Автореферат (1097925), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Äëÿ ðàäèàöèè ñëåä òåíçîðàýíåðãèèèìïóëüñà Tµµ = 0, ïîýòîìó óðàâíåíèå ñëåäà ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ:()AR + F ′ (r1 ) 2r1 R2 + ∂µ R∂ µ R + B = 0 ,(10)ãäå F ′ ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè F ïî å¼ àðãóìåíòó, à êîíñòàíòû A è B îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:r2A = 4F ′ (r1 )r2 − MP2 − 2 (F(r1 ) − f0 ) + 6F(r1 )r1 ,r1B = 4Λ +r2 2 r2M + A.r1 P r1Ïðîñòåéøèé ñïîñîá ïîëó÷èòü ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (10) íàëîæèòüóñëîâèÿ F ′ (r1 ) = 0, A = 0, B = 0.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè óñëîâèÿ â ñèñòåìó âñåõóðàâíåíèé, ïîëó÷àåìóþ âàðüèðîâàíèåì íåëîêàëüíîãî äåéñòâèÿ, èìååì[]()12F(r1 )(R + 3r1 )Gµν = Tνµ + 2F(r1 ) g µρ ∇ρ ∂ν R − δνµ R2 + 4r1 R + r2 . (11)4Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ âñåõ óðàâíåíèé ïîòðåáóåòñÿ òàêæå çàôèêñèðîâàòüêîëè÷åñòâî ðàäèàöèè â äàííîé ìîäåëè. äèññåðòàöèè ïðèâåäåíû äâà ðåçóëüòàòà, ñâÿçàííûõ ñ ïîñòðîåíèåì òî÷íûõ ðåøåíèé ñ ïîìîùüþ óêàçàííîãî óñëîâèÿ. Âî-ïåðâûõ, íàéäåíî òî÷íîåêîñìîëîãè÷åñêîå ðåøåíèå, íå òðåáóþùåå äîáàâëåíèÿ ðàäèàöèè. Âî-âòîðûõ,ïîêàçàíî, ÷òî ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ (11) ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè R2 ãðàâèòàöèè. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ðåøåíèå íåêîòîðîé ìîäåëè R2 ãðàâèòàöèè,âîçìîæíî ñ ðàäèàöèåé, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèé íåëîêàëüíîéìîäåëè, îïèñûâàåìîé äåéñòâèåì (8). Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íå ïîäðàçóìåâàåò íåêîòîðóþ ñïåöèàëüíóþ ôîðìó ìåòðèêè è ñïðàâåäëèâ äëÿ ïðîèçâîëüíîéìåòðèêè.
Ïðè ýòîì íåëîêàëüíàÿ ìîäåëü íå ýêâèâàëåíòíà ìîäåëè R2 ãðàâèòàöèè, ïîñêîëüêó ïîëíîå ðàññìîòðåíèå ìîäåëè âêëþ÷àåò íå òîëüêî ïîñòðîåíèåôîíîâîãî ðåøåíèÿ, íî è àíàëèç âîçìóùåíèé, êîòîðûå ìîãóò íå óäîâëåòâîðÿòüóñëîâèþ (9). Ãëàâå 3 èçó÷àþòñÿ ìîäåëè íåëîêàëüíîé ãðàâèòàöèè, â èñõîäíîå äåéñòâèå êîòîðûõ âêëþ÷åíà ôóíêöèÿ îò îáðàòíîãî äàëàìáåðòèàíà, äåéñòâóþùåãî íà ñêàëÿð êðèâèçíû: f (−1 R). Ðàññìàòðèâàåìàÿ â äèññåðòàöèè ìîäåëüáûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå Äåçåðà è Âóäàðäà (Deser è Woodard) 2007 ãîäà. Îòìåòèì, ÷òî èäåÿ èñïîëüçîâàòü îáðàòíûé îïåðàòîð Äàëàìáåðà äëÿ ìîäèôèêàöèè ãðàâèòàöèè àêòèâíî èñïîëüçóåòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ â ðàçíûõêîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëÿõ.
Ìîäåëü ÄåçåðàÂóäàðäà îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìäåéñòâèåì:}{∫[()]√MPS = d4 x −gR 1 + f (−1 R) − 2Λ + Lm ,(12)223ãäå f äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, −1 îáðàòíûé îïåðàòîð Äàëàìáåðà, Λ êîñìîëîãè÷åñêàÿ êîíñòàíòà, à Lm Ëàãðàíæèàí ìàòåðèè.  2007ãîäó Íîäæèðè (Nojiri) è Îäèíöîâûì áûëà ïðåäëîæåíà ëîêàëèçàöèÿ äàííîéìîäåëè, à èìåííî, äåéñòâèå ñ äâóìÿ ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, íåìèíèìàëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñ ãðàâèòàöèåé:}{∫√MP(13)Sl = d4 x −g[R (1 + f (ψ)) + ξ (R − ψ) − 2Λ] + Lm .2Äàííàÿ ìîäåëü ñîäåðæèò ôóíêöèþ f , êîòîðàÿ íå îïðåäåëÿåòñÿ ïîñòàíîâêîé çàäà÷è, ïîýòîìó âàæíî îáîñíîâàíèå âûáîðà òîãî èëè èíîãî âèäà ôóíêöèè f .
Ñ ýòîé öåëüþ äëÿ ëîêàëüíîé ñêàëÿðíîòåíçîðíîé ôîðìóëèðîâêè äàííîé ìîäåëè, îïèñûâàåìîé äåéñòâèåì (13), ðàçâèò ìåòîä ðåêîíñòðóêöèè, ïîçâîëÿþùèé âîññòàíàâëèâàòü ôóíêöèþ f ïî çàäàííîìó ïîâåäåíèþ ïàðàìåòðàÕàááëà. Äëÿ íàèáîëåå âàæíûõ êîñìîëîãè÷åñêèõ ðåøåíèé (äå Ñèòòåðà è ñïàðàìåòðîì Õàááëà, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíûì âðåìåíè: H = n/t) óäàëîñüïîêàçàòü, ÷òî ïðîñòåéøåé ïîäîáíîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíòà. Ïðè ýòîìáûëè íàéäåíû â ÿâíîì âèäå ñîîòâåòñòâóþùèå êîñìîëîãè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿìîäåëè ñ èäåàëüíîé æèäêîñòüþ è êîñìîëîãè÷åñêîé êîíñòàíòîé.
Áûëè òàêæå íàéäåíû ôóíêöèè f , ïîçâîëÿþùèå, â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ,ïîëó÷àòü êàê ðåøåíèå ñ ïîñòîÿííûì ïàðàìåòðîì Õàááëà, òàê è ðåøåíèå ñH = n/t.  ìîäåëè ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé f , âêëþ÷àþùåé â ñåáÿèäåàëüíóþ êîñìîëîãè÷åñêóþ æèäêîñòü è êîñìîëîãè÷åñêóþ êîíñòàíòó, ïîëó÷åíû íîâûå, îáîáùàþùèå èçâåñòíûå ðàíåå, ðåøåíèÿ äå Ñèòòåðà è ðåøåíèÿñ H = n/t. Ïðîâåä¼í àíàëèç ñòàáèëüíîñòè ðåøåíèé äå Ñèòòåðà îòíîñèòåëüíî èçîòðîïíûõ âîçìóùåíèé â ìåòðèêå ÔËÐÓ è àíèçîòðîïíûõ âîçìóùåíèéâ ìåòðèêå Áüÿíêè I, êîòîðûé ïîçâîëèë ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñòàáèëüíîñòè ýòèõ ðåøåíèé. Ãëàâå 4 èññëåäóþòñÿ ìîäåëè ñî ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, ìèíèìàëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèìè ñ ãðàâèòàöèåé. äèññåðòàöèè ðàññìîòðåíû ëîêàëüíûå ìîäåëè ñ ýôôåêòèâíûìè ïîëèíîìèàëüíûìè ïîòåíöèàëàìè V (ϕ, ξ). Ôîðìà ýòèõ ïîòåíöèàëîâ ïðåäïîëàãàåòñÿ çàäàííîé êóáè÷åñêîé òåîðèåé ñòðóí c ïîìîùüþ ìåòîäà îáðåçàíèÿ ïî óðîâíÿì.
Ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëü ãðàâèòàöèè ñîäåðæèò ôàíòîìíîå ñêàëÿðíîå ïîëåϕ, ïîñêîëüêó òàõèîí îòêðûòîé ñòðóíû ýôôåêòèâíî ìîäåëèðóåòñÿ ñêàëÿðíûìïîëåì ñ îòðèöàòåëüíûì êèíåòè÷åñêèì ÷ëåíîì. Äëÿ ó÷¼òà îáðàòíîé ðåàêöèèáðàíû, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ äèíàìèêîé òàõèîíà çàìêíóòîé ñòðóíû, â äåéñòâèå ââîäèòñÿ ñêàëÿðíîå ïîëå ξ .
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëüïðîñòðàíñòâåííî ïëîñêîé ôðèäìàíîâñêîé Âñåëåííîé ñ ôàíòîìíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì ϕ è ñòàíäàðòíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì ξ . Ïîñêîëüêó ïðîèñõîæäåíèå ñêàëÿðíûõ ïîëåé ñâÿçàíî ñ òåîðèåé ñòðóí, äåéñòâèå ñîäåðæèò õàðàêòåð-24íóþ ìàññó ñòðóíû Ms è áåçðàçìåðíóþ êîíñòàíòó âçàèìîäåéñòâèÿ îòêðûòûõñòðóí go :( 2())∫MPMs2 1 µν4 √S = d x −gR+ 2g (∂µ ϕ∂ν ϕ − ∂µ ξ∂ν ξ) − V (ϕ, ξ) .
(14)2go 2Åñëè ñêàëÿðíûå ïîëÿ çàâèñÿò òîëüêî îò âðåìåíè, òî â ìåòðèêå ÔËÐÓ (1)óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:()11 ˙2 1 22H =ξ − ϕ̇ + V ,(15)3m2p 221 ( 2 ˙2 )ϕ̇ − ξ ,Ḣ =(16)2m2p∂V∂V,ξ¨ + 3H ξ˙ = −.(17)ϕ̈ + 3H ϕ̇ =∂ϕ∂ξÄëÿ êðàòêîñòè ìû èñïîëüçóåì áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð m2p = go2 MP2 /Ms2 . Îòìåòèì, ÷òî òîëüêî òðè èç ÷åòûð¼õ óðàâíåíèé (15)(17) íåçàâèñèìû. ñëó÷àå ïëîñêîãî ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè ýôôåêòèâíàÿ ëîêàëüíàÿ òåîðèÿ îáëàäàåò ÷¼òíûì ïîòåíöèàëîì ÷åòâ¼ðòîé ñòåïåíè è èìååò ðåøåíèÿ òèïàêèíêà.
Òî÷íàÿ ôîðìà âçàèìîäåéñòâèÿ îòêðûòûõ è çàìêíóòûõ ñòðóí íåèçâåñòíà, ïîýòîìó ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîñòåéøåå ïîëèíîìèàëüíîå âçàèìîäåéñòâèåè ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïîòåíöèàë V (ϕ, ξ) ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíûì ïîòåíöèàëîì øåñòîéñòåïåíè, ïåðåõîäÿùèì â ïðåäåëå ïëîñêîãî ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè â ïîòåíöèàëòèïà Õèããñà.Èç ïîëåâîé òåîðèè ñòðóí ìû òàêæå ïðåäïîëîæèì àñèìïòîòè÷åñêèåóñëîâèÿ äëÿ ïîëåé. Íàïîìíèì, ÷òî èìååòñÿ â âèäó ñëåäóþùàÿ êàðòèíà. Ìûïðåäïîëàãàåì, ÷òî ôàíòîìíîå ïîëå ϕ(t) ïëàâíî äâèæåòñÿ èç íåñòàáèëüíîãîâîçìóù¼ííîãî âàêóóìà (ϕ = 0) â íåâîçìóù¼ííûé è îñòàíàâëèâàåòñÿ â í¼ì.Äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ ϕ(t) îáðàùàåòñÿ â íóëü â íåêîòîðîé òî÷êå (ïóñòüϕ(0) = 0) è ñòðåìèòñÿ ê íåíóëåâîé àñèìïòîòèêå ïðè t → +∞: ϕ(+∞) = A.Ïîëå ξ(t) ñîîòâåòñòâóåò çàìêíóòîé ñòðóíå è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè t → +∞.Êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïîòåíöèàëàìè îáùåãî âèäà íåèíòåãðèðóåìû, áîëåå òîãî, èíîãäà íå òàê ïðîñòî ïîëó÷èòü äàæå ÷àñòíîåðåøåíèå â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå.
 äèññåðòàöèè ðåøàåòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿòî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé ñ òðåáóåìûìè àñèìïòîòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, ïðèýòîì ïîòåíöèàë èùåòñÿ â êëàññå ïîëèíîìèàëüíûõ ïîòåíöèàëîâ, ñâÿçàííûõ ñòåîðèåé ñòðóí.Äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé èñïîëüçóåì ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà. Ïîëîæèâ H(t) = W (ϕ(t), ξ(t)), óðàâíåíèå (16) ìîæíî ïåðåïèñàòüâ âèäå∂W∂W ˙1 ( 2 ˙2 )ϕ̇ +ξ=ϕ̇ − ξ .(18)∂ϕ∂ξ2m2p25Åñëè íàéäåí òàêîé ñóïåðïîòåíöèàë W (ϕ, ξ), ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèåñîîòíîøåíèÿ:∂Wξ˙ = −2m2p,∂ξ(()2 ()2 )∂W∂WV = 3m2p W 2 + 2m4p−,∂ϕ∂ξϕ̇ = 2m2p∂W,∂ϕ(19)(20)òî ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè ϕ(t), ξ(t) è H(t) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû(15)(17).
Ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà ðàçäåëÿåò ñèñòåìó óðàâíåíèé (15)(17) íàäâå ÷àñòè: ñèñòåìó (19), êîòîðàÿ, êàê ïðàâèëî, èíòåãðèðóåìà ïðè çàäàííîìïîëèíîìå W (ϕ, ξ), è óðàâíåíèå (20), êîòîðîå íå èíòåãðèðóåìî, åñëè V (ϕ, ξ) ïîëèíîì, íî èìååò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäå ïîëèíîìîâ. Ïîòåíöèàë V (ϕ, ξ)ñòðîèòñÿ ïî çàäàííîìó W (ϕ, ξ). äâóõïîëåâûõ ìîäåëÿõ ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà ñïîñîáñòâóåò íàõîæäåíèþ íîâûõ ðåøåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (19)ôîðìèðóþò ñèñòåìó âòîðîãî ïîðÿäêà.
Åñëè ýòà ñèñòåìà èíòåãðèðóåìà, òî ìûïîëó÷àåì äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Ôèêñàöèÿ ÿâíîãî âèäàïîëåé ϕ(t) è ξ(t) ðàâíîñèëüíà çàäàíèþ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé. Ìåòîä ñóïåðïîòåíöèàëà ïîçâîëÿåò îáîáùèòü ýòî ìíîæåñòâî ðåøåíèéäî äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà.  äèññåðòàöèè ïîëó÷åíî äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî òî÷íûõ ðåøåíèé â êîñìîëîãè÷åñêîé ìîäåëè ñ ïîëèíîìèàëüíûì ïîòåíöèàëîì è äâóìÿ ñêàëÿðíûìè ïîëÿìè, îäíî èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿôàíòîìíûì. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñóïåðïîòåíöèàëà ïðîàíàëèçèðîâàíà óñòîé÷èâîñòü ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé òèïà êèíêà â èññëåäóåìûõ ìîäåëÿõ, ñâÿçàííûõñ ïîëåâîé òåîðèåé ñòðóí. äèññåðòàöèè òàêæå ðàññìîòðåíà ìîäåëü ñ îäíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì,ïîëó÷àåìàÿ èç óêàçàííîé ìîäåëè ñ äâóìÿ ïîëÿìè ïðè ξ(t) ≡ 0.
 äàííîé ìîäåëè ïîñòðîåíî òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèé Ôðèäìàíà ñ ôàíòîìíûì ñêàëÿðíûì ïîëåì ìàòåðèè, ïðîèñõîäÿùèì èç ïîëåâîé òåîðèè ñòðóí, è ÿâíî ïîêàçàíîîòñóòñòâèå ñèíãóëÿðíîñòè òèïà "áîëüøîé ðàçðûâ". Îñîáåííîñòÿìè ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ äóõîâûé çíàê êèíåòè÷åñêîãî ÷ëåíà è ñïåöèàëüíàÿïîëèíîìèàëüíàÿ ôîðìà ýôôåêòèâíîãî òàõèîííîãî ïîòåíöèàëà. Ïîêàçàíî, ÷òîïðåäëîæåííîå ðåøåíèå óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìàëûõ èçìåíåíèé íà÷àëüíûõóñëîâèé. Ðàññìîòðåíû êîñìîëîãè÷åñêèå ñëåäñòâèÿ, â ÷àñòíîñòè, èçìåíåíèåïîâåäåíèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà ïðè äîáàâëåíèè ò¼ìíîé ìàòåðèè è ïðîàíàëèçèðîâàíû óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè òî÷íîãî ðåøåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ìàëûìôëóêòóàöèÿì íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè ò¼ìíîé ìàòåðèè. Ãëàâå 5 ðàññìîòðåíû êîñìîëîãè÷åñêèå ìîäåëè ñ íåìèíèìàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è ãðàâèòàöèè.
Ñêàëÿðíûå ïîëÿ, íåìèíèìàëü-26íî âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ ãðàâèòàöèåé, åñòåñòâåííî âîçíèêàþò êàê â òåîðèÿõñ äîïîëíèòåëüíûìè èçìåðåíèÿìè, íàïðèìåð, òåîðèè ñòðóí, òàê è â ïåðåíîðìèðóåìûõ òåîðèÿõ êâàíòîâûõ ïîëåé â èñêðèâë¼ííîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè.Âàæíîé îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé ìîäåëåé ñ îäíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì è íåìèíèìàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ íåìîíîòîííîãîïîâåäåíèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà êàê ôóíêöèè âðåìåíè. Äàííàÿ ìîäåëü îïèñûâàåòñÿ äåéñòâèåì[]∫1 µν4 √(21)S = d x −g U (σ)R − g σ,µ σ,ν − V (σ) ,2ãäå U (σ) è V (σ) ñóòü äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ σ . ïðîñòðàíñòâåííî-ïëîñêîé ìåòðèêå ÔËÐÓ ïîëó÷àåìûå âàðüèðîâàíèåìäåéñòâèÿ (21) óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:16U H 2 + 6U̇ H = σ̇ 2 + V,2)(12U 2Ḣ + 3H 2 + 4U̇ H + 2Ü + σ̇ 2 − V = 0,2 )(σ̈ + 3H σ̇ + V ′ = 6 Ḣ + 2H 2 U ′ ,(22)(23)(24)ãäå òî÷êà îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, à øòðèõ ïðîèçâîäíóþ ïîñêàëÿðíîìó ïîëþ σ . äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ïî ðàçâèòèþ ìåòîäîâ ïîèñêà èíòåãðèðóåìûõ ìîäåëåé è ïðîöåäóðû ðåêîíñòðóêöèè ïîòåíöèàëà â êîñìîëîãè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ñ äåéñòâèåì (21).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
