Автореферат (1097925), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà áûëâïåðâûå èñïîëüçîâàí äëÿ ðåêîíñòðóêöèè êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèì ñêàëÿðíûì ïîëåì è áûëè ïîëó÷åíû ïîòåíöèàëûñêàëÿðíîãî ïîëÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ðåøåíèÿì äå Ñèòòåðà, ê àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèÿì äå Ñèòòåðà (â òîì ÷èñëå è ñ íåìîíîòîííûì ïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà), à òàêæå ðåøåíèÿì ñ ïàðàìåòðîì Õàááëà, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíûì âðåìåíè.
Ïî÷òè âñå ïîëó÷åííûå ïîòåíöèàëû ñîäåðæàò ñâîáîäíûåïàðàìåòðû è ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ýòèõ ïàðàìåòðîâ. Òàêæå ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ìåòîäîì ñóïåðïîòåíöèàëà ïîëèíîìèàëüíîãî ïîòåíöèàëà. Ðàññìîòðåíà ñòàáèëüíîñòü àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé äå Ñèòòåðà è ïîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóþò ïîäîáíûå ñòàáèëüíûå ðåøåíèÿ ñ íåìîíîòîííûì ïîâåäåíèåì ïàðàìåòðà Õàááëà.Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìèïðèîáðåëè áîëüøóþ ïîïóëÿðíîñòü â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ, ñðåäè íèõ î÷åíüìàëî èíòåãðèðóåìûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé.
Íàèáîëåå èçâåñòíîé ïîäîáíîé ìîäåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííî ïëîñêàÿ ìîäåëü Ôðèäìàíà ñ ìèíèìàëüíî ñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì ïîëåì è ýêñïîíåíöèàëüíûì ïîòåíöèàëîì. Äëÿ27òàêîé ìîäåëè îáùåå ðåøåíèå äàâíî ïîëó÷åíî è ïîäðîáíî èçó÷åíî, à ÷àñòíîå ðåøåíèå äàííîé ìîäåëè ñî ñòåïåííûì ìàñøòàáíûì ôàêòîðîì àêòèâíîèñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëåé. äèññåðòàöèè ïîëó÷åíî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó èíòåãðèðóåìûìè êîñìîëîãè÷åñêèìè ìîäåëÿìè ñ ìèíèìàëüíî è íåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè. Èçâåñòíî, ÷òî êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñ íåìèíèìàëüíîé ñâÿçüþìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû â ìîäåëè ñ ìèíèìàëüíîé ñâÿçüþ ñ ïîìîùüþ ïðàâèëüíî ïîäîáðàííîãî êîíôîðìíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåòðèêè â ñî÷åòàíèè ñïðåîáðàçîâàíèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ.
Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî âðåìåíè â ìåòðèêå ÔËÐÓ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðîñòûå ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå èíòåãðèðóåìûå ìîäåëè ñ ìèíèìàëüíî è íåìèíèìàëüíîñâÿçàííûìè ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëîæåí ìåòîä ïîëó÷åíèÿ îáùèõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ðåøåíèé â ìîäåëÿõ ñ íåìèíèìàëüíî ñâÿçàííûìèñêàëÿðíûìè ïîëÿìè. Ïîëó÷åíû ÿâíûå ôîðìû ïîòåíöèàëîâ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ äëÿ øåñòè èíòåãðèðóåìûõ ìîäåëåé èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè è øåñòèìîäåëåé, âêëþ÷àþùèõ ÷ëåí ÃèëüáåðòàÝéíøòåéíà è ñêàëÿðíîå ïîëå, êîíôîðìíî ñâÿçàííîå ñ ãðàâèòàöèåé.
Äëÿ îäíîé èç èíòåãðèðóåìûõ ìîäåëåé, àèìåííî, ìîäåëè èíäóöèðîâàííîé ãðàâèòàöèè ñî ñòåïåííûì ïîòåíöèàëîì ïîëó÷åíî îáùåå ðåøåíèå. Ãëàâå 6 ðàññìîòðåíà ïðîáëåìà ïîèñêà òî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì. Ðåøåíèÿ áûëî ïðåäëîæåíî èñêàòü â âèäå îáùèõ ðåøåíèé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé áîëåå íèçêîãî ïîðÿäêà.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîäõîäÿùèõ óðàâíåíèé áîëåå íèçêîãî ïîðÿäêà èñïîëüçîâàëèñü ðåøåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà.
Ïîäîáíûå ðåøåíèÿëåãêî íàéòè ñ ïîìîùüþ àíàëèçà Ïåíëåâå. 2003 ãîäó Êîíòîì è Ìþçåòòîé (R. Conte, M. Musette) áûë ïðåäëîæåí ìåòîä ïîèñêà êàê ýëëèïòè÷åñêèõ, òàê è âûðîæäåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõðåøåíèé àâòîíîìíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ýòîò ïîäõîä áûë ïðèìåí¼í ê èññëåäîâàíèþ ðàçëè÷íûõ íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, àêòèâíî ïðèìåíÿåìûõ â ôèçèêå, â ÷àñòíîñòè, îí ïîçâîëèë äîêàçàòü îòñóòñòâèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé â âèäå áåãóùèõ âîëí äëÿ êóáè÷åñêîãî êîìïëåêñíîãî óðàâíåíèÿÃèíçáóðãàËàíäàó. Îïèñàííàÿ â äèññåðòàöèè ìîäèôèêàöèÿ äàííîãî ìåòîäàïîçâîëèëà ïðîäâèíóòüñÿ äàëüøå è äîêàçàòü îòñóòñòâèå ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé â âèäå íå òîëüêî áåãóùèõ, íî è ñòîÿ÷èõ âîëí äëÿ êóáè÷åñêîãî êîìïëåêñíîãî óðàâíåíèÿ ÃèíçáóðãàËàíäàó. Ñ ïîìîùüþ óëó÷øåííîãî ìåòîäà ïîèñêàýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé áûëè âïåðâûå íàéäåíû ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿêîìïëåêñíîãî óðàâíåíèÿ ÃèíçáóðãàËàíäàó ïÿòîé ñòåïåíè.Êëþ÷åâîé èäååé ïðåäëîæåííîé ìîäèôèêàöèè ÿâëÿåòñÿ îòêàç îò îäíîâðåìåííîãî ïîèñêà êàê ýëëèïòè÷åñêèõ, òàê è âûðîæäåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõ28ðåøåíèé è îãðàíè÷åíèå ïîèñêîì òîëüêî ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé.
Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîèñêà òî÷íûõ ðåøåíèé íå îäíî, à íåñêîëüêî ðåøåíèéâ âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà. Ïðè ïîèñêå òîëüêî ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé ñ ïîìîùüþòåîðåìû âû÷åòîâ óäà¼òñÿ óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, óñòàíîâèòü,ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ èññëåäóåìàÿ ñèñòåìà íå ìîæåò èìåòü ðåøåíèé â âèäå ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïðèìåí¼ííûé íàìè ïîäõîä ïîçâîëÿåò íàéòè ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ êàê îäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ,òàê è ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ìåòîä ïîèñêà ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ñ ïîìîùüþ ôîðìàëüíûõ ðåøåíèé â âèäå ðÿäîâ Ëîðàíà îáîáù¼í íà ìíîãîçíà÷íûåðåøåíèÿ, ðàçëîæèìûå â ðÿä Ïþèç¼, è àâòîìàòèçèðîâàí. Ãëàâå 6 òàêæå èññëåäóþòñÿ íåèíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè îáîáù¼ííîé ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà ñ äîïîëíèòåëüíûì íåïîëèíîìèàëüíûì ÷ëåíîì.
 øåñòèäåñÿòûå ãîäû â àñòðîíîìèè àêòèâíî èçó÷àëèñü ìîäåëè äâèæåíèÿ çâ¼çä âöèëèíäðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîì è íå çàâèñÿùåì îò âðåìåíè ïîòåíöèàëå. Òð¼õìåðíàÿ çàäà÷à, áëàãîäàðÿ ñèììåòðèè ïîòåíöèàëà, ñâîäèòñÿ ê äâóõìåðíîé,îäíàêî, íàõîæäåíèå âòîðîãî èíòåãðàëà ïîëó÷åííîé ñèñòåìû â àíàëèòè÷åñêîì âèäå, íàïðèìåð, â âèäå ïîëèíîìà ïî ôàçîâûì ïåðåìåííûì, îêàçûâàåòñÿíåðàçðåøèìîé çàäà÷åé äàæå äëÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ïîòåíöèàëîâ.
Õåíîí è Õåéëåñ äëÿ îòâåòà íà âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè íåèçâåñòíîãî èíòåãðàëà èññëåäîâàëè ïîâåäåíèå òðàåêòîðèé ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Ñèñòåìà ÕåíîíàÕåéëåñà âïîñëåäñòâèèàêòèâíî èçó÷àëàñü ðàçëè÷íûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè, à òàêæå èñïîëüçîâàëàñü â ôèçèêå, â ÷àñòíîñòè, â ãðàâèòàöèè è òåîðèè ïëàçìû. Ýòà ñèñòåìàáûëà îáîáùåíà ââåäåíèåì ÷èñëåííûõ ïàðàìåòðîâ è íåïîëèíîìèàëüíîãî ñëàãàåìîãî. Îáîáù¼ííàÿ ñèñòåìà ÕåíîíàÕåéëåñà îïèñûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì)C1( 2µ222xt + yt + λ1 x + λ2 y + x2 y − y 3 + 2 ,(25)H̃ =232xdyãäå xt ≡ dxdt è yt ≡ dt , à λ1 , λ2 , µ è C ÷èñëåííûå ïàðàìåòðû. äâóõ íåèíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿõ ñèñòåìû ÕåíîíàÕåéëåñà ñ ïîìîùüþòåñòà Ïåíëåâå íàéäåíû íîâûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäå ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ Ëîðàíà, çàâèñÿùèõ îò òð¼õ ïàðàìåòðîâ. Îäèí èç ïàðàìåòðîâ îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå îñîáîé òî÷êè, à äâà äðóãèõ êîýôôèöèåíòû ðÿäîâ Ëîðàíà.
 èññëåäóåìûõ ñëó÷àÿõ ðàíåå áûëè èçâåñòíû òîëüêî îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ðåøåíèÿ ââèäå ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîçâîëèë íàéòè íîâûåäâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ýëëèïòè÷åñêèå ðåøåíèÿ. Çàêëþ÷åíèè ïåðå÷èñëåíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû. Ïðèëîæåíèè 1 ïðèâåäåíû îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è èñïîëüçóåìûåñòàíäàðòíûå ôîðìóëû ÎÒÎ.  Ïðèëîæåíèè 2 ïåðå÷èñëåíû îñíîâíûå ñâîé-29ñòâà ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé, èñïîëüçóåìûå â Ãëàâå 6. Ïðèëîæåíèå 3 òàêæå îòíîñèòñÿ ê Ãëàâå 6 è ñîäåðæèò îïèñàíèå ïàêåòà ïðîöåäóð íà ÿçûêå êîìïüþòåðíîé àëãåáðû Maple, èñïîëüçóåìîãî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷àñòíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ ðåøåíèé íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì è ïîçâîëÿþùåãî àâòîìàòèçèðîâàòüâû÷èñëåíèÿ.Ñïèñîê ðàáîò, îïóáëèêîâàííûõ àâòîðîì ïî òåìåäèññåðòàöèèÏóáëèêàöèè â æóðíàëàõ, ðåêîìåíäîâàííûõ ÂÀÊ1.
Koshelev A.S., Vernov S.Yu. Cosmological solutions in nonlocal models //Physics of Particles and Nuclei Letters. 2014. Vol. 11, no. 7. P. 9609632. Integrable cosmological models with non-minimally coupled scalar elds / A.Kamenshchik, E. Pozdeeva, A. Tronconi, G.
Venturi, S. Vernov // Classicaland Quantum Gravity. 2014. Vol. 31, no. 10. P. 105003.3. Cosmological solutions of a nonlocal model with a perfect uid / E. Elizalde,E.O. Pozdeeva, S.Yu. Vernov, Y.-l. Zhang // Journal of Cosmology andAstroparticle Physics. 2013. Vol. 2013, no. 07. P. 0344. Reconstruction of scalar potentials in modied gravity models / A.Kamenshchik, A.
Tronconi, G. Venturi, S. Vernov // Physical Review D 2013. Vol. 87, no. 6. P. 063503.5. Elizalde E., Pozdeeva E.O., Vernov S.Yu. Reconstruction procedure innonlocal cosmological models // Classical and Quantum Gravity. 2013. Vol. 30, no. 3. P. 035002.6. Elizalde E., Pozdeeva E.O., Vernov S.Yu. De sitter universe in non-localgravity // Physical Review D - Particles, Fields, Gravitation and Cosmology.
2012. Vol. 85, no. 4. P. 044002.7. Vernov S.Yu. Nonlocal gravitational models and exact solutions // Physicsof Particles and Nuclei. 2012. Vol. 43, no. 5. P. 694696.8. Koshelev A.S., Vernov S.Yu. On bouncing solutions in non-local gravity //Physics of Particles and Nuclei. 2012. Vol. 43, no. 5.
P. 666668.9. Vernov S.Yu. Localization of the SFT inspired nonlocal linear models andexact solutions // Physics of Particles and Nuclei Letters. 2011. Vol. 8,no. 3. P. 310320.3010. Âåðíîâ Ñ.Þ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëîêàëüíûõ íåëèíåéíûõ ïîëåâûõ óðàâíåíèé â êîñìîëîãèè // Òåîðåòè÷åñêàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà 2011. Òîì. 166, no. 3. Ñ. 452464 (Àíãëèéñêèé ïåðåâîä: Vernov S.Yu. Exactsolutions of nonlocal nonlinear eld equations in cosmology // Theoreticaland Mathematical Physics.
2011. Vol. 166, no. 3. P. 392402).11. Vernov S.Yu. Localization of nonlocal cosmological models with quadraticpotentials in the case of double roots // Classical and Quantum Gravity. 2010. Vol. 27, no. 3. P. 035006.12. Àðåôüåâà È.ß., Áóëàòîâ Í.Â., Âåðíîâ Ñ.Þ. Ñòàáèëüíûå òî÷íûå ðåøåíèÿâ êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ñ äâóìÿ ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè // Òåîðåòè÷åñêàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà 2010.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
