реализуются при синхронизме с медленной волной пространственного заряда пучка. Получены аналитические решения, описывающие указанные процессы как в случае адиабатического “включения” полей, так и в общем случае неадиабатических начальных условий, когда пучковые волны плотности заряда неодномерны.
Вычислены также характерные времена развитиянеустойчивостей. При этом в случае распада с повышением частоты одна волнасчиталась накачкой.Далее в третьей главе в § 3.5 рассматривается взаимодействие двух электромагнитных и двух ленгмюровских пучковых волн, когда возбуждение вто12рой гармоники носит резонансный характер и её вклад наиболее значителен.Здесь удаётся получить только численные решения.
Из-за большой разницы характерного времени взаимодействия электромагнитных волн с ленгмюровскими и ленгмюровских волн друг с другом до насыщения электромагнитных волнпроисходит многократное взаимодействие ленгмюровских пучковых волн между собой.В Главе 4 диссертации рассматривается нелинейная теория неустойчивости Бунемана.Исходной является следующая модель: считается, что бесконечнодлинные “тонкие” электронный и ионный пучки, локализованы вдоль бесконечно-длинного металлического волновода произвольного сечения.
На системуналожено бесконечно-сильное продольное внешнее магнитное поле, замагничивающее как электроны, так и ионы, причём, предположение о замагниченности ионов не носит принципиального характера, а сделано лишь для удобствазаписи последующих уравнений.Для данной модели в § 4.1 выводится следующая система нелинейныхинтегро-дифференциальных уравнений, справедливая для нерелятивистскихэлектронных пучков в потенциальном приближенииd 2 y e 1 2 ∞ Ren1 2 ∞ Gin(())(ρ in exp(iny e ) − к.c.),exp..iinyкciω e ∑+ωρ−=e ∑ene22dt 2n =1 nn =1 n∞∞d 2 yi 1RinGen122(())(ρ en exp(inyi ) − к.c.),exp..+iνωρiny−кc=iνωe ∑inie ∑222dtn =1 nn =1 nρ αn =1π2π∫ exp(− inyα )dy0(10)(α = e, i ).0Здесь Rαn и Gαn - геометрические факторы, ω e2 = 4πe 2 ne m , ν = m M (m и M – массы электрона и иона, соответственно)В результате линейного анализа системы (10) в § 4.2 установлены два основных режима резонансной бунемановской неустойчивости и вычислены ихинкременты.
Известно, что неустойчивость Бунемана возникает при синхронизме ионной и медленной электронной ленгмюровских волн. Первый режимрезонансной бунемановской неустойчивости реализуется в случае сильной связи электронных и ионных волн (случай сильного взаимодействия, когда пучкисовмещены в пространстве). Стабилизация неустойчивости наступает вследствие захвата электронов полем собственной волны, фазовая скорость которойочень мала (самозахват, приводящий к полному срыву электронного тока).Другой режим резонансной бунемановской неустойчивости реализуется, когдапучок электронов и ионы разведены в пространстве (случай слабой связи илислабого взаимодействия). Срыва тока при этом не происходит, и основнымфактором стабилизации неустойчивости является нелинейный сдвиг частоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
